1.4问题解决策略：反思 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理在立体图形中两点最短距离的应用，通过温故勾股定理及逆定理知识，衔接新课“化曲为直”转化思想，引导学生将圆柱侧面、长方体相邻面展开为平面，构建直角三角形解决问题，搭建前后知识学习支架。 特色在于融合转化与分类讨论思想，通过圆柱展开、长方体三种展开方式实例培养几何直观与空间观念，例题分层设计结合阿基米德史料渗透数学文化，预习问题记录区促进自主探究，发展推理意识与模型意识，助力学生提升数学思维与应用能力。

1.4问题解决策略：反思 1.回顾勾股定理、勾股逆定理、勾股定理及其逆定理的应用的相关知识，结合新课内容，探究运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离的相关知识. 2.阅读课本P16—P18内容，自主探究运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离的相关知识，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.直角三角形两条直角边长度的 等于斜边长度的 .如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 . 2.如果三角形三条边的长度a，b，c，满足，那么这个三角形是 . 3.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 知新——课本研习梳理 1.确定圆柱侧面上的最短路线长 图示 转化方法 原理 思想方法 ①将圆柱的侧面展开为长方形； ②确定相应点的位置； ③连接，，构造，； ④利用勾股定理求， 两点之间，线段最短 转化思想：化曲为直 2.确定长方体表面上的最短路线长 求长方体表面上相对两点之间的距离，可将长方体相邻两个面展开，有三种方式. 长方体 展开方式 右侧面向前展开 上底面向前展开 上底面向左展开 图示 的求法 结论 比较各展开方式中求得的的值，确定最短路径 原理 两点之间线段最短 1.如图,圆柱的底面直径为,高为,一只蚂蚁在点C处,沿圆柱的侧面爬到点B处,现将圆柱侧面沿剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是( ) A. B. C. D. 2.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( ) A.20dm B.25dm C.30dm D.35dm 3.如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是___________. 4.如图,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最小长度是________cm; 化曲为直思想的开创者——阿基米德 我们求圆柱最短路径用到的化曲为直思想，最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德.他在研究圆柱、螺旋曲线时，首次提出把曲面沿着母线剪开平铺为平面图形，将曲线上的长度计算转化为平面线段计算.这一转化思路打破了曲面难以直接测量的局限，不仅用来求解最短路线，也为后来曲面面积、立体几何的研究奠定了重要的思想基础. 为什么长方体最短路径有三种展开方式 长方体一共有6个面，要经过两个相邻面从一点爬到对角点，本质是选择三组两两相邻的面进行平铺.三组不同的展开组合会得到三组不同长宽的直角三角形，斜边长度自然各不相同.这提醒我们不能只计算一种展开情况，必须分类讨论、全部计算再对比大小，分类讨论思想是避免最短路径题目漏解的关键. 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.平方和 平方 2.直角三角形 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：现将圆柱侧面沿剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： , 故选：B. 2.答案：B 解析：三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm, 由勾股定理得：,解得.故选B. 3.答案：10 解析：如图所示，因为，，所以，所以，所以.所以蚂蚁爬行的最短路程是10.故答案为10. 4.答案：50 解析:如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形ACBD, 则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长. 圆柱的底面周长是30cm,高是40cm, , (cm). 故答案为50. 学科网（北京）股份有限公司 $