专题07 图形的变化（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 河北地区二模图形变化专题试题汇编，涵盖解直角三角形、相似、对称、旋转等核心考点，精选各地二模真题，注重实际应用与综合探究，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约10题|相似变换判断（放大镜成像）、对称图形识别（围棋图案）|结合文化素材（马年春晚标识），考查概念辨析| |填空题|约8题|解直角三角形计算（正六边形中心距）、旋转性质应用（等边三角形旋转）|融入生活情境（磁力片拼合），强调空间观念| |解答题|约7题|解直角三角形实际应用（遮阳蓬设计）、图形变换综合（矩形旋转与折叠）|设置分层设问（如动态点运动路径），突出逻辑推理与创新应用|

专题07 图形的变化 考点概览 考点01解直角三角形的概念运算 考点02解直角三角形的实际应用 考点03相似三角形的应用 考点04图形的对称 考点05图形的旋转 考点06图形变化的综合问题 解直角三角形的概念运算 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为2， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴． 2．（2026·河北石家庄·二模）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝2，AH＝EH＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果． 【详解】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示： 则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM， 由折叠的性质得：GE＝BE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠HAE＝∠B＝45°， ∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形， ∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1， ∴GM＝HP＝2+1＝3， 在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝(2)2， 解得：GH＝±(负值舍去)， ∴GH＝， ∴PM＝GH＝， 设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2， 在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+(﹣x)2＝(x+2)2， 解得：x＝2﹣4， ∴PF＝2﹣4， ∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 3．（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 4．（2026·河北石家庄·二模）如图，两个边长都是1的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，过点作，垂足为，则的值为______． 【答案】 【分析】在中，由含的直角三角形性质得出相关边长，最后由正切函数值定义代值计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形的边长为1， ， 在中，，，则，， ， ． 5．（2026·河北邢台·二模）如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． (1)求点到直线的距离； (2)若，则_____； (3)连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）利用三角函数和勾股定理解即可； （2）证明，根据对应边长成比例得，分两种情况：点N在线段上，N在线段的延长线上，代入数值计算即可； （3）过点M作于点H，设，通过解直角三角形，得出，，进而用含x的式子表示出，分别计算出和时的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， 即点到直线的距离为6； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 时，分两种情况： 当点N在线段上时，， ， 解得； 当点N在线段的延长线上时，， ， 解得， 综上可知，或； （3）解：过点M作于点H， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图： ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即， 解得， 当时，是锐角三角形； 当时，如图： 则， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得， 当时，是锐角三角形； 综上可得，当时，是锐角三角形． 6．（2026·河北邢台·二模）若，则________． 【答案】7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 7．（2026·河北张家口·二模）磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为______．（结果精确到．参考数据：） 【答案】9.2 【分析】本题考查正多边形的性质、解直角三角形的应用．先根据正多边形的性质求得正五边形的每个内角度数，如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C，则有，，，再求得，利用锐角三角函数分别求，，进而可求解． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C， 则，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.2． 解直角三角形的实际应用 考点02 8．（2026·河北石家庄·二模）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离． 参考数据：，，，，，．    【答案】米，米． 【分析】过点D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，从而得米，再由矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：(米)， ∴(米)， ∴(米)， ∵ ∴矩形， ∴米，米． 答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．（2026·河北廊坊·二模）太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定．若太阳光线与水平线所成夹角．（结果保留整数．参考数据，，，，，， ） (1)求的度数及的长； (2)在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 【答案】(1)， (2)斜坡面上最多可以放块电池板 【分析】（1）由题意得，在中，，在中， ，得出 ，即可求解． （2）过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形，由（1）得，在中，求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 在中，， ， ， 在中， ， ∴ ； （2）如图，过点作交的延长线于点， 由（1）得， 为等腰直角三角形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， ， ， 电池板的块数是整数， 斜坡面上最多可以放块电池板． 10．（2026·河北邯郸·二模）在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点是旋转的支点，点是把手点，，，，点是的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． (1)求的长； (2)如图3，当向后将拉到与水平地面垂直的位置时，求点距离水平地面的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过作于，再分别求解即可； （2）如图，过作于，过作于，过作交于，交于，可得四边形，是平行四边形，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作于，过作于，过作交于，交于， ∴， ∴四边形，是平行四边形，， ∴，，，， ∵由旋转可得：，，， ∴，即， ∴， 由（1）得：， ∴， 由旋转可得：，则， ∴， ∴，而， 解得：． 11．（2026·河北邯郸·二模）如图1是某社区运动场安装的一架双人漫步机，立柱，静止时，踏板支柱与重合， ，点到地面的距离，小丽踩在上面进行运动时的侧面示意图如图2，踏板连杆绕着点旋转到处，且． (1)求图2中点到地面的距离（过程中的计算结果均精确到）； (2)某人踩漫步机运动，当绕来回摆动时，若点到的最大水平距离为，扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． （参考数据：取0.67，取0.74，取0.90，取0.8，取0.6，取1.33．