精品解析：广西南宁市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. B. 不存在，使 C. D. 3. 若角与的终边相同，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的实数解的个数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数的下列说法正确的是（ ） A. 定义域是 B. 图像关于点对称 C. 图像关于直线对称 D. 在区间上单调递增 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时， C. 的解集为 D. 11. 已知定义在上的偶函数图象关于对称，当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________． 14. 已知函数，且在上的最大值与最小值之积等于8，设函数，求： （1）实数__________； （2）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数，，（，且）． （1）记，判断的奇偶性并证明； （2）求关于x的不等式的解集． 17. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，，都满足，求m的取值范围． 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； （2）根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 19. 对于两个定义域相同的函数，，若存在实数，，使得，则称为的一组“函数基底”，为在该组“函数基底”下对应的“系数坐标”． （1）若，，试判断是否为的一组“函数基底”？若是，求出对应的“系数坐标”，若不是，请说明理由； （2）已知，，若函数在“函数基底”下对应的“系数坐标”为，且满足：①定义域为R；②为偶函数；③． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）已知（，），记，求M的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. B. 不存在，使 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“，使”否定是“”． 故选:C． 【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查,基础题． 3. 若角与的终边相同，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由，则与终边相同，位于第三象限，即可确定角所在象限． 【详解】， 与终边相同，位于第三象限， 又角与的终边相同， 角的终边位于第三象限． 故选：C． 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，单调递减， ，单调递增，且在上单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为. 故选：B 5. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式计算即可. 【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为， 所以，，解得，. 故选：A. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数，对数的性质判断大小关系即可. 【详解】因为单调递减，所以， 单调递增，所以， 单调递增，，所以. 故选： 7. 已知，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，通过换元法转化为一元二次不等式求解的取值范围. 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 8. 已知函数，则方程的实数解的个数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过换元法，令，将方程转化为，先求解的值，再分别求解时的值，最后统计实数解的个数. 【详解】令，则方程转化为， 当时，，由可得：或，解得或. 当时，，化简可得，解得或. 因此，的可能取值为. 当时，即： 若，则，可得或，解得或. 若，则，即.可解得：，因为，所以. 当时，即： 若，则，可得或，解得或. 若，则，即，，此方程无实数解. 当时，即： 若，则，可得，解得. 若，则，此时，此方程无实数解. 当时，因为当时，；当时，， 所以无实数解. 综上方程的实数解的个数为：，共6个. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数的下列说法正确的是（ ） A. 定义域是 B. 图像关于点对称 C. 图像关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】利用“整体代换”以及正切函数的图像与性质进行求解. 【详解】对于选项A，因为函数，所以，得，，故A正确； 对于选项B，因为函数，所以，故B正确； 对于选项C，因为函数，所以函数不存在对称轴，故C错误； 对于选项D，因为函数，所以当，，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误． 故选：AB. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时， C. 的解集为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质逐项解决即可. 【详解】对于A：函数的定义域为， 故A正确； 对于B：函数在单调递减，所以当时， 函数，故B正确； 对于C：函数在单调递减，， 即，解得， 故C错误； 对于D：， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的偶函数图象关于对称，当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】的取值无法确定，故A错误；利用函数的对称性及在区间上的单调性得出的周期性及单调性，进而可判断BCD的正误，从而得解. 【详解】函数满足条件，但，故A错误； 由题意知，，所以， 即，故B正确； 由为偶函数，且时，单调递减，得当时，单调递增.又图象关于对称，在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，故在区间上单调递增；故C正确 由得， 所以为周期为的周期函数，所以 ，又在区间上单调递减，且图象关于对称，所以在区间上单调递减，又的定义域为，所以在区间上单调递减，又，所以,所以. 故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式即可得出答案. 【详解】 故答案为：. 13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数与一次函数单调性列不等式求解即可. 【详解】函数是上的增函数． 则可得解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，且在上的最大值与最小值之积等于8，设函数，求： （1）实数__________； （2）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，确定在边界处取最值计算即可； （2）先化简函数，把问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）因为在上单调，则，解得. （2）故，函数定义域为R， 所以， 所以即，则恒成立， 令，， 当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因，则. 从而； 【小问2详解】 因，则. 从而. 16. 已知函数，，（，且）． （1）记，判断的奇偶性并证明； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） 为偶函数. 证明：，定义域为；，定义域为. ，定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以， 所以为偶函数. （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义判断即可. （2）结合函数单调性及的取值范围求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，定义域为；，定义域为. 由可得，. 当时，因为对数函数在定义域上单调递增， 所以，解得. 当时，因为对数函数在定义域上单调递减， 所以，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 17. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，，都满足，求m的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式整理原式可得，再由整体法求解单调区间； （2）将，，都满足，转化为求，即求解恒成立时m的取值范围. 【小问1详解】 , 令，由（）， 解得（）， 由（）， 解得（）， 所以函数的单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. 【小问2详解】 因为，所以. 由，，都满足，可知， 则，即在恒成立. 当时，恒成立； 当时，设，要使在恒成立， 只需在恒成立，故，解得， 综上所述m的取值范围是. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； （2）根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 【答案】（1）选模型②，理由： 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③，（，）为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 解析式为 （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（ⅰ）令，结合对数的运算性质求出的值即可；利用指数函数的性质求解. 【小问1详解】 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）令，则， 所以， 即刚泡好的六堡茶达到最佳饮用口感的放置时间为． （ⅱ）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为. 19. 对于两个定义域相同的函数，，若存在实数，，使得，则称为的一组“函数基底”，为在该组“函数基底”下对应的“系数坐标”． （1）若，，试判断是否为的一组“函数基底”？若是，求出对应的“系数坐标”，若不是，请说明理由； （2）已知，，若函数在“函数基底”下对应的“系数坐标”为，且满足：①定义域为R；②为偶函数；③． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）已知（，），记，求M的最大值． 【答案】（1）是， （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）展开得，结合定义即可求解； （2）（ⅰ）利用偶函数的定义可得，再结合条件，联立即得解析式；（ⅱ）利用对勾函数单调性以及复合函数的单调性可得函数的单调性，根据单调性化简求和表达式即可求出最大值． 【小问1详解】 ， 所以，是的一组“函数基底”， “系数坐标”为； 【小问2详解】 （ⅰ）， 为偶函数， ， ，结合，解得， ； （ⅱ）由（ⅰ）知， 令则， 故对勾函数在单调递减，在单调递增， 由于单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减. 设， 由于 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $