南宁市2026-2027学年高一上学期数学入学模拟练习试卷

**基本信息** 以集合、函数、几何为核心，通过基础概念判断与综合应用探究，衔接初高中数学思维，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|5题|子集个数公式、充分不必要条件判定|集合概念→关系运算→逻辑推理| |函数与方程|4题|待定系数法、数形结合求面积|函数定义→解析式求解→性质应用| |几何图形|4题|正六边形性质、菱形与扇形面积计算|图形性质→静态计算→动态函数关系| |综合探究|2题|创新概念证明、分类讨论相似|黄金分割线定义→证明→拓展应用|

南宁市2026-2027学年高一上学期入学数学模拟练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2. 已知，，则的值为（   ） A．-1 B．2 C．3 D．4 3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. 设集合，若，则的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 5. 集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（    ）   A．cm B．2cm C．2cm D．4cm 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将绕点旋转至位置，且为的中点，在反比例函数上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知且，那么n，m，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合有且仅有两个子集，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解集是空集 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 10. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论正确的是（    ）   A．若，则 B．当时，且的最小值为 C．抛物线上有两点和，若，且，则 D．当时，对于抛物线上两点，若，则 11. 如图1，在四边形中，，直线垂直于所在的直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是（    ） A． B．的长为3 C．当时，△BEF的面积不变 D．四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 13. 如图，边长为10的菱形ABCD，对角线，分别以点A，B，C，D为圆心，5为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ______ .（结果保留） 14. 关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ______________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知集合， (1) 当时，求； (2) 若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. （15分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 若过点且平行于y轴的直线上有一动点P，当的面积为21时，求点P的坐标． 17. （15分）解方程组. 18. （17分）数学课上神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们的极大兴趣，某学习兴趣小组在探究该知识时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似地给出定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1) 该学习兴趣小组猜想：如图1，在矩形中，若点E是线段的黄金分割点，则线段的垂线就是矩形的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2) 该学习兴趣小组在进一步探究中发现如图2，在（1）的条件下，点M是线段的中点，另外一条直线经过点M，与矩形两条对边分别交于点G和点H，则直线也是矩形的黄金分割线，请你说明理由； (3) 请你比较分析与动手操作： ①一条线段有两个黄金分割点，一个矩形有多少条黄金分割线； ②如图3所示，在中，点是线段的黄金分割点，点F是线段上的另外一点（异于点E），请过点F作一条的黄金分割线，并说明理由． 19. （17分）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过，两点． (1) 求抛物线的函数解析式． (2) 是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． (3) 是线段上的动点，是抛物线在第一象限内的动点，连接交轴于点．是否存在点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．B【详解】依题意，，， 所以，共4个元素. 2．C【详解】∵，， ∴ . 3．A【详解】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 4．D【详解】由集合，得，又，则或， 当时，， 于是，得，因此； 当时，集合，有，则，解得，不满足题意， 所以. 5．D【详解】，解得或， ，集合A有两个元素， 所以其有4个子集． 6．A【详解】如图，在正六边形中，设圆心为， 过点作，垂足为，连接， 则， 而，则为等边三角形， 又，则，， 则， 即这个圆形纸片的半径是cm. 7．B【详解】连接，作轴于点， 由题意知，为的中点，,， 所以， 所以为等边三角形， 所以， 所以，， 所以， 所以，， 即， 因为点在反比例函数上，所以. 8．C【详解】法一：因，， 则，，则， 因，则，故， 则，即； ，即； ，即； 故 法二：假设符合条件的，， 则， 则 故 9．AB【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以方程只有一个实数解， 所以，即，由于，所以． 对于A，， 当时等号成立，故A正确； 对于B，，即，该不等式解集是空集，B正确； 对于C，不等式的解集为，所以，故C错误； 对于D，不等式的解集为， 即不等式的解集为， 则，，且， 所以， 所以，故D错误． 10．BD【详解】二次函数的开口向上，对称轴，. A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，由图可知，当时， 当时，取得最小值为，B选项正确. C选项，抛物线上有两点和，若，且， 即，而点与关于直线对称， 所以当时，有，C选项错误. D选项，当时， ， 对于抛物线上两点，若， 则，则，结合图象可知，所以D选项正确. 11．AD【详解】当，时，点运动到点处，如图， 因为直线垂直于所在的直线，即, ，,即，， ，，故A正确； 当时点到达点处，如图， 因为， ，， 当时，点到点处， ，， ，故B错误； 当时，的底边长度不变，点到的距离逐渐增大， 面积逐渐变大，故C错误； 如图， ，， ，又, ， ，， ，为等边三角形，， 在中, ， 四边形的周长为，故 D正确． 12．【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 13．【详解】如图，记对角线AC与BD交于点O， ∵菱形ABCD中，，， ∴，，，∴， ∴， ∴菱形ABCD的面积为， ∵， ∴四个扇形的面积面积之和等于一个以的长为半径的圆的面积， ∴图中阴影部分的面积为. 14．且【详解】由，则， 则，即，解得， 由，则，解得， 由题意得，，则且. 15． （1）， 当时，， 所以. （2）由题意，可得集合A是集合B的真子集， 因为恒成立，所以集合A非空. 所以，解得. 经检验时，,不符合题意， 所以. 即实数m的取值范围是． 16． （1）由题意，得，解得， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为. （2）如图，直线与一次函数交于， 设，， 过分别作直线的垂线和，垂足分别为， 由于，，则， 而，则，解得或， 则点P的坐标为或． 17． 解：由可得， 所以， 配方可得：， 所以且， 解得， 方程组的解为. 18． （1）垂线是矩形的黄金分割线，理由如下： 点是线段的黄金分割点， ， 矩形，矩形，矩形的宽相等， 则，，即有， 所以垂线是矩形的黄金分割线. （2），， 又点是线段的中点，， 又，， ，， 又，. 因此，直线也是矩形的黄金分割线. （3）①根据以上的结论可知一个矩形有无数条黄金分割线； ②连接、，过点作，交于点， 则，，， ，， 为所求的黄金分割线. 19． （1）在中，令，得；令，得，则得， 因抛物线经过两点，则，解得， 故抛物线的函数解析式为. （2）设，因轴，则易得，且， 由图知，， 因，则当时，的长的最大值为4. （3）设，因，则,分两种情况： ① 如图，当时，有（*）,则,故,故,即，则，则， 代入（*），可得，解得或3（舍去），则，故得. 设直线的解析式为，则，解得， 即直线的解析式为，由消去整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 将代入，解得，故点的坐标为； ②如图， 当时，过点作于，因，则 ，则,因,则,则,故, 设,则，在中，，解得，故， 因,, 则，因,故,则,即，解得，故，同理可得直线的解析式为，联立 解得或（不合题意，舍去）， 将代入，解得，故点的坐标为. 综上，点的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $