第6讲 二次函数简单应用及综合题 暑假预习讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第6讲 二次函数简单应用及综合题 暑假预习讲义 【知识精讲+典例+针对练习】新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数在现实情境中的建模方法，能根据实际问题中的条件（如顶点、交点、图象上的点）确定二次函数解析式。 · 掌握 用二次函数解决抛物线运动（抛体、喷泉、导弹等）、面积最大、利润最大、拱桥等经典应用问题的步骤和技巧。 · 熟练运用 配方法或顶点式求二次函数的最值，并能在实际问题中合理取舍答案（如考虑实际意义）。 · 理解 二次函数与方程、不等式、几何图形（平行四边形、菱形等）的综合应用，能利用数形结合和分类讨论解决问题。 · 体会 数学建模思想，将实际问题转化为数学问题，体会函数在优化决策中的作用。 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平而直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】抛物线运动曲线（第1-9题） ※ 方法总结 · 建模步骤： ① 建立坐标系；② 设二次函数（顶点式或一般式）；③ 代入已知点（顶点、起点、某点）求解析式；④ 利用解析式求高度、水平距离、落地时间等。 · 关键点： 顶点坐标为最高点；落地时 ；注意自变量的实际意义（如时间非负）。 · 常见陷阱： 对称轴的应用、图象读取信息（如利用对称性求对称轴）。 1．（2026•雁塔区校级模拟）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 【分析】先根据图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8，即可求解对称轴，即可判断A；再将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【解答】解：由图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8， ∴对称轴为直线t3，故A错误，不符合题意； 将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt，则， 解得， ∴抛物线表达式为h＝﹣t2+6t， ∵﹣1＜0， ∴当t＝3时，hmax＝﹣9+18＝9（m），故B正确，符合题意； 当t＝1时，h＝﹣1+6＝5（m），故C错误，不符合题意； 当h＝0时，则﹣t2+6t＝0，解得t＝6或t＝0， ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 2．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 【分析】足球能射进球门，球射向球门的路线应经过y轴上点B和点O之间的部分，取x＝0时y的值，根据0＜y＜2.44列出不等式组求得合适的a的取值范围，即可判断正确选项． 【解答】解：当x＝0时，y＝4a+2.8， ∵足球能射进球门， ∴0＜y＜2.44， ∴， 解得﹣0.7＜a＜﹣0.09， 则a的值可能是﹣0.1． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确列出式子是解题的关键． 3．（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 【分析】先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误． 【解答】解：s＝﹣2t2+80t＝﹣2（t﹣20）2+800，所以二次函数开口向下，顶点坐标为（20，800）， ∴飞机着陆后滑行20s停下，总滑行距离为800m．据此逐项分析判断如下： A：将t＝5代入函数得 s＝﹣2×52+80×5＝350m，A描述正确，不符合题意； B：由顶点可知最大滑行距离为800m，即飞机滑行800m才能停下，B描述正确，不符合题意； C：总滑行时间为20s，最后10s对应t从10s到20s，将t＝10代入得s＝﹣2×102+80×10＝600m，最后10s滑行距离为800﹣600＝200m≠600m，C描述错误，符合题意； D：当滑行距离为800﹣50＝750m时，令﹣2t2+80t＝750，整理得t2﹣40t+375＝0，解得t＝15（舍去大于总时间20s的解t＝25），因此最后50m用时20﹣15＝5s，D描述正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，对函数配方得到顶点式是关键． 4．（2026•南岗区校级模拟）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离OB为　8　 m． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为y（x﹣3）2+2.5，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：a， ∴y（x﹣3）2+2.5， 令y＝0，得（x﹣3）2+2.5＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 5．（2026•原州区校级二模）物理学中的自由落体运动的公式是（g是重力加速度，它的值约为10m/s2），若物体下落的高度h＝125m，那么降落的时间是　5　 s． 【分析】根据函数关系式，将h＝125，g＝10m/s2代入可得相应自变量的值． 【解答】解：当h＝125，g＝10m/s2时， ， 解得t1＝5，t2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了二次函数的应用，注意时间没有负值，把不符合题意的舍去，解本题的关键是弄清题意． 6．（2026•白银区校级一模）投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．若BC是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m，则这名男生此次投壶　不能　 投中（请填“能”或“不能”）． 【分析】根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将x＝3代入关系式得出答案再比较得出结论． 【解答】解：箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．则： 由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为， 当x＝3时，， ∵， ∴这名男生此次投壶不能投中． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 7．（2026•米东区模拟）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为1.42m的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）由题意可知抛物线，又经过点（0，1），（4，1），建立方程组即可解答； （2）求出抛物线yx2x+1的最大值即可解决； （3）令y＝1.42，求出x，再求出d的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意，抛物线为， ∵图象过点（0.1），（4，1）， ∴． ∴． ∴绳子所对应的抛物线的解析式为yx2x+1； （2）身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下： ∵yx2x+1， ∴当x2时，y222+1＝1.5＜1.6， ∴绳子不能过他的头顶； （3）当y＝1.42时，yx2x+1＝1.42， ∴x＝1.2或x＝2.8， ∴1.2＜d＜2.8． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2026•汇川区二模）郑钦文是我国网球运动员，她在一次比赛过程中，对手在距离底线2m处击球，此时球的高度为1.28m，球的运行轨迹是一条抛物线，当网球飞行距离底线8m时，网球达到最大高度2m，以对方底线O为原点，地平面为x轴，垂直地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知球网与原点O的水平距离约为12m，球网高度为0.9m，球场的边界与原点O的水平距离约为24m．设网球运行的高度y（m），运行的水平距离x（m）（注：当球落在边界上时视为不出界，球触网时视为不能过网）． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）请判断球是否能过网，如果能过球网，球能否落在界内； （3）郑钦文看到对手击球后，决定在网前进行吊球，吊球的路线近似为一条抛物线，设解析式为y＝m（x﹣13）2+h，当球飞行距离球网顶端0.05～0.15m，落点距离球网0.3～0.6m时，吊球的质量最好，如果郑钦文需要打出上述高质量的吊球，求出m的取值范围． 【分析】（1）根据题意可设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣8）2+2（a≠0），且y与x的函数图象过点（2，1.28），将其代入求解即可； （2）利用（1）中关系式，将x＝12代入，求出y的值与0.9m比较即可判断是否能过球网，再令y＝0，解方程即可判断能否落在界内； （3）先根据球过网的高度范围和落点的x范围，得到吊球解析式对应的两组不等式，联立后消去参数，即可求解m的取值范围． 【解答】解：（1）∵球的运行轨迹是一条抛物线，且网球飞行距离底线8m时，网球达到最大高度2m， ∴设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣8）2+2（a≠0）， 由题意得y与x的函数图象过点（2，1.28）， 则1.28＝a（2﹣8）2+2， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）由（1）知y与x的函数关系式为， 将x＝12代入，则， ∵1.68＞0.9， ∴球能过球网； 令， 解得x＝18或x＝﹣2（舍去）， ∵18＜24， ∴球能落在界内； 综上，球能过球网，球能落在界内； （3）将x＝12代入y＝m（x﹣13）2+h，则y＝m（12﹣13）2+h＝m+h， 由题意得0.9+0.05≤m+h≤0.9+0.15，即0.95≤m+h≤1.05， ∴0.95﹣h≤m≤1.05﹣h； 由题意得落点横坐标满足12+0.3≤x≤12+0.6，即12.3≤x≤12.6， 令y＝m（x﹣13）2+h＝0，则h＝﹣m（x﹣13）2， 将h＝﹣m（x﹣13）2代入0.95≤m+h≤1.05得0.95≤m[1﹣（x﹣13）2]≤1.05， 令y′＝1﹣（x﹣13）2＝﹣（x﹣13）2+1， ∵﹣1＜0， ∴二次函数y′的图象开口向下，且关于直线x＝13对称， ∴当x＜13时，y′随x的增大而增大， ∵12.3≤x≤12.6， ∴当x＝12.3时，y′有最小值﹣（12.3﹣13）2+1＝0.51，当x＝12.6时，y′有最大值﹣（12.6﹣13）2+1＝0.84， ∴函数y′在12.3≤x≤12.6范围内，满足0.51≤y′≤0.84， ∴， ∴m的最小值为，m的最大值为， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．（2026•高新区模拟）某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为6km时，达到最大垂直高度3.6km．以O为原点，地面OB所在直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+3.6，将O（0，0）代入求解即可； （2）求出两函数交点的横坐标即可． 【解答】解：（1）根据题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+3.6． 