第五章 二元一次方程组 回顾与思考 导学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学导学案以二元一次方程组为核心，围绕概念理解、解法掌握及实际应用构建学习目标。通过知识体系构建的思维导图，高频考点集训的分层任务，重难综合提升的递进设计，形成连贯的学习路径，系统整合知识与能力培养。 特色在于融合古代算筹、幻方填充等文化情境，设计“新年礼盒生产方案”等项目学习。学生在“绳索量竿”问题中用数学眼光抽象数量关系，通过解方程组发展数学思维的运算与推理能力，以方程组表达实际问题提升数学语言的模型意识。提供多样化练习与探究任务，既支持学生深度学习，又为教师单元复习提供清晰教学指引。

第五章 二元一次方程组 回顾与思考 知识体系构建 补全下面的思维导图. 高频考点集训 考点 1：二元一次方程(组)的有关概念 1.下列是二元一次方程的是 ( ) A.4x+3=x B.12x=7y D.3x+2y= xy 2.下列方程组： 其中是二元一次方程组的是 ( ) A.②③ B.③④ C.③ D.④x2-y2=8 3.已知 是关于x，y的方程mx+2y=-2的一个解,则m 的值为 ( ) A.-4 B. C. D.4 4.已知 是关于x，y的二元一次方程,则m+n= . 考点2：解二 (三)元一次方程组 5.解方程组 下列解方程的步骤中，不正确的是 ( ) A.用加减消元法消去 a,①-②×2,得2b=3 B.用代入消元法消去b,由①,得b=7-2a C.用代入消元法消去a,由②,得a=b+2 D.用加减消元法消去b,①+②,得3a=9 6. 已 知关于 x,y 的 方 程组 的解是 则m，n的值分别是 . 7. 如果二元一次方程组的解满足方程 3x+y =-8,那么k= . 8.解下列方程组： 9.解方程组 考点3：二元一次方程组的应用 10.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表达为 则图2所示的算筹图所表示的方程组为 . 11.如图是由 7 个形状、大小都相同的小长方形和一个正方形无缝隙拼接而成的大正方形，则图中阴影部分的面积为 . 12.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先出发2 h，那么他们在乙出发2.5h 后相遇；如果乙比甲先出发2 h，那么他们在甲出发 3 h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少? 13.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量/辆 总费用/万元 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 (1)求甲、乙两种型号汽车的单价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆(两种型号汽车均购买)，请直接写出该公司的购买方案.活页可鉴 考点 4：二元一次方程组与一次函数 14.甲、乙两人沿同一公路从 A地出发到B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，从A地到B地的路程为120km.若图中CD,OE分别表示甲、乙距离 A 地的路程s(单位：km)和时间 t(单位：h)的函数关系的图象，则下列结论错误的是 ( ) A.甲的速度为60km/h B.乙从 A 地到 B地用了3h C.甲比乙晚出发0.5 h D.甲到达 B地时,乙距离 A 地 80km 15.如图，一次函数y=kx+b的图象与一次函数 y=x+4的图象交于点A(-1,3),与y轴交于点 B(0，1)，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组 的解； (2)直线 AB 和直线y=x+4分别与x 轴交于点 M,C,连接 BC,求△ABC 的面积. 重难综合提升(本章压轴题) 16.已知关于x,y的二元一次方程组 下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=-2；②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a 的解;③无论a 取什么实数,x+2y 的值始终不变；④若用 x 表示 y，则 其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④ 17.某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件 B礼品共需 360元，购进8件A礼品和6件 B礼品共需270元. (1)求A，B两种礼品每件的进价； (2)该店计划将5000元全部用于购进 A，B两种礼品，设购进 A 礼品m 件，B礼品n 件. ①求n 与m 之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求 A 礼品的购进数量不少于100件.已知 A 礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利 W 元，求W 与m 之间的关系式和该店所获利润的最大值. 第五章|新考向专练教材变式 编写说明：本版块利用新教材中的素材结合辽宁统考方向设相关变式题，可在打好本章基础后使用，更深掌握新考向、新考法. 1.