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作地面的垂线于点，过点作于点，解即可求解； （2）假设点运动到点时，到的水平距离最大，，关于对称，此时扫过的区域扇形的面积最大，解即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点作地面的垂线于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 依题意得，， 在中，， ， ， ， ， 答：图2中点到地面的距离为． （2）解：如图，假设点运动到点时，到的水平距离最大，，关于对称，此时扫过的区域扇形的面积最大， 依题意得，，， 在中，， ， ． ． 答：这个扇形面积最大时圆心角的度数为． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 相似三角形的应用 考点03 13．（2026·河北石家庄·二模）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 14．（2026·河北张家口·二模）如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（     ） A．中心对称 B．位似 C．平移 D．旋转 【答案】C 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移. 15．（2026·河北廊坊·二模）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据相似三角形的判定，得，得到，即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似． 方法一：根据等边三角形性质先计算，再由两角相等证明，所以，即解出，进而求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， 即， 而， ， ， ， ，即， 解得， ． 故选：B． 17．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 18．（2026·河北石家庄·二模）如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定． 设与相较于点，则，，得到,则垂直平分，得到即可解题． 【详解】如图,设与相较于点，    ∵点是的中点,, ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴, ∴点的横坐标为. 故选C. 19．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 20．（2026·河北邯郸·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，与相交于点，则______________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，结合列出方程，解方程即可求出的值． 【详解】根据题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， 故， 解得． 21．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 23．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 【答案】 【分析】作轴于点，交于点，设点，由条件可知，则有，证明，所以，即，则，即，设，则，所以，然后解方程即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点， 设点， 由条件可知，， ， 轴，轴， ， ， ，即， ，即， 设，则， ，解得或（舍去）， ， ． 24．（2026·河北保定·二模）如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， ________． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质等知识，先证明，得出，根据平行线的性质得出，同理可证，根据平行线分线段成比例定理可得出，根据三角形中线的性质可得出，同理求出，，，设，结合，可求出，则，即可求解． 【详解】解∶∵，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶4． 25．（2026·河北石家庄·二模）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3)；的最小值 【分析】（1）由角平分线的性质易得，再分别用勾股定理表示出和，进而建立方程求解； （2）①由即可得解；②参照①思路，构造矩形，过点Q作，垂足为H，证，即可得解； （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出，进而得到点T在的垂直平分线上，很明显当垂直于的垂直平分线上时，有最小值，再参考（2）中思路构造相似求解即可． 【详解】（1）解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，； （2）解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．（2026·河北保定·二模）如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． (1)当时，求的长． (2)当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． (3)将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． (4)直接写出在运动过程中，的最大值． 【答案】(1) (2)当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； (3)当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或 (4) 【分析】（1）当，可得，，求解，结合旋转可得：，进一步可得答案； （2）当点F落在边上或点F落在边上时，根据相似三角形的判定和性质解题即可； （3）过点F作，垂足为G，则，然后得到，可得点F到直线的距离为2，再分两种情况：当点落在边上和点落在边上时，利用勾股定理解题即可； （4）设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则，然后计算求最大值． 【详解】（1）解：如图， ∵矩形，，，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转可得：，， ∴． （2）解：点F落在边上时，如图， ∵是矩形，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F落在边上时，如图 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； （3）解：如图，过点F作，垂足为G， ∵， ∴. 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离为2； 设翻折后的对应点为，分两种情况讨论． ①当点落在边上时，如图，， ∴， 根据折叠的性质可知，， 在中，根据勾股定理，得， 即 ∴ ， ②当点落在边上时，如图，． 分别过点F，P  作，，垂足分别为R，S，  则． 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上可知，当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或. （4）解：设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 连接，，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 综上：的最大值为． 27．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． 【操作探究】 (1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接，交于点O，作直线，直线即为切割线，求的长； 【拓展探究】 (3)如图3，点P，Q分别在边，上，直线平分五边形的面积，当线段长最大时，过点作于点F，直接写出的长． 