将O（0，0）代入，得0＝a（0﹣6）2+3.6， 解得a＝﹣0.1． ∴红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6． （2）由题意联立解析式得， 解得x1＝10，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． ∴击中时红方导弹的水平飞行距离为10km． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握待定系数法求出二次函数解析式是关键． 【考点2】面积最大问题（第10-16题） ※ 方法总结 · 核心： 设关键边长为 ，用 表示另一相关边长，面积 为二次函数，利用配方法求最大值。 · 注意： 总长固定时，注意墙、门、隔断等对长度表达式的影响；自变量的取值范围由实际条件决定（如墙长、材料长度）。 · 常见图形： 矩形、菱形内接矩形、矩形组合等。 10．（2026•南京三模）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【分析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【解答】解：设围成的图形的面积为ym2， 方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12﹣2x）米， 由题意得：y＝x（12﹣2x）＝﹣2（x﹣3）2+18， 当x＝3时，y有最大值为18； 方案二：∴等腰三角形的腰为6米， 当顶角为直角时，面积最大，为：6×6＝18； 方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12， 解得：r， ∴yπ（）223， ∵23＞18， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键． 11．（2026•静海区校级模拟）如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】观察图2，得出当x＝2时，函数值y＝4最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【解答】解：由图2可知，函数图象最高点为P（2，4），经过原点， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+4， 代入（0，0）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， 由此判断：矩形ABCD最大面积是4平方米，故①错误； 二次函数解析式为y＝﹣x2+4x，故②正确； 矩形ABCD面积最大时，x＝2，故③错误； D．当x＝2时，矩形ABCD面积取最大值y＝4， ∴AB＝4÷2＝2， ∴a＝（AB+BC）×3＝（2+2）×3＝12，故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式． 12．（2026•南漳县模拟）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 【分析】设AE＝xm，草坪的面积为ym2，根据矩形的性质得到y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：根据题意得y＝50×30﹣2x2﹣2（50﹣x）（30﹣x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵﹣2＜0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为800， ∴草坪面积最大为800m2； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 13．（2026•兰州校级模拟）如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A＝60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上．记MN＝xm，PN＝ym，图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【分析】设AB＝m，根据菱形和矩形的性质，求出y与x、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【解答】解：连接对角线AC，BD，BD交MN于点E，如图： 根据菱形和矩形都是中心对称图形可知，AM＝AQ＝CM＝CP，BM＝BN＝DP＝DQ， ∵∠BAD＝60°，AM＝AQ， ∴△AMQ是等边三角形， ∴AM＝MQ＝NP＝y， 设AB＝m，则BM＝m﹣y， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠MBE＝60°， ∴ME＝MB•sin60°（m﹣y）， ∵MEMNx， ∴x（m﹣y）， ∴y＝mx， ∴y与x满足一次函数关系； ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝m， ∴ACABm， ∴S菱形ABCDBD•ACm2， ∴S＝S菱形ABCD﹣S矩形MNPQm2﹣xym2﹣x（mx）x2﹣mxm2， ∴S与x满足二次函数关系， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 14．（2026•泰州模拟）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为xm，花圃的面积为Sm2．则S关于x的函数表达式为S＝﹣2x2+60x ，当x＝　15　 时，S可以取得最大值． 【分析】设与墙垂直的边的长为xm，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设与墙垂直的边的长为xm， ∴与墙平行的一边长为（60﹣2x）， ∴S＝（60﹣2x）x＝﹣2x2+60x， ∵S＝﹣2（x﹣15）2+450， ∴x＝15时，S可取最大值，为4【作业8】 故答案为：S＝﹣2x2+60x，15． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 15．（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　10　 m时，花园的面积最大，最大面积是　200　 m2． 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：由题意可得，花园的面积为：x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x﹣10）2+200， ∴当x＝10时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是200，BC的长是40﹣2×10＝20， 即当x＝10时，花园的面积最大，最大面积是200m2． 故答案为：10；200． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键． 16．（2026•邗江区校级模拟）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏40m． （1）当n＝4时，菜园面积的最大值为　80　 m2； （2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）； （3）在第（2）问的条件下，存在n＝a和n＝b时，菜园面积的最大值之和为100m2，且a≤b，直接写出所有满足条件的a、b的值a＝4，b＝19或a＝5，b＝11或a＝7，b＝7　 ． 【分析】（1）依据题意，设垂直于墙的边长为xm，当n＝4时，平行于墙的边长为（40﹣5x）m，菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，用函数的性质求出最值； （2）依据题意，设垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为[40﹣（n+1）x]m，菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，用函数的性质求出最值； （3）根据第（2）问表示出n＝a和n＝b时，菜园面积的最大值，进而列出关于a，b的方程，根据a，b是正整数且a≤b，用枚举法求出a，b的值． 【解答】解：（1）由题意得，设垂直于墙的边长为xm， ∴当n＝4时，平行于墙的边长为（40﹣5x）m，设菜园的面积为ym2． ∴y＝x（40﹣5x）＝﹣5x2+40x＝﹣5（x﹣4）2+80． ∵40﹣5x＞0， ∴x＜8， ∵﹣5＜0， ∴当 x＝4时，y最大，最大值为80m2． 故答案为：80； （2）由题意，设垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为[40﹣（n+1）x]m，菜园的面积为ym2， ∴y＝x[40﹣（n+1）x]＝﹣（n+1）x2+40x， ∵﹣（n+1）＜0， ∴当时，y有最大值，最大值为． ∴菜园面积的最大值为； （3）n＝a时，菜园最大面积是，n＝b时，菜园最大面积是， 由题意得：， 化简得：ab﹣3a﹣3b﹣7＝0， 即（a﹣3）（b﹣3）＝16， ∵a，b是正整数且a≤b，16＝1×16＝2×8＝4×4， ∴当a﹣3＝1，b﹣3＝16时，a＝4，b＝19， 当a﹣3＝2，b﹣3＝8时，a＝5，b＝11， 当a﹣3＝4，b﹣3＝4时，a＝7，b＝7， 故答案为：a＝4，b＝19或a＝5，b＝11或a＝7，b＝7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式，根据二次函数的性质求面积的最大值． 【考点3】利润最大问题（第17-25题） ※ 方法总结 · 核心： 利润 = (售价 − 进价) × 销售量；销售量通常与售价成一次函数关系（如每涨价1元减少2件）。 · 步骤： 设售价为 （或涨价为 ）→ 表示销量 → 列出利润函数 → 化为顶点式 → 求最大值。 · 注意： 售价范围受进价和市场限制，销量必须非负；若售价为整数，需比较对称轴两侧整数点。 17．（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【解答】解：设每日销售利润为y元，根据题意：每件利润为（x﹣40）元，每日销量为50﹣2（x﹣60）＝170﹣2x，因此利润函数为：y＝（x﹣40）（170﹣2x）＝﹣2x2+250x﹣6800 验证结论①：当x＝70时，y＝（70﹣40）（170﹣2×70）＝30×30＝900， ∵结论中说利润为800元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数y＝﹣2x2+250x﹣6800开口向下，对称轴为， ∵x为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴x＝62满足要求，结论②错误； 验证结论③：令y＝1008，得方程（x﹣40）（170﹣2x）＝1008，整理得x2﹣125x+3904＝0， 解得x1＝61，x2＝64，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有1个； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【分析】解题思路是根据总利润＝单件利润×销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【解答】解：设销售该文具每天获得的利润为w元， 根据题意可得10≤x≤21， w＝（x﹣10）（﹣2x+60） ＝﹣2x2+80x﹣600 ＝﹣2（x﹣20）2+200， ∵﹣2＜0，二次函数图象开口向下， ∴当x＝20时，w取得最大值， 又∵10≤x≤21，20在x的取值范围内， ∴当x＝20时，w的最大值为200元， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 19．