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何.”其大意为：现有一根竿子和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，问绳索和竿子各多少尺.设绳索长x尺，竿子长 y 尺，下列所列方程组正确的是1 ( ) 2.幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等.如图是一个未完成的幻方，求x-y的值. 3.根据下表中的素材，探索解决任务. 新年礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套. 素材2 甲礼盒的成本为 20 元/套，售价为24元/套; 乙礼盒的成本为 25 元/套，售价为30元/套. 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套? 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m 万套，增加生产乙种礼盒 n 万套(m，n都为正整数)，且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，该工厂有几种生产方案? 任务3 在任务2的条件下，写出所有可行的生产方案. 第五章 回顾与思考 1. B 2. D 3. C 4.45. A6 .3,27 .12 8.解：(1)原方程组为 由①,得x=y+3.③ 将③代入②,得3(y+3)-8y=14.解得y=-1. 将y=-1代入③,得x=-1+3=2. 所以原方程组的解是 (2)原方程组为 ①×3+②×2,得19. r 114.解得x-6. 将. r=6代入①、得18+4y 16.解得 所以原方程组的解是 9.解：原方程组为 ①+②,得3x+z=1.④ (②+③)÷2,得3x-2z=-2.⑤ ④-⑤,得3z=3.解得 z=1. 将z=1代入④,得3x+1=1.解得x=0. 将x=0,z=1代入①,得0+3y+2=3. 解得 所以原方程组的解是 11.36 12.解:设甲的速度为x km/h,乙的速度为 y km/h. 根据题意，得 解得 答:甲的速度为6km/h,乙的速度为3.6km/h. 13.解：(1)设甲型汽车的单价是x 万元，乙型汽车的单价是 y 万元. 根据题意，得 解得 答：甲型汽车的单价是25 万元，乙型汽车的单价是10万元. (2)该公司共有2种购买方案. 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车. 解析设购买m 辆甲型汽车，n辆乙型汽车.根据题意,得25m+10n=150.所以 因为m，n均为正整数，所以 或 所以该公司共有2种购买方案.方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车. 14.八 15.解:(1)方程组 的解为 (2)将点 A(-1,3),B(0,1)代入 y= kx+b, 得 解得 所以一次函数 y =kx +b 的表达式为 y =-2x+1. 因为 B(0,1),所以OB=1. 在y=-2x+1中,令y=0,得-2x+1=0. 解得 所以 在y=x+4中,令y=0,得x+4=0. 解得x=-4.所以C(-4,0). 所以 所以 16. D 解析原方程组为 ⑤⑤+⑥,得2x+2y=4+2a,即x+y=2+a.当方程组的解x,y的值互为相反数,即x+y=0时,2+a=0.所以a=-2，故①正确；原方程组的解满足x+y=2+a.当a=1时,x+y=3,方程x+y=4+2a =6.故 ② 不 正 确;解 原 方 程 组 得 所以x + 2y =2a+1+2-2a=3.故③正确;因为x=2a+1,所以 所以 故④正确. 17.解：(1)设A 礼品每件的进价是x 元，B礼品每件的进价是 y 元. 根据题意，得 解得 答：A礼品每件的进价是15 元，B礼品每件的进价是25 元. (2)①根据题意,得15m+25n=5000. 所以 ②根据题意,得W=(20-15)m+(35-25)× 因为-1<0, 所以W 随m 的增大而减小. 因为m≥100, 所以当 m =100 时，W取得最大值、最大值为-100+2000=1900. 答:W与m 之间的关系式为W=-m+2000,该店所获利润的最大值为1900元. 第五章 新考向专练 1. A 2.解：根据题意，得每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都是x+6+20=x+26. 可得九宫格如下： x 6 20 22 x+2 y 4 18 x+4 所以 解得 所以x-y=10-2=8. 3.解：任务1：设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套. 根据题意，得 解得 答：甲礼盒生产42万套，乙礼盒生产28万套. 任务2:根据题意,得(24—20)(42+m)+(30—25)(28+n)=368. 所以 因为m，n都为正整数， 所以 或 所以该工厂有2种生产方案. 任务3:当 m=10,n=4时,42+m=42+10=52,28+n=28+4=32; 当m=5,n=8时,42+m=42+5=47,28+n=28+8=36. 所以该工厂有2种生产方案. 方案 1：生产甲礼盒52万套，生产乙礼盒32万套； 方案2：生产甲礼盒47 万套，生产乙礼盒36万套. 学科网（北京）股份有限公司 $