10.2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷-【一战成名新中考】2026河北数学·真题与拓展

班级： 姓名： 学号：」 10 2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷 (本试卷总分120分 考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示互为相反数的两个点是 ( A.点A与点D B.点A与点C C.点B与点C D.点B与点D 70° 1309 正面 第1题图 第4题图 第7题图 2.下列运算结果是负数的是 ( A.(-2)×(-3) B.(-3+2)2 C.23 D.-(-2)+(-3) 3.把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是 A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4 4.如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述 正确的是 () A.主视图改变，左视图改变 B.主视图改变，俯视图改变 C.俯视图不变，主视图不变 D.俯视图不变，左视图不变 5.下表是某校合唱团成员的年龄分布： 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 10-x 对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 ( A.平均数、中位数 B.中位数、方差 C.平均数、方差 D.众数、中位数 6若分的值为0，则 A.x=-2 B.x=0 C.x=-1 D.x=1 7.直线a,b,c按照如图所示的方式摆放，a与c相交于0，将直线a绕点0按照逆时针方向旋转n°(0<n< 90)后，a1c,则n的值为 A.60 B.40 C.30 D.20 8.将多边形的边数由n条增加到(n+x)条后，内角和增加了540°，则x的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列结果不正确的是 A.（-33)2=3 B.32+32+32=33 C.34÷3-2=36 D.32025-32024能被2整除 真题与拓展 版权归一战成名新中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 10.如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB=1cm,则点P到这个正六边形六条边的距离之和 为 ( A.6 cm B.3cm C.3√3cm D.6√3cm 20 2468x 2 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB中点，分别以点A,C为圆心，AC长为半径画 弧，交于点E,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，交于点F,连接DE,DF.则以下4个结论：①F, A,E三点共线；②四边形BDEC为平行四边形；③AC⊥DE;④S△ACE:S四边形BCEr=1:6,正确的是（) A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④ 12.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k的取值范围是 ( A.2≤k≤4 25 B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤1 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.计算√18÷√2的结果是 14.点A(1,-5)关于原点的对称点坐标为 15.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持不变）为平行四边形ABCD的形 状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为 OC B 第15题图 第16题图 16.如图，已知点A坐标为（√3,1），B为x轴正半轴上一动点，C是OB的中点，则在点B运动的过程中 AB+BC的最小值为 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分7分) 已知整式P=x2-2(2x-x2)+1. (1)化简P: (2)若P=0,利用判别式判断此方程实数根的情况. 37 ·河北数学 18.(本小题满分8分) 20.(本小题满分8分) 我们知道，一个数各个数位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除. 