（2026•甘肃校级模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【解答】解：发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∵y＝﹣2（x﹣20）2+1558，且﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤18＜20， ∴当x＝18时，y取得最大值， 将x＝18代入解析式得y＝﹣2×（18﹣20）2+1558＝1550， 即一周可获得的最大利润是1550元． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 20．（2025秋•浦东新区期中）某种商品进价20元，售价x元（20≤x≤30，x为整数），销量为（30﹣x）件，利润最大时售价为　25　 元． 【分析】设商品所获利润为w元，先根据“利润＝（售价﹣进价）×销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【解答】解：设所获利润为w元， 由题意得：w＝（x﹣20）（30﹣x） ＝﹣x2+50x﹣600 ＝﹣（x﹣25）2+25， 当25＜x≤30时，w随x的增大而减小，当20≤x≤25时，w随x的增大而增大； 则当x＝25时，w取得最大值，最大值为25元， 故答案为：25． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键． 21．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　34%　 ． 【分析】用待定系数法求出二次函数解析式，再把x＝3代入解析式求出y即可． 【解答】解：根据题意得：二次函数y＝2x2+bx+c经过（1，10），（2，20）， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2+4x+4， 当x＝3时，y＝2×9+4×3+4＝18+12+4＝34， ∴第三年的增长率为34%， 故答案为：34%． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是t＞10　 ． 【分析】依据题意，设月利润为y元，涨价额为x元，由商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，可得其函数图象是抛物线，且开口向下，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，从而若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2，又记涨价t元时，利润最大，故|12﹣t|＜|8﹣t|，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，设月利润为y元，涨价额为x元， ∵商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值， ∴其函数图象是抛物线，且开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了， ∴若令x＝8，y＝y1；令x＝12，y＝y2，则y1＜y2． ∵记涨价t元时，利润最大， ∴|12﹣t|＜|8﹣t|． ∴t＞10． 故答案为：t＞10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23．（2026•长沙二模）某商场购进某商品的进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格x元/件，每天的销售量为y件． （1）请直接写出y关于x的函数关系式y＝﹣10x+900　 ； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）若商场规定销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该商品获得的最大利润是多少？ 【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件即可得到y与x的函数关系式； （2）先求出利润w关于x的二次函数解析式，然后配方得到顶点式找最值进行解答即可； （3）根据“销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可． 【解答】解：（1）根据题意可知y＝300﹣10（x﹣60）＝﹣10x+900， 故答案为：y＝﹣10x+900； （2）根据题意可得w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250， ∴当x＝65时，w最大，最大为6250元， 答：当每件商品的销售单价定为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是6250元； （3）∵商场要完成不少于160件的销售任务， ∴﹣10x+900≥160， 解得x≤74， ∵商场规定销售单价不低于70元， ∴70≤x≤74， ∵w＝﹣10（x﹣65）2+6250，且a＝﹣10＜0，开口向下， ∴当70≤x≤74时，w随x的增大而减小， ∴当x＝70时，获得的利润最大，最大利润是6000元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．（2026•利州区二模）某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个A型水杯的进价比B型水杯贵4元，且用800元购进A型水杯的数量与用600元购进B型水杯的数量相等． （1）求A型、B型水杯每个的进价； （2）该店计划购进A型水杯200个．已知A型水杯每个售价25元时可全部售出；市场调查发现，A型水杯每涨价1元，销量就减少4个．设A型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元．求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润． 【分析】（1）设B型水杯每个进价为x元，则A型水杯每个进价为（x+4）元，根据题意，列出分式方程求解即可； （2）涨价a元时，每个水杯利润为9+a元，销量为200﹣4a个，据此得出w与a的函数关系式，结合抛物线的性质即可求解． 【解答】解：（1）设B型水杯每个进价为x元， 根据题意，可得：， 解得：x＝12， 检验：当x＝12时，x+4≠0、x≠0， 故x＝12是原分式方程的解，且x＝12符合实际意义． 则A型水杯进价：12+4＝16（元） 故A型水杯每个进价16元，B型水杯每个进价12元． （2），A型水杯每涨价1元，销量就减少4个． 涨价a元时，每个水杯利润为（25+a）﹣16＝9+a（元），销量为200﹣4a（个）． 则W＝（9+a）（200﹣4a）， 整理，得W＝﹣4a2+164a+1800， ∵﹣4＜0， 故抛物线的开口向下， 当时，w的值最大， 因为a为整数，所以a可以取20或21， 结合抛物线的对称性可得a取20或21，利润相同， a＝20时，W＝﹣4×202+164×20+1800＝3480， 故当涨价20或21元时，总利润最大，最大为3480元． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 25．（2026•高密市校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【解答】解：任务1：∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴（70﹣x﹣y）×1＝2y， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]， ∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]， 整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x）， ∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10）， 任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008， ∴当x＝18时，获得最大利润， ， ∴x≠18， ∵开口向下， ∴取x＝17或x＝19， 当x＝19时，，符合题意； 当x＝17时，，不符合题意； ∴70﹣x﹣y＝34， ∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 【考点4】拱桥问题（第26-32题） ※ 方法总结 · 建模： 以拱顶为原点或水面中点为原点建立坐标系，设顶点式 或一般式。 · 关键： 利用已知跨度（水面宽度）和拱高求系数；水面上升或下降对应 值变化，求对应 值，利用对称性得宽度。 · 常见问题： 求水面宽度、判断船是否能通过、求水位上升高度等。 26．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y＝﹣4代入yx2， ∴﹣4x2， ∴x＝±4， ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）， ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8m． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 27．（2026•和平区二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度ym与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y＝﹣0.01x2+0.6x．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．有下列结论： ①水面宽度OA＝60m； ②拱桥的最大高度是9m； ③若每条龙舟赛道宽度为9m，最多可设计龙舟赛道4条． 其中，正确结论的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】令y＝0，求出x的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令y＝5，求出x的值，可得水面的安全距离为40m，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【解答】解：由题意可得：当y＝0时，﹣0.01x2+0.6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝60， ∴水面宽度OA＝60m，故①正确； ∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9， ∴拱桥的最大高度是9m，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少5m， 当y＝5时，﹣0.01x2+0.6x＝5， 解得：x1＝10，x2＝50， ∴水面的安全距离为50﹣10＝40m， ∵每条龙舟赛道宽度为9m， ∴可设计龙舟赛道数为（个）， ∴最多可设计龙舟赛道4条，故③正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 28．（2026•细河区二模）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为　4　 米． 【分析】根据题意可得点B的横坐标为8，把x＝8代入，进行计算，即可求解． 【解答】解：抛物线的函数表达式为． 根据题意可得，点B的横坐标为， ∴当x＝8时，， ∴B（8，﹣4）， 此时拱顶O到水面AB的距离为|﹣4|＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（2026•唐河县二模）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为　10　 米． 【分析】依据题意，由题可知，E、F两点纵坐标为6，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长． 