【答案】(1) 直线如下图所示即为所求； (2) (3) 【分析】（1）易得该五边形是轴对称图形，点A在线段的垂直平分线上，作图步骤：以点C为圆心，大于长为半径画弧，以点D为圆心，以同样长为半径画弧，分别交前弧于点M，N，直线即为线段的垂直平分线． （2）延长，交于点G，利用五边形内角和求得，得到，证明四边形是正方形，再通过求得答案； （3）连接，，先计算出的面积，判断出点P不能与点E重合，设，则，得到，根据，，判断当，即点Q与点B重合时，最大，接着证明，利用求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：在五边形中，，， ∵五边形的内角和为， ∴， 如解图②，延长，交于点G， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长为． 由（2）可得，五边形的面积为， ∵平分五边形的面积， ∴四边形的面积为28， 如图③，连接，， ∵的面积为， ∴点P不能与点E重合， 设，则， ∴， ∵，， ∴当，即点Q与点B重合时，最大，此时，如图④， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 图形的对称 考点04 28．（2026·河北张家口·二模）一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【详解】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C 29．（2026·河北唐山·二模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 30．（2026·河北保定·二模）如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可． 【详解】解：如图，要使补画后的图形是轴对称图形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④，共4种． 31．（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ． 故选：A． 32．（2026·河北保定·二模）如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称与菱形的判定逐一分析即可． 【详解】解：由翻折可得：，， 添加， ∴， ∴四边形是菱形，故A符合题意； 补充，是重复条件，得不到四边相等， 补充得不到四边相等， 故B，C，D不符合题意． 33．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 34．（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程两根之和的规律求出的值，得到反比例函数的比例系数，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程 中，二次项系数为，一次项系数为， ∴ 两根之和 ， ∴ 双曲线解析式为 ，比例系数 ， 反比例函数的增减性仅在每个象限内成立， 不是在全体定义域内随增大而增大，故A错误； B. 将代入，得，所以点不在双曲线上，故B错误； C. 反比例函数的图象关于直线对称，故C正确； D. ∵ ， ∴ 双曲线位于第二、四象限，故D错误． 35．（2026·河北廊坊·二模）如图，在正方形中，E为的中点，将正方形沿折叠，点A落在点F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质和折叠的性质证得，再通过勾股定理，解得相关线段的长，最后证明即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∴，, 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 36．（2026·河北邢台·二模）如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 【答案】 或 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再根据轴对称的性质求出点 关于直线的对称点坐标，最后根据对称点在坐标轴上分类讨论求解的值． 【详解】解：把点代入得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， 点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 连接并延长交y轴于点C， 记直线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点D，直线与x轴的交点为点B，如图， 在直线中，令，可得；令，则， ，且， 为等腰直角三角形， ， 由对称可知，直线与直线互相垂直， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设点，则点， 设直线的函数表达式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为， 联立直线与对称轴的方程， 解得交点坐标为， 根据中点坐标公式可得， 解得，， 对称点的坐标为， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论：当点在轴上时，纵坐标为，即，解得， 当点在轴上时，横坐标为，即，解得， 综上所述，的值为或 ． 37．（2026·河北廊坊·二模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； (2) 为等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 图形的旋转 考点05 38．（2026·河北邯郸·二模）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，…依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为（     ） A．3 B．4 C．4或8 D．3或4或8 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知所得多边形的各边相等，结合图形分情况讨论正多边形的边数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，即所得多边形的各边相等，若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，分以下三种情况讨论： ①如图1，当点与点重合时，若为正三角形，则，此时满足题意； ②如图2，当点在边上，点在边上，且、、、分别为正方形各边的中点时，四边形为正方形，则，此时满足题意； ③如图3，当点、均在边上时，若多边形为正八边形，其内角为 ，， ，为等腰直角三角形 同理可得正方形四个角处均为等腰直角三角形，可构成正八边形，则，此时满足题意 综上所述，的值为或或． 39．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知，进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知，进而可知即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴,, ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴，, ∴， ∴． 40．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件对四个选项逐一验证即可． 【详解】由点A、B的坐标分别为、可知轴，． 由线段绕点旋转后得到，则，轴，所以点的对应点的坐标为． 选项A，此时点和点重合，反比例函数的图象与折线只有一个交点，故选项A不符合题意； 选项B，此时点恰好在线段上，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得， 此时反比例函数的图象与线段的交点为， 所以图象与折线有两个交点，故选项B符合题意； 选项C，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项C不符合题意； 选项D，把代入，得 ，解得． 所以反比例函数的解析式为． 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段的交点为， 令，代入，得，此时反比例函数的图象与线段没有交点， 所以图象与折线只有1个交点，故选项D不符合题意； 【点睛】解决本题除了采用对四个选项逐一判断的方法外，还可以通过寻找临界位置的方法来确定满足条件的的取值范围，从而快速地找到答案，同学们可以试一试． 41．（2026·河北邢台·二模）如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形和旋转的性质，证明，求出和的长，进而发现为等腰三角形；利用旋转角相等推导，通过构造直角三角形利用勾股定理求解的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ， ∴，，M为，中点， ∴，，， 如图，连接， 由旋转性质可知：，， ∴，，，， ∴， ∵点A，M，C，N在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，得 ， 由，得，即（负值舍去）， ∴，，， ∵ ， ∴是等腰三角形， 过点C作于H， ∴H为中点， ∴， 在中，， ∵旋转角， ∴ ， 过点Q作于点E ，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 42．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质、正确作出辅助线是解题的关键． 根据旋转和已知条件证明 ，得出且 ，进而得到，利用平行线性质和等腰直角三角形的性质，通过构造全等三角形证明G点为的中点，最后利用求解． 【详解】解：连接， 、， 是等腰直角三角形， 、， 绕点B逆时针旋转得到线段， 、 ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 过 D点作交 的于点 K， ， ， ， ，即， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 图形变化的综合问题 考点06 43．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． (1)若，求扫过区域的面积．（结果保留） (2)如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． (3)如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． (4)如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据题意，，，利用勾股定理的逆定理容易判断，则扫过区域是圆心角为，半径为的扇形，使用扇形面积公式进行计算即可； （2）容易判断点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，则当、、三点共线时，取得最小值．作于点，作于点，利用勾股定理计算出，进而求出的最小值．利用和分别计算出，，再使用勾股定理计算出即可； （3）延长至点，使得，连接，容易证明和，则，，因此当取得最小值时，和取到最小值．由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，因此当、、三点共线时，取得最小值．延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作于点，连接，作于点，利用和可计算出，，，使用面积法可计算出．容易计算出，进而得到，因此，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时点与点重合，即； （4）①作于点，根据题意可得，进而可判断是等边三角形，则，，利用三角函数计算出，，利用勾股定理计算出后，根据正弦函数的定义进行求值即可； ②在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作于点，容易证明，则为定值，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动．结合旋转的性质可得，进而可证明，则，利用三角函数计算出，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，最后使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵、是的三等分点， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴扫过区域是圆心角为，半径为的扇形， ∴扫过的面积为； （2）解：∵为定值， 又∵， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵、是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在 中，； （3）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴当取得最小值时，和取到最小值， 由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作于点，连接，作于点， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， 在 中， 在中，， ∴， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时点与点重合，即， ∴的最小值为； （4）解：①如图，作于点， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，； ②如图，在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴点的运动路径长为 ． 44．（2026·河北石家庄·二模）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．    (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．    【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 45．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 【答案】(1)证明：由旋转的性质可知，， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)， (3)2或8 (4) 【分析】（1）证明即可； （2）先得出，，再根据角平分线的定义可得的度数；然后利用勾股定理求出的长，根据即可得； （3）分两种情况：①当点在上，即时，延长交于点，先求出的长，则可得，再在中，利用勾股定理求解即可；②当点在上，即时，设交于点，同情况①的方法求解即可； （4）判断出点的运动轨迹，结合圆的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵在矩形中，，，点是边的中点， ∴，，， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， ∵是的平分线， ∴， 在中，， 由旋转的性质可知，， ∴． （3）解：由题意可知，，即， ①如图，当点在上，即时，延长交于点， ∵ ∴， ∴，，即， ∴，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； ②如图，当点在上，即时，设交于点， 同理可得：，，， ∴，， ∴在中，，即， 解得（符合题设）或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为2或8． （4）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点到边的距离等于， 由旋转的性质可知，， ∴如图，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， 由圆的性质可知，点到边距离的最小值等于点到边的距离减去半径，即； 当点与点重合，点到边的距离最大，此时过点作于点，连接，交直线于点，则最大值为， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴点到边距离的最大值为， ∴点到边距离的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题的难度在于正确判断出点的运动轨迹． 试卷第64页，共66页 2/64 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 图形的变化 考点概览 考点01解直角三角形的概念运算 考点02解直角三角形的实际应用 考点03相似三角形的应用 考点04图形的对称 考点05图形的旋转 考点06图形变化的综合问题 解直角三角形的概念运算 考点01 1．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·二模）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（　　） A． B． C．2 D． 3．（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2026·河北石家庄·二模）如图，两个边长都是1的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，过点作，垂足为，则的值为______． 5．（2026·河北邢台·二模）如图，在中，，，，点在边上，过点作交射线于点，作点关于的对称点． (1)求点到直线的距离； (2)若，则_____； (3)连接交边于点，连接．若是锐角三角形，求的取值范围． 6．（2026·河北邢台·二模）若，则________． 7．（2026·河北张家口·二模）磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为______．（结果精确到．参考数据：） 解直角三角形的实际应用 考点02 8．（2026·河北石家庄·二模）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离． 参考数据：，，，，，．    9．（2026·河北廊坊·二模）太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定．若太阳光线与水平线所成夹角．（结果保留整数．参考数据，，，，，， ） (1)求的度数及的长； (2)在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 10．（2026·河北邯郸·二模）在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点是旋转的支点，点是把手点，，，，点是的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． (1)求的长； (2)如图3，当向后将拉到与水平地面垂直的位置时，求点距离水平地面的高度（结果保留根号）． 11．（2026·河北邯郸·二模）如图1是某社区运动场安装的一架双人漫步机，立柱，静止时，踏板支柱与重合， ，点到地面的距离，小丽踩在上面进行运动时的侧面示意图如图2，踏板连杆绕着点旋转到处，且． (1)求图2中点到地面的距离（过程中的计算结果均精确到）； (2)某人踩漫步机运动，当绕来回摆动时，若点到的最大水平距离为，扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． （参考数据：取0.67，取0.74，取0.90，取0.8，取0.6，取1.33．） 12．（2026·河北邯郸·二模）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 相似三角形的应用 考点03 13．（2026·河北石家庄·二模）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（    ） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 14．（2026·河北张家口·二模）如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（     ） A．中心对称 B．位似 C．平移 D．旋转 15．（2026·河北廊坊·二模）如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·河北石家庄·二模）如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A．5 B． C．6 D． 17．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 18．（2026·河北石家庄·二模）如图，已知点在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接， 取中点D， 连接， 移动点B， 若， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 19．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 20．（2026·河北邯郸·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，与相交于点，则______________． 21．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 22．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 23．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 24．（2026·河北保定·二模）如图，在中，，是边上的三等分点，，，是边上的四等分点，与交于点，与交于点，记，，的面积为，，．若， ________． 25．（2026·河北石家庄·二模）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 26．（2026·河北保定·二模）如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． (1)当时，求的长． (2)当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． (3)将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． (4)直接写出在运动过程中，的最大值． 27．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． 【操作探究】 (1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接，交于点O，作直线，直线即为切割线，求的长； 【拓展探究】 (3)如图3，点P，Q分别在边，上，直线平分五边形的面积，当线段长最大时，过点作于点F，直接写出的长． 图形的对称 考点04 28．（2026·河北张家口·二模）一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 29．（2026·河北唐山·二模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·河北保定·二模）如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 31．（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·河北保定·二模）如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（     ） A． B． C． D． 33．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 34．（2026·河北邢台·二模）已知是一元二次方程的两根之和，则关于双曲线的说法正确的是（     ） A．随增大而增大 B．点在双曲线上 C．双曲线关于直线对称 D．双曲线位于一、三象限 35．（2026·河北廊坊·二模）如图，在正方形中，E为的中点，将正方形沿折叠，点A落在点F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 36．（2026·河北邢台·二模）如图，已知点，均为反比例函数图象上的点，若点关于直线对称的点在坐标轴上，则的值为________． 37．（2026·河北廊坊·二模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 图形的旋转 考点05 38．（2026·河北邯郸·二模）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，…依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为（     ） A．3 B．4 C．4或8 D．3或4或8 39．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 40．（2026·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点落在点处，点是反比例函数的图象上一点．要使图象与折线有两个交点，则点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 41．（2026·河北邢台·二模）如图，将平行四边形绕点D逆时针旋转得到四边形，使点A落在对角线上的点M处，点A、M、C、N在一条直线上，若，则B、Q两点间距离为（     ） A． B． C． D． 42．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（   ） A． B． C． D．8 图形变化的综合问题 考点06 43．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． (1)若，求扫过区域的面积．（结果保留） (2)如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． (3)如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． (4)如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 44．（2026·河北石家庄·二模）在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．    (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．    45．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，交于点，点是边的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，的平分线所在直线交对角线于点．当点与点重合时，停止旋转．设，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时．求的度数及的长； (3)当时，求的值； (4)直接写出点到边距离的最大值与最小值的差． 试卷第64页，共66页 2/16 学科网（北京）股份有限公司 $