如图①，由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的图形，将该图剪成如图所示序号分别为①②③④ 例：.2+3+4=9,9能被3整除，.234能被3整除 ⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图②）. 尝试：试说明537是否能被3整除； (1)求大正方形的边长，并直接写出图①中等于大正方形边长的线段： 验证：设abc是一个三位数，若a+b+c能被3整除，则abc也能被3整除； (2)求证图①中△ADM≌△MEF; 应用：直接写出三位数81n能被3整除的概率 (3)求图①中线段BH的长. ③X ④ 、⑤ ⑤ 图① 图② 第20题图 19.（(本小题满分8分) 在林业局技术人员的帮扶下，周大叔与某公司签订了树苗销售合同，并于今年在自家荒地种植了A, B,C,D四种不同品种的果树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为90%，几个品种果树苗种植情 况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中 (1)求种植B品种果树苗有多少棵： (2)请你将图②的统计图补充完整： (3)通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高， 果树苗种植情况统计图 果树苗成活情况统计图 成活数/棵 A 084 35% D 8 、20% 60 20% 0 CD品种 图① 图② 第19题图 38 真题与拓展·河北数学 21.(本小题满分9分) 甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了 剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的 清雪总量y(吨)与清雪时间x(时)之间的函数图象如图所示. (1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为吨； (2)求此次任务的清雪总量m; (3)求乙队调离后y与x之间的函数关系式 y(吨) B m- 270---- 6x(时) 第21题图 真题与拓展 版权归-战成名新中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 22.（本小题满分9分) 如图，斜坡AB与地面CD的夹角∠BAD=60°，斜坡顶端BE∥CD.半径为2的⊙O相切AB于点P,相切 CD于点Q,⊙O上固定的一点G恰在∠BAC的平分线上.某一时刻，⊙O带动点G沿斜坡AB向上滚 动（无滑动），当⊙O与AB切于点G时停止滚动，发现此时点G恰与点B重合，此时圆心记为O (1)当⊙0在初始位置时，证明：∠BAD=2∠PGQ; (2)求斜坡AB的长（结果保留T); (3)设⊙O'与EB的延长线交于另一点H,求BH的长度 E C Q A 第22题图 39 ·河北数学 23.（本小题满分11分) 24.(本小题满分12分) 已知抛物线L1:y=x2-2ax-2(x≥0)，抛物线L2:y=x2-2ax-4(x<0),图象L,与图象L2组合成图象G. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=√7，AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到 (1)如图，当a=-1时， △A'B'C(点A,B的对应点分别为A',B'),射线CA',CB分别交直线m于点P,Q ①求图象G最低点的纵坐标的值： (1)如图①，当P与A'重合时，求∠ACA'的度数： ②点P(b,4)在图象G上，求b的值： (2)如图②，设A'B'与BC的交点为M,当M为A'B'的中点时，求线段PQ的长： (②)已知40，-3).B(,).当图象G与线段只有一个公共点时，确定。的取值范围。 (3)在旋转过程中，当点P,Q分别在CA',CB'的延长线上时，试探究四边形PA'B'Q的面积是否存在最 小值.若存在，求出四边形PA'B'O的最小面积：若不存在，请说明理由. (3)若图象G有且只有4个点到x轴的距离等于5时，直接写出a的取值范围 m A'(P)B Q B 11 图① 图② 备用图 第24题图 第23题图 40 真题与拓展·河北数学又：∠BEC=∠BFC+∠EBF=∠BFC+a. 等腰三角形，△FOC是等边三角形时，如解图②，此时LACF .∠BFC=45°=∠AFB, =60°，易得∠ABP=∠ACF=60°，在Rt△ABP中，tan∠ABP= .∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°， 厅，解得4=46.综上所述，线段P的长度为1或 AP 点0为4C的中点0F=1C, 3 45 AC=√JAB+BC2=4万， 六0r-4c=2g, (3)线段P的长度为或45.【解法是示】情况-：当 △AOF是等边三角形，△FOC是等腰三角形时，如解图①，此 时∠AOF=60°，易得∠ABP=∠ACF=30°，在Rt△ABP中，AB 4,∠4n-号解得A-配=：当△0F足 图① 图② 第24题解图 10.2025年河北省唐山市路北区中考数学二模试卷 1.A2.D3.A4.D5.D6.D7.C8.C9.A 4=(-4)2-4×3×1=4>0, 10.C11.B ·.此方程有两个不相等的实数根 12.A【解析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是点18.解：尝试：5+3+7=15,15能被3整除， A,:过点A(1,2)的反比例函数解析式为y=2, ≥2，随 ∴.537能被3整除： 验证：abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+(a+b+ 着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才 c), 能满足题意，经过点B(2,5),C(6,1)的直线解析式设为y= ,9能被3整除，(11a+b)是整数， 6m=1解得1， m+n,代人得2m+n=5, .y=-x+7,联立 .9(11a+b)能被3整除， n=7, 又：(a+b+c)能被3整除， y=-x+7, 得x-7x+k=0,根据4≥0，得k≤ .abc也能被3整除： ,综上可知，k 4 t, 应用：子【解法提示1可取0,123,45.6,78,9，共有 的取值袍围为2飞∈号 10种等可能的情况，符合条件的情况有0,3,6,9，共4种， 13.314.(-1,5)15.30° 三位数81n能被3整除的概率为4-2 105 16.5【解析】如解图，作A关于 y 19.解：(1)由题意得，种植B品种果树苗有300×(1-20%-20%- x轴的对称点E,连接AE交x 35%)=75(棵)： 轴于点D,过点E作EM⊥OA M (2)补全统计图如解图：【解法提示】C品种果树苗种植了 于点M,交x轴于点B,:点A 300×20%=60(棵)，∴.成活了60×90%=54（棵） 坐标为(，1)，AD1x轴， 果树苗成活情况统计图 AD=1,0D=√3，.在Rt△AOD 个成活数/棵 E 中，tm∠A0D=D-尽 3, 第16题解图 90 84 OD 80% ∠AOB=30°，EM⊥OA,.∠OMB=90°，又.·C是OB的中 70 60 60 点BM=0B=BC,A.E关于x轴对称AB=BE,AD= 50 02 ED=1,AE=2,AB+BC=BE+BM,.当E,B,M三点共线时. B C D 品种 第19题解图 AB+BC有最小值，即EM长，易得∠AEM=30°，在Rt△AEM 84 中，EM=AE·cos30°=2x)2=3 (3)A品种果树苗的成活率为300X35%×100%=80%: 17.解：(1)P=x2-2(2x-x2)+1=x2-4x+2x2+1=3x2-4x+1; B品种果树描的成活率为号×10%=00： (2)当P=0时，即3x2-4x+1=0. C品种果树苗的成活率为90%； 参考答案及重难题解析·河北数学 29 51 ∴.∠POQ+∠PAQ=180°， D品种果树苗的成活率为 100%=85%: 00×20%1 ∠BAD+∠PAQ=180°， .90%>85%>80%, .∠POQ=∠BAD, .C品种果树苗的成活率最高 ,∠P0Q=2∠PGQ. 20.(1)解：：图①是由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的 .∠BAD=2LPCQ; 图形， .图①的面积为62+82=36+64=100(cm2), 由题意得，大正方形的面积等于图①的面积， .大正方形的边长为√00=10(cm), 图①中等于大正方形边长的线段为FM,AM: (2)证明：由(1)得AM=FM=10cm, 根据正方形的性质得∠D=∠E=90°， D .∴.∠AMD+∠DAM=90°， 第22题解图① 由图②可得∠AMD+∠EMF=90°， (2)解：连接0A,AG,如解图①， .∠DAM=∠EMF. 由(1)知∠AP0=∠A00=90°， 在△ADM和△MEF中， .·0P=00,0A=0A. ∠D=∠E, ∴.Rt△OPA≌Rt△OQA(HL), ∠DAM=∠EMF .∠0AP=∠0AQ,即A0平分∠PAQ, AM=MF, ∠BAD+∠PAQ=180°，∠BAD=60° .△ADM≌△MEF(AAS); ,∠PAQ=120°， (3)解：由(2)得△ADM≌△MEF, ∴.∠OAP= .DM=EF=8 cm, 2∠P4Q=60, ·.CM=DM-DC=8-6=2(cm), OP tan∠OAP= 易得CHDA, AP ∴.△MCH∽△MDA. OP 22W3 .AP= CH CM 2 1 tan∠OPA tan60o3, DA-DM84 ·点G恰在∠BAC的平分线上 .CH=I DA-1 3 ,点A,0,G三点共线 4 6=2(cm). 4 ∴.∠P0G=∠0AP+∠0PA=60°+90°=150°， 39 .BH=BC-C=6-2=(em) 50m×2_5m lo= 180 3, 21.解：(1)270： ..BP= 5T (2)乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为270 3 3 90(吨)， AB=AP+BP-2555T 3+3 :乙队每小时清雪50吨， (3)解：连接O'B,过点O'作O'F⊥BH于点F,如解图② ∴.甲队每小时的清雪量为90-50=40（吨）， ∴.m=270+40×3=390(吨)， .此次任务的清雪总量为390吨： (3)由(2)可知点B的坐标为(6,390)，设乙队调离后y与x 之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0,3≤x≤6)， .图象经过点A(3,270),B(6,390), (3k+b=270, k=40. 解得 (6k+b=390. (b=150 第22题解图② .乙队调离后y与x之间的函数关系式为y=40x+150(3≤ BE∥CD, x≤6). .∠ABH=∠BAD=60°， 22.（1)证明：连接OP,0Q,如解图① ·⊙O与AB相切， :⊙0相切AB于点P,相切CD于点Q, .0'BA=90°， ∴.0P⊥AB,OQ⊥AC, ,∠0'BH=30°， ..∠AP0=∠AQ0=90°， ·O'F⊥BH .·∠P0Q+∠PA0+∠AP0+∠AQ0=360°. ∴.∠O'FB=90°，BH=2BF, 30 参考答案及重难题解析·河北数学 .BF=cos∠0'BF·0'B=cos30°x2=√3， .-a2-4<-5,.a<-1或a>1(舍去).综上所述，a<-1或 .BH=2BF=25 a>√3. 23.解：(1)①当a=-1时， L1:y=x2-2×(-1)x-2=x2+2x-2=(x+1)2-3, x≥0 .x=0时，L,最小值为-2， L2:y=x2-2×(-1)x-4=x2+2x-4=(x+1)2-5, y=-5 y=-5 x<0, x=-1时，L最小值为-5， 图③ 图④ -2>-5, 第23题解图 .图象G最低点的纵坐标的值为-5： 24.解：(1)由旋转的性质可得AC=A'C=2, ②由①知L1:y=x2+2x-2,L2:y=x2+2x-4, .:∠ACB=90°，AB=√7，AC=2. 当P(b,4)在L1:y=x2+2x-2(x≥0)上时，b2+2b-2=4, .BC=√(7)2-22=√/3， 解得b=-1+7或b=-1-√7（舍去）； :∠ACB=90°，直线m∥AC,点P与A'重合， 当P(b,4)在L2:y=x2+2x-4(x<0)上时，b2+2b-4=4, .∴.点A'在直线m上， 解得b=-4或b=2(舍去). .∠A'BC=90°， 综上，b的值为-1+√7或-4： BC√5 ∴.cos∠A'CB= A'C 2 (2A(0,3),B(子，-3)，图象G与线段AB只有-个公共 .∠A'CB=30°， .∠ACA'=60°： 点，如解图①， (2).·M为A'B'的中点，.CM=A'M=B'M, .公共点在L1:y=x2-2ax-2(x≥0)上， >0,对称轴为直线x=a>0, .∠A'CM=∠MA'C, 由旋转的性质可得∠MA'C=∠A,∠A'CB'=∠ACB=90°， 当AB与L1:y=x2-2ax-2(x≥0)相切时，令y=-3,则x2-2ax ∴.∠A=∠A'CM, 2=-3, .x2-2ax+1=0, BC√3 ∴.tan∠PCB=tanA AC 2' .4=(-2a)2-4=0, 3 解得a=1或a=-1(舍去)： ∴.PB=BC·tan∠PCB= 2 当AB与L1:y=x2-2ax-2(x≥0)相交时，交点在A,B之间，如 :∠A'CB'=90°，∠PBC=90° 解图②， ,∠CPB+∠BQC=∠CPB+∠PCB, x2a-2<-3, ∴.∠BQC=∠BCP=∠A, 5 a<-3a号 13 .∴.tan∠BQC=tanA= 2 BC 综上所述，当图象G与线段AB只有一个公共点时，a的取值 ..BO= an∠B0c=2, 范围为a=1或a>2 13 六.PQ=PB+B0=2 (3)四边形PA'B'Q的面积存在最小值. Sn0=S-S=Sw子x2x厅=SAm-5. 0 ∴.要使S边形Pro最小，即S△ew最小。 ∴.PQ最小时，Saeo最小， 图① 图② 设PQ的中点为G, 第23题解图 (3)a<-1或a>√5.【解法提示】两抛物线的对称轴均为直线 ∠PCQ=90°，CG=2P0,即P0=2CG, x=a,当a>0时，如解图③，x≥0时，y=x2-2ax-2=(x-a)2-a 当CG⊥PQ,即CG与CB重合时，CG最小，则PQ最小， -2,则y最小=-a2-2,当x<0时，J小=-4，.-a2-2<-5,a> 此时PQ=2CG=2CB=2W3, 5或a<-√3（舍去）；当a<0时，如解图④，当x≥0时，J小= S6m=3,Sm助形g0=3-5. -2,当x<0时，y=x2-2ax-4=(x-a)2-a2-4,则y小=-a2-4, 即四边形PA'B'Q的最小面积为3-√3. 参考答案及重难题解析·河北数学 31