【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为6米的点”， ∴令yx2+10＝6． ∴x＝±5． ∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 30．（2026春•梅州月考）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为　40　 m． 【分析】先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A（﹣40，0）在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y＝150代入求出x的值，即可得CD的长． 【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+200，由条件可得： 得0＝a×（﹣40）2+200， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将y＝150代入得：， 解得：x＝±20， ∴C（﹣20，150），D（20，150）， ∴CD＝20﹣（﹣20）＝40m． 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． 31．（2026春•浦东新区校级期中）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB＝20m；当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2（a＜0），由正常水位AB＝20m得A（﹣10，y1）、B（10，y1），代入得y1＝100a；水位上升3m后CD＝10m，得C（﹣5，y2）、D（5，y2），y2＝25a，由|75a|＝3且a＜0，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时x＝10，得y＝﹣4；水面宽8m时x＝±4，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽12m时x＝±6，代入得y＝﹣1.44，桥在x＝6处高度为﹣1.44﹣（﹣4）＝2.56m，再进行比较即可得到解答． 【解答】解：（1）由题意得，设抛物线的解析式为y＝ax2（a＜0）， ∵正常水位时，水面宽AB＝20m， ∴A（﹣10，y1）、B（10，y1）， 代入得：， ∵水位上升3m后，水面宽CD＝10m， ∴C（﹣5，y2）、D（5，y2），|y1﹣y2|＝3， 代入得：， ∴|100a﹣25a|＝3 |75a|＝3 解得， ∵a＜0， ∴抛物线的函数表达式为； （2）当x＝10时，，即正常水位在y＝﹣4处， ∵水面宽8米， ∴当x＝4时，， ∴水位上升高度为； （3）由题意得，正常水位下，船宽12m，即船的左右边缘在x＝±6处， ∴当x＝6时，， ∴桥在x＝6处的高度为：﹣1.44﹣（﹣4）＝2.56m， ∵2.56＜2.6， ∴船不能安全通过此桥． 【点评】本题以抛物线型拱桥为实际载体，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为二次函数问题，结合解析式求解高度与宽度，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 32．（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，顶点E为（2，3），则可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，又图象过A（0，1），进而计算可以得解； （2）由四边形FGMN为正方形，则MN＝FG＝2FH，又设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m，故N（m，4﹣2m），结合N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上，可得4﹣2m（m﹣2）2+3，求出m后即可得解； （3）依据题意，设BF＝m，则N（m，m2+2m+1），故NFm2+2m+1，结合FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点E为（2，3）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3， 又图象过A（0，1）， ∴4a+3＝1． ∴a． ∴抛物线L的表达式为y（x﹣2）2+3； （2）∵四边形FGMN为正方形， ∴MN＝FG＝2FH． 设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m， ∴N（m，4﹣2m）． 又∵N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上， ∴4﹣2m（m﹣2）2+3． ∴m1＝4，m2＝4（不合题意，舍去）． ∴MN＝FN＝4﹣2m＝24； （3）设BF＝m，则N（m，m2+2m+1）， ∴NFm2+2m+1． ∵FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2， ∴2m≤0.7，即2BF≤0.7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、轴对称图形，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【考点5】二次函数综合题型（第33-37题） ※ 方法总结 · 常见综合： 与平行四边形、菱形、面积相等、新定义（派生点）、线段最值等。 · 策略： ① 先求抛物线解析式；② 用坐标表示几何元素；③ 根据几何性质列方程（如平行四边形对边平行且相等、菱形邻边相等或对角线垂直平分）；④ 分类讨论（如菱形边和对角线情况）；⑤ 解方程并检验合理性。 · 思想方法： 数形结合、方程思想、分类讨论。 33．（2026春•浦东新区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）将上述抛物线平移后顶点坐标为点N（2，3），求平移后的抛物线的表达式； （3）若点P是x轴上一个动点，过点P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着点P的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3），解方程即可得出抛物线解析式，进而得到顶点M的坐标； （2）根据平移不改变a值即可得解； （3）分两种情形讨论：①当Q点在x轴下方时，作QE⊥x轴于E；②当Q点在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，分别根据Q的纵坐标，求出点Q的横坐标即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∵抛物线过点C（0，﹣3）， ∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， ∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4， ∴M（1，﹣4）； （2）由题可知平移后的表达式y＝（x﹣2）2+3＝x2﹣4x+7； （3）存在，理由如下： ①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E， ∵四边形ACQP为平行四边形， ∴PQ平行且相等AC， ∴△PEQ≌△AOC， ∴EQ＝OC＝3， ∴﹣3＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝2或x＝0（与C点重合，舍去）， ∴P（1，0）． ②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F， ∵四边形ACPQ为平行四边形， ∴QP平行且相等AC， ∴△PFQ≌△AOC， ∴FQ＝OC＝3， ∴3＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝1或x＝1， ∴P（2，0）或（2，0）． 综上所述，P点为（1，0）或（2，0）或（2，0）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了三角形面积、平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及解一元二次方程的综合应用，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形的面积，学会分类讨论的思想解决问题 34．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解； （2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（，0），B（1，0），C（1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得c＝1，进而求出C点坐标，可得CP、CQ，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出D点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，或或M（1，4）或，理由如下： 由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 把B（﹣3，0）代入，得0＝﹣3k+3，解得：k＝1， ∴y＝x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y＝﹣（x+1+2）2+4＝﹣（x+3）2+4， 联立：， 解得：， ∴D（﹣2，3）， 设M（m，m+3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BM2＝（m+3）2+（m+3）2＝2（m+3）2，DM2＝（m+2）2+m2，BD2＝（3﹣2）2+32＝10， 情况1：BD为菱形的边： ①当BM＝BD时，2（m+3）2＝10， 解得：或， ∴或； ②当DM＝BD时，（m+2）2+m2＝10， 解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1， ∴M（1，4）； 情况2：BD为菱形的对角线： ③当BM＝DM时，（m+2）2+m2＝2（m+3）2，解得：， ∴， 综上所述，直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线 的平移，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 36．（2026•建邺区一模）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点． ①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①由抛物线的轴对称性质知：点A与点B关于直线x＝﹣1对称，所以连接AC，直线AC与直线x＝﹣1的交点即为所求的点P； ②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）在抛物线上，则： ， 解得． 所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， 那么P点为直线AC与x＝﹣1的交点． 由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3． ∴C（0，﹣3）． 可设其解析式为y＝kx﹣3， 把A（﹣3，0）代入，得 ﹣3k﹣3＝0， 解得k＝﹣1； ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3； 当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2， ∴P（﹣1，﹣2）； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得， 解得． 即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3． 设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∴QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2， ∴当x时，QD有最大值． 【点评】此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 37．（2026•金山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 【分析】（1）令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a，即可解得A（﹣3，0），B（1，0）； （2）求出抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1，C（0，﹣3a），可得E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴，而AC平分∠EAO，可知AE＝CE，即2，解得a或a，即可得抛物线的表达式为yx2x； （3）求出D（﹣1，﹣4a），直线CD解析式为y＝ax﹣3a，由S△ADF＝S△CFP，可得AP∥CD，即可求出直线AP解析式为y＝ax+3a，解得P（2，5a），故直线DP解析式为y＝3ax﹣a，可得G（，0），再求出DG，GP，从而可得答案． 【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）中，令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1， 在y＝ax2+2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a， ∴C（0，﹣3a）， ∵点E与点C关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴， ∴∠ECA＝∠CAO， ∵AC平分∠EAO， ∴∠EAC＝∠CAO， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴AE＝CE， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3a），E（﹣2，﹣3a）， ∴2， 解得a或a， ∵a＜0， ∴a， ∴抛物线的表达式为yx2x； （3）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴D（﹣1，﹣4a）， ∵C（0，﹣3a）， ∴直线CD解析式为y＝ax﹣3a， ∵S△ADF＝S△CFP， ∴S△ADP＝S△ACP， ∴AP∥CD， 设直线AP解析式为y＝ax+m， 把A（﹣3，0）代入得：0＝﹣3a+m， ∴m＝3a， ∴直线AP解析式为y＝ax+3a， 联立， 解得或， ∴P（2，5a）， 由D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）得直线DP解析式为y＝3ax﹣a， 在y＝3ax﹣a中，令y＝0得x， ∴G（，0）， ∵D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）， ∴DG，GP， ∴． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，两点间距离公式的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握上述知识． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 抛物线运动（投掷实心球）—— 已知起点和顶点，求落点距离。 · 练习2： 抛物线运动（竖直上抛）—— 根据图象读取信息，判断结论正误。 · 练习3： 拱桥问题（雨伞轮廓）—— 已知抛物线解析式和顶点到某水平线的距离，求两点间距离。 · 练习4： 拱桥问题（拱桥水面变化）—— 水面上升后宽度减少量。 · 练习5： 利润最大（降价促销）—— 在最大利润基础上进行降价，利用销售额列方程求折扣。 【练习1】（2026•上海校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　 m． 【分析】设抛物线为y＝a（x﹣5）2+4，把点，代入即可求出解析式；当y＝0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4， 把点代入得：， ∴， ∴； 当y＝0时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离OM为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2026•安徽模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 【分析】根据二次函数图象和性质求解． 【解答】解：A：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m；故A是错误的； B：当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故B是正确的； C：小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故C是正确的； D：设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40， 由题意得：a（0﹣3）2+40＝0， 解得：a， ∴h（t﹣3）2+40， 当t＝1.5时，h（1.5﹣3）2+40＝30，故D是正确的； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象应用，待定系数法求函数解析式和数形结合思想是解题的关键． 【练习3】（2025秋•松江区期末）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为y＝﹣0.12x2+3，点A、B在抛物线上，且关于y轴对称．若顶点C到AB的距离是1.08分米，那么A、B两点之间的距离是　6　 分米． 【分析】先根据题意求出A、B纵坐标，再把纵坐标代入解析式解方程求出x的值即可． 【解答】解：∵y＝﹣0.12x2+3， ∴顶点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∵顶点C到AB的距离是1.08， ∴点A，B的纵坐标为3﹣1.08＝1.92， 把y＝1.92代入y＝﹣0.12x2+3得：1.92＝﹣0.12x2+3， 解得x1＝﹣3，x2＝3， ∴A（3，1.92），B（﹣3，1.92）， ∴A、B两点之间的距离为3+3＝6（分米）， 故答案为：6． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出A、B坐标． 【练习4】（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　4　 米． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解． 【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0， ∴a， ∴y（x﹣4）2+4． ∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3． ∴x＝2或x＝6． ∴此时水面宽为6﹣2＝4（米）， ∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 【练习5】（2025秋•路南区期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价2a%，则可多售出4a%，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则a的值为　20　 ． 【分析】设销售单价为x元时，利润为y，列出二次函数，确定最大利润时销售单价为35元，对应销售量为150件；设a%＝t，根据降价后销售额5670元列出方程，解二次方程得到t的值，进而得到a的值；选择使销售量最大的a值． 【解答】解：设销售单价为x元时，利润为y元， 依题意，得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴当x＝35时，y有最大值2250， 此时，销量为：250﹣（35﹣25）×10＝150（件）， 则降价促销后，售价为：35（1﹣2a%）元，销售量为：150（1+4a%）件． 依题意，得：35（1﹣2a%）×150（1+4a%）＝5670， 设a%＝t，则方程为35（1﹣2t）×150（1+4t）＝5670，即100t2﹣25t+1＝0， 解得：t＝0.2或t＝0.05， ∴a＝20或a＝5（不合题意，舍去）， 故答案为：20． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式或一元二次方程． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 面积最大（长方形周长固定，长宽为质数合数）—— 利用二次函数求最值，结合数论限制。 · 作业2： 拱桥问题（已知抛物线解析式，求水面宽度）。 · 作业3： 利润最大（电功率与电流的二次函数）—— 由图象求解析式，求最大值。 · 作业4： 面积最大（靠墙围矩形，留门）—— 注意门的宽度对铁丝长度的扣除。 · 作业5： 利润最大（水果售价与进价均为函数）—— 求利润最大值。 · 作业6： 抛物线运动（射水鱼）—— 判断水流能否击中目标。 · 作业7： 拱桥+隧道（喷泉）—— 在最大高度处建隧道，求隧道最大高度。 · 作业8： 拱桥问题（水面下降）—— 求水面下降后的宽度。 · 作业9： 抛物线运动+电量（电动汽车充电）—— 利用二次函数求充电时间。 · 作业10： 利润最大（涨价）—— 求最大利润及售价。 · 作业11： 面积最大（篱笆隔断）—— 求最大面积，并结合两种作物收入求参数范围。 · 作业12： 抛物线运动（足球射门）—— 根据表格求解析式，并求守门员需退后距离。 · 作业13： 拱桥+彩灯（抛物线拱桥挂彩灯）—— 求彩灯最大长度。 ❤ 复习建议 本讲重点在于将实际问题转化为二次函数模型，利用顶点求最值。建议熟练掌握： 根据条件设合适的解析式（顶点式优先）； 准确表示变量之间的数量关系（如销量、边长）； 注意自变量的取值范围和实际意义； 结合图象分析问题（如对称性、单调性）。 【作业1】（2025秋•虹口区校级月考）中秋主题班会中，各班学生积极开展手工制作，其中长方形月饼的周长为50cm，长为一个素数，宽为一个合数，则它的面积最大为（　　）cm2． A．154 B．156 C．150 D．160 【分析】设长为xcm，宽为ycm，x＞y，根据长方形的周长为50cm可得出x+y＝25，则y＝25﹣x，故可得出长方形的面积表达式，据此可得出结论． 【解答】解：设长为xcm，宽为ycm，x＞y， ∵长方形的周长为50cm， ∴x+y＝25， ∴y＝25﹣x， ∴S＝xy＝x（25﹣x）＝25x﹣x2， ∴当x12.5，S最大， ∵x＞y，x为质数，y为合数， ∴当x＝13，y＝12时，S最大＝13×12＝156． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的最值问题及质数与合数，根据题意得出长和宽是解题的关键． 【作业2】（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【分析】求出抛物线当y时x的值，即可得的答案． 【解答】解：∵水面离桥顶的高度为米， ∴当y时，得x2， 解得x＝4或x＝﹣4． ∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当y时x的值即可得解． 