广西南宁市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.己知集合M={x12x-1>5》,N={1,2,3},则M∩N=() A.{1,2,3} B.{23} C.3) D.0 2.命题“3x∈R,使x>1”的否定是() A.x∈R,都有x>1 B.x∈R,都有x≤1 C不存在x∈R,使x≤1 D.3x∈R,使x≤1 3.若角α与2026°的终边相同，则角a的终边所在的象限是() A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.函数∫(x)=3-“的单调递增区间为(） A.(0,+o) B.(（L,+∞) C.(-,+oo) D.（-o,1) 5.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为() A.S B.5 C.2 2 D π 03 6.已知a=（ b=22,c=log0.3,则a,b,c的大小关系为) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 7.已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为() A.(0,1]U[3,+oo) B.[3,+o) C.[9,+o) D.[l,+o) 8.己知函数f(x)= inx,x>0 x2+2x+2,x0' 则方程∫∫(x》=2的实数解的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.关于函数f(x)=tan2x的说法中正确的是() 高一数学第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 以图象关于点经0对称 C.图象关于直线x=严对称 n在区间受引上养闲选州 10.已知函数f(x)=1og1x, 则下列说法正确的是() A.函数f(x)的定义域为(0，+o) B.当0<x<1时，(x)>0 Cf)>1的解集为经+o】 )- 11.已知定义在R上的偶函数f(x)图象关于（山，0）对称，当x∈[0，时，∫(x)单调递减，则下列说 法正确的有() A.f(0)=1 B.f(x+2)÷-∫(x) C.f(x)在区间[2,3]上单调递增 D.f(π)<f(2026) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.cos2g-sin2g=_▲ 8 洒或三1文O>0山在R上孕遥，实玫a取醒 14.已知函数)y=a(a>0,且a≠)在[，2]上的最大值与最小值之积等于8，设函数f女)= a+11 求： (1)实数a=△： (2)若不等式∫(x)+∫(1-x一m<1对任意xeR恒成立，则实数m的取值范围是△ 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.体题满分13分尼知ina=字a0引 1 (求cosa-到的值： a回若o0=子Be受求(a-）的值 高一数学第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.(本题满分15分)已知函数(x)=1og.(1+x),g(x)=log。(1-x),(a>0,且a≠1) (I)记h(x)=f(x)+g(x),判断h(x)的奇偶性并证明： (2)求关于x的不等式f(x)>g(x)的解集. 17.(本题满分15分)已知函数f(x)=2√3 sinxcosx+2sin2x-,x∈R. (1)求函数(x)的单调区间： (2)若xeR；t∈R,都满足mt2+mt+4≥fx),求m的取值范围. 18.(本题满分17分)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.六堡茶历史悠久， 兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称.已知某款六堡茶用95℃的水冲泡，当茶 水温度降至60℃时饮用，口感最佳.某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用95℃的水冲泡， 茶水达到最佳饮用口感时的放置时间.在实验室通过做实验，每隔Imi测量一次茶水温度，得到 茶水温度yC与时间tmin的部分数据如下表所示： 时间/min 0 2 3 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型： ①y=H+m(k<0),②y=aH+d(心0,0<bK1),③y=log,t+q)+c,(p>lq>0), 请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相 应的函数解析式： (2)根据(1)中所求函数模型： ()计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间： ()当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温. (参考数据：g3≈0.48，g5≈0.70） 高一数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(木题满分17分)对于两个定义域相同的函数(xg(x),若存在实数入，4，使得 h(x)=∫(x)+g(x),则称((x)g(x》为h(x)的一组“函数基底”，（亿，）为h(x)在该组“函数 基底”下对应的“系数坐标”， （活/心)=sm8)=cor,试好新(g》是否为M=✉+学的一组“随数装底”？ 若是，求出对应的“系数坐标”（几，，若不是，请说明理由： (2)已知(x)=n(2+),g(x)=x+2,若函数()在“函数基底”（∫(x),g(x》下对应的“系数 坐标”为(d,),且满足：①h(x)定义域为R:②h(x)为偶函数：③2入+4=1. (i)求函数h(x)的解析式： (i)已知-1=x。5xsx25…≤x,1≤x,=1(n23,neZ) 记Mh(x)一h(x)川+Ih(x,)-h(x)川+…+1h(x,)-h(x.)川，求M的最大值. 高一数学第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP高一数学参考答案 题号1 23 5 6 7 8 9 10 11 答案 D BC B A D D AB ABD BC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.【解析】因为M={x2x-1>5}={x|x>3},所以M∩N=☑，故选：D. 2。【解析】特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词. 命题“3x∈R,使x>1”的否定是Vx∈R,都有x≤1，故选B. 3.【解析】因为2026=226+5×360°，所以因此2026与226终边相同，都位于第三象限.故选：C. 4.【解析】令u=x2-2x,则x∈(m,1),u=x2-2x单调递减，x∈(1，+o),u=x2-2x单调递增， 且y=3“在R上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)=3-“的单调递增区间为(L,+∞)： 故选：B 5.【解析】设这个扇形中心角的弧度数为a,半径为r. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，∴.=5， 1 2w=5,解得u=)故选A 6.【解析】由指数函数的性质，可得0<a =1,b=22>2°=1，即0<a<1<b, 又由对数函数的性质，可得c=log20.2<log21=0,所以c<a<b.故选：D 7.【解析】因为a>0,b>0,且ab=a+b+3,所以b-3=a+b≥2ab,当且仅当a=b=3时取等 号，解得√b≥3或√b≤-1（舍去），所以b≥9，所以ab的取值范围为[9，+o).故选：C 8.【解析】令t=f(x),则f()=2.当t>0时，则nt=2,得t=e2或t=e2 当t≤0时，则t2+2t+2=2,得t=0或t=-2 再由t=f(x),所以原方程f(f(x)=2等价于下面四个方程的解： f(x)=e2.①，f(x)=e2②，fx)=0..③，f(x)=-2④. inx,x>0 再由f(x)= x+2x+2,x≤0'图象如下： 对方程①f(x)=e2,因为f(x)=e2>2,由图易知方程f(x)=e2共有3个解： 对方程②f(x)=e2,因为0<f(x)=e2<1,由图易知方程f(x)=e2共有2个解： 对方程③f(x)=0,由图易知方程f(x)=0有唯一的解x=1: 高一数学参考答案1页（共7页） 对方程④f(x)=-2,由函数的图象可知方程f(x)=-2无实数解. 综上所述，方程的解共有3+2+1+0=6个.故选：D, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9【解标】对于A,由2x登+，keZ,得x:孕受，keZ,故A正确：对于B,由2-任。 2 得x- 年所以图家关于点匠0 对称，故B正确；对于C,函数f(x)=tan2x不存在对称轴，故C 错误；对于D,因为x∈ 22 所以2x∈(-兀，π)，区间(-兀，π)不是函数y=tnx的单调递增区间， 故D错误.故选：AB 10.【解析】对于A:函数f(0=1og1x的定义域为0.+∞)，故A正确：对于B:函数f(0=l1og1x 2 在0，+∞)上单调递减，所以当0<x<1时，f=l8:x>g1=0,故B正确；对于C:函数f()=1og1X 在@四上单涧遥减，f>1,即e,1分，解得》放c错谈： 对于D: 了》片J0=1-0,故D正确故选ABD. 11.【解析】∫(O)的取值无法确定，故A错误；由知∫(x)是定义在R上的偶函数，则∫(-x)=∫(x), 且f(1)=0,又f(x)的图象关于(1,0)对称，则f(-x)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x), 故B正确：由f(x)为偶函数，且x∈[0,1]时，f(x)单调递减，则其在[-1，O]单调递增，又图象关 于(1,0)对称，则f(x)在区间[2,3]上的单调性与在区间[-1,0]的单调性相同，即f(x)在区间[2,3] 上单调递增，故C正确；由f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)周期为4， 故f(2026)=f(4×506+2)=f(2),且3<π<4，f(x)在区间[2,4]上单调递增，所以 f(元)>f(2026),故D错误.故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5:【解析】cosg-sm2及=cos(2x令=cos牙 sπ_ ,故答案为： 2 8 8 42 2 B动.容】四-发2R1稀 高一数学参考答案2页（共7页） [a>1, 4 3 可得3-2a>0, 解得；≤a<故答案为： 2 a+1≥5-2a, 14.2:（3-2√2，+o):【解析】(1)因为y=m在[1,2]上单调，则a-d=d=8,解得a=2. @故-，品1国数文城为眼 1 +1- 1 ，=2-12 所以f+f0-)12+中2+2+2+2，所以/④+/0=)-<1即 322m1.1m413说，1=20 a0+3号p4 1、、1 ≥1-1 1t+2+312.2+3 =1-1=22-2 2W2+3 当且仅当=反，即x=时取等号，所以1-m<25-2m心3-25 所以实数m的取值范围为(3-2√2，+0) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15解：1)sima=& ∴.c0sa>0 2 1分 .cosa=v1-sin a-=3 12W2 .2分（3分) 【备注】见25给2分，若结果不对，但出现两角平方和公式给1分 owa-到》+mem-25}5-25+5 3分(6分) 3 33232 6 【备注】公式展开或数值代入出现其一，且结果正确，给3分；公式展开和数值代入均无，直接写 出25+5，给2分：若结果不对，但，5有其一对应正确即给1分 6 22 4 .simn p--1-cos=- 16=-3 ...3分(9分) 25 【备注】结果-号正确且公式出现--cosB,-- 16 中至少一个给3分： 25 结果号确但无公式一-c四A-爱任何一个给2分 结果不正确出现公式-cogB,士-6A一±号其中一个给】分 16 高一数学参考答案3页（共7页） sin(a-B)=-=x425×3）=4+6N2 3335=15 ..4分(13分) 【备注】结果4+6N5正确给2分，出现- 142W2 15 353 出现sina cosB+cos asin B, 16.解：(1)由题意得h(x)=f(x)+g(x)=log.1+x)+1og.1-x), [1+x>0 由 1-x>0得-1<x<1,所以()的定义域为（←1） .2分 [1+x>0 【备注】定义域(-1,1)正确即给2分；若定义域不正确， 1-x>0:中其一可给1分 有 因为次∈(-1,1都有-X∈(-1,1)，1分(3分) 【备注】写定义域关于原点对称也给1分： 所以h(-)=log1-x)+logm1+x)=h(x), 2分(5分) 【备注】h(-x)代入正确给1分，(-x)=()给1分 所以h(x)是偶函数. .2分(7分) (2)由题f(x)>8(x),即log.1+x)>log.1-x) ①当a>1时，函数y=l0g。X单调递增，1分(8分) 1+x>1-x>0,解得0<x<1,所以f(x)>g(x)的解集为(0,1).3分(11分) ②当0<a<1时，函数y=log。x单调递减， 0<1+x<1-x,解得-1<x<0,所以f(x)>8(x)的解集为(-1,0)… 3分(14分) 【备注】单调性共1分，只要在其中一类中判断正确就给这1分：分类解不等式各3分（去掉对数符 号正确给1分，解集正确给2分)： 如类①中出现1+x>1-x>0或1+x>1-x均给1分；出现(0,1)或写成{x0<x<1}均给2分，若写成 不等式0<x<1,未写成解集形式扣1分. 综上所述，当a>1时，f(x)>8(x)的解集为(0,1)： 当0<a<1时，f(x)>g(x)的解集为(-1,0).1分(15分) 高一数学参考答案4页（共7页） 17.解：(1)由题意得f(w)=2√3 sin xco8x-1-2n2x)=V3sin2x-cos2x2分 【备注】正弦二倍角和余弦二倍角公式化简正确各给1分： -2m(2x爱 ..1分(3分) 根据- +2k元≤2x-T≤T+2k元k∈Z解得-刀+kr≤x≤T+km,k∈Z…1分4分) 2 62 6 3 .f(x)的单调递增区间为 死十k水，5+k元k∈之 6 1分(5分) 根据+2kr≤2x-严s3+26mk∈Z解得+红≤x≤5四+k,k∈Z.…1分6分别) 6-2 6 5π .f(x)的单调递减区间为 交+k 6 1分(7分) 【备注】若函数化简为-2c0s(2x+),也参照标准相应给分： (2由0得/-=2m(2x?,xeR,的最大直为2 2分(9分) :mt2+t+4≥fx)对x∈R恒成立，∴.mt2+mt+4≥2，t∈R恒成立. 整理得t2+mt+2≥0，t∈R恒成立.... .2分(11分) 当m=0时，2≥0恒成立. .1分(12分) m>0 当m≠0时， 化简得0<m≤8. 。。。。。。。。。。。 …2分(14分) m2-82≤0 综上所述，m的取值范围是[0,8]. .1分(15分) 18.解：(1)由表格数据可知，y关于t的函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型①y=社+m(k<0)为直线型，不符合；1分 模型③y=log化+q)+c,(p>lg>0)为单调递增的函数，不符合：1分（2分) 故选模型②y=a.b+d(a>0,0<b<1),.. …1分(3分) 「a+d=95 则{ab+d=88 .2分(5分) ab2+d=81.7 【备注】三个表达式全列对给2分，列对1个或2个给1分： a=70 解得b=0.9, .3分(8分) d=25 高一数学参考答案5页（共7页） 【备注】每个系数计算正确各给1分： 所以y=70.0.9+25(t≥0).2分(10分) 【备注】正确写出表达式给1分，正确写出定义域给1分； (2)(i)令70.0.9+25=60，则0.9= 2 .1分(11分) 1 -lg21-lg5.1-0.70 t=1o821e0.921g3-11-21g31-2x048 7.5 3分(14分) 【备注】计算结果正确且有数值代入给3分：计算结果正确但无化简过程或数值代入给2分：结果 不正确但有部分化简过程给1分： 所以本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间约为7.5im..1分（15分) (i)因为当t趋于正无穷大时，y无限趋近于25，所以推测实验室室温约为25C..2分(17分) 【备注】结论正确即给2分；结论不正确，有一定分析过程给1分 19.【解析】（1))=sin(x+受=si血+5 0SX......… 2 .1分 所以)=s血g6)=cosx是)=sin6x+了的一组“函数基底”， “系数坐标”为 1分（2分) (2)(iD设h(x)=n(e2x+1)+u(x+2),x∈Rh(x)为偶函数h(-x)=h(x....1分(3分) hn(e2x+1)+(x+2)=元ln(e2x+1)+u(x+2),x∈R 合he+1=24u台元ne=2m台-22x=2, e2x+1 上式对任意x恒成立，则元=-， .2分(5分) 【备注】利用特殊值计算得到元=-，也给2分： 又2+=1，解得=1，=-1. 2分(7分) 【备注】正确计算出元=1，或u=-1给1分： 所以函数h(x)的解析式为h(x)=n(e2x+1)-(x+2),x∈R 1分(8分) (由知0=he+)-x-2e马2=e+的-2 ....1分(9分) 令1=e,由xe1,】得t∈上q,函数-t+片在上单调递减，在日上单调递增； 又t=e单调递增，且当t∈[片，，x∈[-l,0,当t∈[L,e小x∈[0，， 高一数学参考答案6页（共7页） 因此函数h(x)在[-1,0上单调递减，在[0，上单调递增。.3分(12分) 【备注】分析过程正确但结果错误给2分；结果正确但无分析过程或分析过程错误给1分。 设x6≤0≤x+1(≠x+),k=0,1,2,3,…,n-1, 由于-1=x≤x1≤x2≤…≤xm-1≤xn=1(n≥3，n∈Z) 则h(x)2h(x)2…≥h(x),h(1)≤h(x2)≤…≤h(xn) .1分(13分) 所以M=h(s)-b(+h(,)-h(+…+h(x)-h(-1》 =h(-1)-hx)+h()-h(x2)+…+h(x-)-h(x)+|h(+)-hx)川 +h(x+2)-h(x)+hx+3)-h(+2)+…+h)-hxn-1) =h(-1)+h)-hx)-h)+|hx+)-h().1分（14分) =2ha0-2mm{h),(x}≤2h0)-2h(0)=2ne+1 2e: 1分(15分) 当且仅当x=0或x1=0时，等号成立： 1分(16分) 所以M的最大值为2h2+1 2e …1分（17分) 高一数学参考答案7页（共7页）