【作业3】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【分析】先求出P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+220I，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：当I＝1时，P＝165， ∴165＝﹣55×12+b， 165＝﹣55+b， 解得：b＝220， ∴P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220， ∴当I＝2时，电功率P最大，最大220W， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业4】（2026•河源一模）如图，小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1m的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽DC为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为（　　） A．9.5m B．10m C．10.5m D．11m 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（20﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍， 设矩形场地垂直于墙一边长为xm， S＝x（20﹣2x+1） ＝﹣2x2+21x ＝﹣2（x﹣5.25）2+55.125， ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝5.25时，S最大， 此时BC＝20﹣2×5.25+1＝10.5m． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业5】（2026•德州）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　7　 元． 【分析】依据题意，先求解，设单件水果利润为：W元，可得w＝y1﹣y2再进一步求解即可． 【解答】解：由题意，设， 把（3，12）代入得：9a+3＝12， ∴a＝1， ∴抛物线为， 设单件水果利润为W元， ∴W＝y1﹣y2＝﹣2x+21﹣x2+12x﹣39 ＝﹣x2+10x﹣18 ＝﹣（x﹣5）2+7， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝5时，单件利润W的最大值为7元． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业6】（2026•武威）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　不能　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【分析】依据题意，把x＝20代入解析式：，结合昆虫纵坐标为50，40≠50，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，把x＝20代入解析式：， ∵昆虫纵坐标为50，40≠50， ∴不能击中． 故答案为：不能． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业7】（2026•靖远县二模）儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部EH到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽FG为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为　　 米． 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3，然后可得，当隧道顶部EH到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【解答】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH透明隧道， ∴矩形EFGH关于抛物线的对称轴对称， ∵隧道宽FG为1米， ∴，即， ∵隧道顶部EH到水柱的竖直距离均不小于1.5米， ∴y水柱﹣yEH≥1.5，即yEH≤y水柱﹣1.5， 即当隧道顶部EH到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴隧道顶端到地面的最大高度为（米）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业8】（2026•营口二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为　　 米． 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令y＝﹣2进行求解即可． 【解答】解：由题意可建立坐标系如图所示： 由条件可设抛物线的解析式为y＝ax2+2，则把点（﹣2，0）代入得：4a+2＝0， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当y＝﹣2时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为（米）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是关键． 【作业9】（2026•漳州模拟）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为　　 min． 【分析】由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量，根据题意可得，电量需充到80%，根据累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系，即可求解． 【解答】解：由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量， 根据题意可得，电量需充到490÷70×10+10＝80（%）， 在中， 当x＝30时，， 当x＝80时，， ∴充电时间为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业10】（2026•和平区校级三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，由进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．且每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件，从而y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100，即y＝﹣2x+100，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可得，每天的销售利润为w＝（x﹣15）[50﹣2（x﹣25）]＝100x﹣2x2﹣1500+30x＝﹣2x2+130x﹣1500＝﹣2（x﹣32.5）2+612.5，结合x为整数，且32.5两侧的整数为32和33，﹣2＜0，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．且每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件， ∴y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100，即y＝﹣2x+100； （2）由题意，结合（1）可得，每天的销售利润为w＝（x﹣15）[50﹣2（x﹣25）] ＝100x﹣2x2﹣1500+30x ＝﹣2x2+130x﹣1500 ＝﹣2（x﹣32.5）2+612.5， ∵x为整数，且32.5两侧的整数为32和33，﹣2＜0， ∴当x＝32时， w＝﹣2×322+130×32﹣1500＝612（元）． 当x＝33时： w＝﹣2×332+130×33﹣1500＝612（元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业11】（2026•让胡路区校级模拟）如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝xm，矩形ABCD面积为ym2． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W1（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为210S，乙农作物的年收入W2（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝am，求a的取值范围． 【分析】（1）用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长15m列不等式，可求x的范围； （2）由y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108及二次函数性质、x范围可得x＝7时，y取最大值105，BC＝36﹣3x＝15； （3）设BF＝am，可得矩形ABFE的面积为7am2，矩形EFCD的面积为7（15﹣a） m2，根据两种农作物的年收入之和不小于8918元可得﹣98a2+1470a+7350﹣490a≥8918，再根据乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍，得出7（15﹣a）≥2×7a，从而得出a的取值范围． 【解答】解：（1）由已知得：BC＝（36﹣3x）m， ∴y＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x， ∵墙长15m， ∴0＜36﹣3x≤15， ∴7≤x＜12（m）， 综上，y＝﹣3x2+36x（7≤x＜12）； （2）∵y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108， ∴抛物线对称轴为x＝6， 而﹣3＜0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝7时，y取最大值，最大值是105， 此时BC＝36﹣3x＝15， ∴矩形ABCD面积的最大值是105m2，此时BC的长是15m； （3）设BF＝am，则CF＝（15﹣a）m， ∴矩形ABFE的面积为7am2，矩形EFCD的面积为7（15﹣a） m2， ∴W1＝﹣2（7a）2+210×7a＝﹣98a2+1470a，W2＝70×7（15﹣a）＝7350﹣490a， 根据题意得： ﹣98a2+1470a+7350﹣490a≥8918， 化简得：a2﹣10a+16≤0， 解得：2≤a≤8， ∵乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍， ∴7（15﹣a）≥2×7a， ∴a≤5， ∴2≤a≤5． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式． 【作业12】（2026•武宁县二模）随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　4.8　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 【分析】（1）依据题意，由图象过点（9，4.5），（15，4.5），则对称轴是直线，结合抛物线开口向下，从而当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8，即可得解； （2）依据题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8，又抛物线过点（6，3.6），则36a+4.8＝3.6，求出a后即可得解； （3）依据题意，结合（2）令y＝2.1，则，从而x＝21或x＝3（舍去），又21﹣19＝2，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象过点（9，4.5），（15，4.5）， ∴对称轴是直线． 又∵抛物线开口向下， ∴当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8． 故答案为：4.8； （2）由题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8． 又∵抛物线过点（6，3.6）， ∴36a+4.8＝3.6， ∴， ∴； （3）由题意，结合（2）令y＝2.1， ∴． ∴x＝21或x＝3（舍去）， ∴21﹣19＝2， ∴守门员需要至少退后2米，才能防守成功． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业13】（2026•雁塔区校级模拟）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的函数表达式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯（M﹣E﹣F﹣N），这串彩灯挂在拱桥的中间部分EF与水面接近平行，彩灯两端EM和FN自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯（M﹣E﹣F﹣N）的最大长度． 【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），易得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯EM+EF+FN的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）， 由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+1.8； （2）由题意知，点F（a，a2+1.8）， ∴EF＝2a， ∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m， ∴彩灯的最低点M，N在直线y＝1.2上， ∴点N为（a，1.2）， ∴FNa2+0.6， 设彩灯的长度为w， w＝EF+2FN ＝2a﹣a2+1.2 ＝﹣a2+2a+1.2， ∵﹣1＜0， ∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2． 答：这串彩灯的最大长度为2.2米． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 二次函数简单应用及综合题 暑假预习讲义 【知识精讲+典例+针对练习】新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数在现实情境中的建模方法，能根据实际问题中的条件（如顶点、交点、图象上的点）确定二次函数解析式。 · 掌握 用二次函数解决抛物线运动（抛体、喷泉、导弹等）、面积最大、利润最大、拱桥等经典应用问题的步骤和技巧。 · 熟练运用 配方法或顶点式求二次函数的最值，并能在实际问题中合理取舍答案（如考虑实际意义）。 · 理解 二次函数与方程、不等式、几何图形（平行四边形、菱形等）的综合应用，能利用数形结合和分类讨论解决问题。 · 体会 数学建模思想，将实际问题转化为数学问题，体会函数在优化决策中的作用。 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平而直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】抛物线运动曲线（第1-9题） ※ 方法总结 · 建模步骤： ① 建立坐标系；② 设二次函数（顶点式或一般式）；③ 代入已知点（顶点、起点、某点）求解析式；④ 利用解析式求高度、水平距离、落地时间等。 · 关键点： 顶点坐标为最高点；落地时 ；注意自变量的实际意义（如时间非负）。 · 常见陷阱： 对称轴的应用、图象读取信息（如利用对称性求对称轴）。 1．（2026•雁塔区校级模拟）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 2．（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 3．（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 4．（2026•南岗区校级模拟）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离OB为　 　 m． 5．（2026•原州区校级二模）物理学中的自由落体运动的公式是（g是重力加速度，它的值约为10m/s2），若物体下落的高度h＝125m，那么降落的时间是　 　 s． 6．（2026•白银区校级一模）投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处．若BC是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且OB＝3m，则这名男生此次投壶　 　 投中（请填“能”或“不能”）． 7．（2026•米东区模拟）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式． （2）身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． （3）身高为1.42m的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出d的取值范围． 8．（2026•汇川区二模）郑钦文是我国网球运动员，她在一次比赛过程中，对手在距离底线2m处击球，此时球的高度为1.28m，球的运行轨迹是一条抛物线，当网球飞行距离底线8m时，网球达到最大高度2m，以对方底线O为原点，地平面为x轴，垂直地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知球网与原点O的水平距离约为12m，球网高度为0.9m，球场的边界与原点O的水平距离约为24m．设网球运行的高度y（m），运行的水平距离x（m）（注：当球落在边界上时视为不出界，球触网时视为不能过网）． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）请判断球是否能过网，如果能过球网，球能否落在界内； （3）郑钦文看到对手击球后，决定在网前进行吊球，吊球的路线近似为一条抛物线，设解析式为y＝m（x﹣13）2+h，当球飞行距离球网顶端0.05～0.15m，落点距离球网0.3～0.6m时，吊球的质量最好，如果郑钦文需要打出上述高质量的吊球，求出m的取值范围． 9．（2026•高新区模拟）某课外活动小组在实验室进行AI防空模拟演练，如图①，在对战中，红方导弹从地面点O发射，其飞行轨迹OAB可视为抛物线的一部分（模拟演练过程在同一平面内进行，其他因素忽略不计）．当导弹的水平飞行距离为6km时，达到最大垂直高度3.6km．以O为原点，地面OB所在直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求红方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）如图②，红方侦察发现蓝方导弹飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为，并立即进行拦截，且恰好可以击中．求击中时红方导弹的水平飞行距离． 【考点2】面积最大问题（第10-16题） ※ 方法总结 · 核心： 设关键边长为 ，用 表示另一相关边长，面积 为二次函数，利用配方法求最大值。 · 注意： 总长固定时，注意墙、门、隔断等对长度表达式的影响；自变量的取值范围由实际条件决定（如墙长、材料长度）。 · 常见图形： 矩形、菱形内接矩形、矩形组合等。 10．（2026•南京三模）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 11．（2026•静海区校级模拟）如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026•南漳县模拟）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 13．（2026•兰州校级模拟）如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A＝60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上．记MN＝xm，PN＝ym，图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 14．（2026•泰州模拟）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为xm，花圃的面积为Sm2．则S关于x的函数表达式为　 　 ，当x＝　 　 时，S可以取得最大值． 15．（2026春•衢州期中）某居民小区要建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙（墙足够长），另三边由总长为40m的材料围成．如图，设AB＝x（m），问：当x＝　 　 m时，花园的面积最大，最大面积是　 　 m2． 16．（2026•邗江区校级模拟）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏40m． （1）当n＝4时，菜园面积的最大值为　 　 m2； （2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）； （3）在第（2）问的条件下，存在n＝a和n＝b时，菜园面积的最大值之和为100m2，且a≤b，直接写出所有满足条件的a、b的值　 　 ． 【考点3】利润最大问题（第17-25题） ※ 方法总结 · 核心： 利润 = (售价 − 进价) × 销售量；销售量通常与售价成一次函数关系（如每涨价1元减少2件）。 · 步骤： 设售价为 （或涨价为 ）→ 表示销量 → 列出利润函数 → 化为顶点式 → 求最大值。 · 注意： 售价范围受进价和市场限制，销量必须非负；若售价为整数，需比较对称轴两侧整数点。 17．（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 18．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 19．（2026•甘肃校级模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 20．（2025秋•浦东新区期中）某种商品进价20元，售价x元（20≤x≤30，x为整数），销量为（30﹣x）件，利润最大时售价为　 　 元． 21．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　 　 ． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是　 　 ． 23．（2026•长沙二模）某商场购进某商品的进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格x元/件，每天的销售量为y件． （1）请直接写出y关于x的函数关系式　 　 ； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）若商场规定销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该商品获得的最大利润是多少？ 24．（2026•利州区二模）某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个A型水杯的进价比B型水杯贵4元，且用800元购进A型水杯的数量与用600元购进B型水杯的数量相等． （1）求A型、B型水杯每个的进价； （2）该店计划购进A型水杯200个．已知A型水杯每个售价25元时可全部售出；市场调查发现，A型水杯每涨价1元，销量就减少4个．设A型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元．求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润． 25．（2026•高密市校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【考点4】拱桥问题（第26-32题） ※ 方法总结 · 建模： 以拱顶为原点或水面中点为原点建立坐标系，设顶点式 或一般式。 · 关键： 利用已知跨度（水面宽度）和拱高求系数；水面上升或下降对应 值变化，求对应 值，利用对称性得宽度。 · 常见问题： 求水面宽度、判断船是否能通过、求水位上升高度等。 26．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 27．（2026•和平区二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度ym与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y＝﹣0.01x2+0.6x．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．有下列结论： ①水面宽度OA＝60m； ②拱桥的最大高度是9m； ③若每条龙舟赛道宽度为9m，最多可设计龙舟赛道4条． 其中，正确结论的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（2026•细河区二模）如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为　 　 米． 29．（2026•唐河县二模）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为　 　 米． 30．（2026春•梅州月考）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为　 　 m． 31．（2026春•浦东新区校级期中）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB＝20m；当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 32．（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【考点5】二次函数综合题型（第33-37题） ※ 方法总结 · 常见综合： 与平行四边形、菱形、面积相等、新定义（派生点）、线段最值等。 · 策略： ① 先求抛物线解析式；② 用坐标表示几何元素；③ 根据几何性质列方程（如平行四边形对边平行且相等、菱形邻边相等或对角线垂直平分）；④ 分类讨论（如菱形边和对角线情况）；⑤ 解方程并检验合理性。 · 思想方法： 数形结合、方程思想、分类讨论。 33．（2026春•浦东新区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）将上述抛物线平移后顶点坐标为点N（2，3），求平移后的抛物线的表达式； （3）若点P是x轴上一个动点，过点P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着点P的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 35．（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2026•建邺区一模）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点． ①在对称轴直线x＝﹣1上找到一点P，使得△PBC的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 37．（2026•金山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 抛物线运动（投掷实心球）—— 已知起点和顶点，求落点距离。 · 练习2： 抛物线运动（竖直上抛）—— 根据图象读取信息，判断结论正误。 · 练习3： 拱桥问题（雨伞轮廓）—— 已知抛物线解析式和顶点到某水平线的距离，求两点间距离。 · 练习4： 拱桥问题（拱桥水面变化）—— 水面上升后宽度减少量。 · 练习5： 利润最大（降价促销）—— 在最大利润基础上进行降价，利用销售额列方程求折扣。 【练习1】（2026•上海校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 【练习2】（2026•安徽模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 【练习3】（2025秋•松江区期末）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为y＝﹣0.12x2+3，点A、B在抛物线上，且关于y轴对称．若顶点C到AB的距离是1.08分米，那么A、B两点之间的距离是　 　 分米． 【练习4】（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【练习5】（2025秋•路南区期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价2a%，则可多售出4a%，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则a的值为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 面积最大（长方形周长固定，长宽为质数合数）—— 利用二次函数求最值，结合数论限制。 · 作业2： 拱桥问题（已知抛物线解析式，求水面宽度）。 · 作业3： 利润最大（电功率与电流的二次函数）—— 由图象求解析式，求最大值。 · 作业4： 面积最大（靠墙围矩形，留门）—— 注意门的宽度对铁丝长度的扣除。 · 作业5： 利润最大（水果售价与进价均为函数）—— 求利润最大值。 · 作业6： 抛物线运动（射水鱼）—— 判断水流能否击中目标。 · 作业7： 拱桥+隧道（喷泉）—— 在最大高度处建隧道，求隧道最大高度。 · 作业8： 拱桥问题（水面下降）—— 求水面下降后的宽度。 · 作业9： 抛物线运动+电量（电动汽车充电）—— 利用二次函数求充电时间。 · 作业10： 利润最大（涨价）—— 求最大利润及售价。 · 作业11： 面积最大（篱笆隔断）—— 求最大面积，并结合两种作物收入求参数范围。 · 作业12： 抛物线运动（足球射门）—— 根据表格求解析式，并求守门员需退后距离。 · 作业13： 拱桥+彩灯（抛物线拱桥挂彩灯）—— 求彩灯最大长度。 ❤ 复习建议 本讲重点在于将实际问题转化为二次函数模型，利用顶点求最值。建议熟练掌握： 根据条件设合适的解析式（顶点式优先）； 准确表示变量之间的数量关系（如销量、边长）； 注意自变量的取值范围和实际意义； 结合图象分析问题（如对称性、单调性）。 【作业1】（2025秋•虹口区校级月考）中秋主题班会中，各班学生积极开展手工制作，其中长方形月饼的周长为50cm，长为一个素数，宽为一个合数，则它的面积最大为（　　）cm2． A．154 B．156 C．150 D．160 【作业2】（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【作业3】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【作业4】（2026•河源一模）如图，小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为12m）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1m的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽DC为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为（　　） A．9.5m B．10m C．10.5m D．11m 【作业5】（2026•德州）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1＝﹣2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为　 　 元． 【作业6】（2026•武威）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　 　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【作业7】（2026•靖远县二模）儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形EFGH透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部EH到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽FG为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为　 　 米． 【作业8】（2026•营口二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度l为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为　 　 米． 【作业9】（2026•漳州模拟）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为　 　 min． 【作业10】（2026•和平区校级三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【作业11】（2026•让胡路区校级模拟）如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB＝xm，矩形ABCD面积为ym2． （1）请求出y与x的函数解析式； （2）求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长； （3）在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W1（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为210S，乙农作物的年收入W2（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2＝70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF＝am，求a的取值范围． 【作业12】（2026•武宁县二模）随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　 　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 【作业13】（2026•雁塔区校级模拟）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m． （1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的函数表达式； （2）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯（M﹣E﹣F﹣N），这串彩灯挂在拱桥的中间部分EF与水面接近平行，彩灯两端EM和FN自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯（M﹣E﹣F﹣N）的最大长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $