精品解析：江苏镇江市2025-2026学年第二学期期末样卷高二数学试题

2025—2026学年第二学期期末样卷 高二数学 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据： 使用年限（单位：年） 维护费用（单位：千元） 与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，当使用年限为年时，维护费用约为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五个人排一队，甲、乙不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（ ） A. 名 B. 名 C. 名 D. 名 7. 端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”.某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买的是蛋黄粽子，则第天买豆沙粽子的概率为.则张同学第天买豆沙粽子的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 化简（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与为对立事件 B. C. 事件与相互独立 D. 10. 已知一组数：，，，…，，则下列说法中正确的是（） A. 这组数的最大数为 B. 这组数的中位数为 C. 这组数的上四分位数为 D. 这组数的平均数为 11. 正方体的棱长为，点满足（，，），则（ ） A. 当，时，点恰为中点 B. 当，时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的最小值为 D. 当时，则点平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现两次点数为的概率为______. 13. 正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 14. 一个质点从原点出发，每隔一秒就随机、等可能地向上、下、左、右移动一个单位，共移动次.质点位于点的位置的概率为______；若第秒位于的情况下，该质点共经过两次的位置的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市推行“垃圾分类”试点改革，为了解不同小区的执行效果，从，两个试点小区中随机抽取150户居民进行调查，统计一周内的垃圾分类情况，数据如下： 分类达标 分类不达标 总计 小区 26 24 50 小区 70 30 100 总计 96 54 150 （1）根据以上数据，能否有的把握认为、两小区的垃圾分类达标的情况存在差异？ 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：. （2）现从所有不达标的居民中，按照分层抽样的方法随机抽取9户进行回访调研，再从这9户中随机选出3户了解情况，求选出的3户居民恰好不都来自同一个小区的概率. 16. 如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. （1）求线段的长； （2）若，，求证：，，，四点共面. 17. 在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 18. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色. （1）现随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，求另一面的颜色也是红色的概率； （2）现每次取出卡片后观察其两面的颜色，若两面都是红色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面红色卡片；若两面都是黑色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面黑色卡片；若一面是红色一面是黑色，仅将原卡片放回，不再另放卡片. ①求第次摸出卡片是两面红色卡片的概率； ②记次后摸出两面红色卡片的次数为，求的概率分布列及期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末样卷 高二数学 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由组合数的定义公式 可得. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性有，即可得答案. 【详解】由题设，正态分布曲线关于对称， 所以. 故选：B 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 4. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据： 使用年限（单位：年） 维护费用（单位：千元） 与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，当使用年限为年时，维护费用约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，， 所以，所以经验回归方程为. 当，. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五个人排一队，甲、乙不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出所有的基本事件数，再求出甲、乙不相邻的基本事件数，根据古典概型的概率公式求解即可 【详解】五个人全排列，总排法有种，要使甲、乙不相邻，可先排丙、丁、戊3人，有排法种， 再在这3个人留下的4个空位上选2个安排甲、乙，共有排法种， 则甲、乙不相邻的总排法有种， 故甲、乙不相邻的概率为. 6. 从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（ ） A. 名 B. 名 C. 名 D. 名 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图先计算，进而计算内的频率，即可求解. 【详解】由题意得：，解得， 所以，所以身高在内的学生估计有名. 7. 端午节吃粽子是中国传统节日的重要习俗，粽子古称“角黍”.某学校食堂早餐有豆沙粽子和蛋黄粽子出售，张同学第天早餐随机选择一类粽子购买，如果第天买的是豆沙粽子，则第天买豆沙粽子的概率为；如果第天买的是蛋黄粽子，则第天买豆沙粽子的概率为.则张同学第天买豆沙粽子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第天吃豆沙粽子为事件，第天吃蛋黄粽子为事件，根据全概率公式即可求解. 【详解】设第天吃豆沙粽子为事件，第天吃蛋黄粽子为事件， 所以，， 所以. 8. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式对应项系数相等计算求和，最后结合组合数对称性得到正确选项. 【详解】因为， 则的展开式中项的系数为 ， 的展开式中项的系数为， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与为对立事件 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用随机事件的基本概念与概率计算，结合对立事件、条件概率、事件独立性、和事件概率公式，逐一验证即可. 【详解】对于A，由且， 所以事件与不是对立事件，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，则事件与相互独立，故C正确； 对于D，由，故D错误. 10. 已知一组数：，，，…，，则下列说法中正确的是（） A. 这组数的最大数为 B. 这组数的中位数为 C. 这组数的上四分位数为 D. 这组数的平均数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据组合数的对称性、求和公式，再根据中位数、四分位数、平均数的定义逐一判断选项. 【详解】选项A：组合数当为偶数时，最大值为中间项， 又，最大值为，A选项正确； 选项B：该组数据共个，根据组合数对称性从小到大排序为， 中位数为第项，即，B选项正确； 选项C：上四分位数为分位数，计算位置， 向上取整对应第项，数值为，不是，C选项错误； 选项D：由二项式定理，，共个数据，平均数为，D选项正确. 11. 正方体的棱长为，点满足（，，），则（ ） A. 当，时，点恰为中点 B. 当，时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的最小值为 D. 当时，则点平面 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得，根据中点坐标公式计算判断A；由题意可知点在平面内，举特例可判断B；求解点的轨迹计算可判断C；求得平面的法向量，根据可判断D. 【详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意可得，所以， 对于A，当，时，， 因为，所以点为中点，故A正确； 对于B；当，时，设，则点在平面内， 因为点到平面的距离为定值，而的面积不是定值， 例如，当时，此时， 因为，所以点为中点， 此时三点共线，四点共面，三棱锥不存在，其体积为0； 当时，与重合， 此时的面积为，三棱锥体积不为0， 所以三棱锥的体积不为定值，故B错误； 对于C；若，则点到点的距离恒为1， 所以点的轨迹是以点为球心，1为半径的球面， 因为， 所以，故C错误； 对于D，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， ，因为， 所以，即， 因为点平面，所以点平面，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现两次点数为的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】∵单次抛掷质地均匀的骰子，共有6种等可能的基本事件，其中出现点数为1的基本事件有1种， ∴单次抛掷出现点数1的概率， 不出现点数1的概率为. 根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，得 抛掷一枚质地均匀的骰子次，恰好出现2次点数为1的概率为： . 13. 正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 14. 一个质点从原点出发，每隔一秒就随机、等可能地向上、下、左、右移动一个单位，共移动次.质点位于点的位置的概率为______；若第秒位于的情况下，该质点共经过两次的位置的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据题目要求，分析6次后位于点的情况，再利用排列组合知识解决即可. 空2：因为需要两次经过，所以只能第4秒在，第5秒离开，第6秒回到，利用排列组合知识解决即可. 【详解】空1： 根据题目要求，6次移动后位于点，每次移动都有4种情况，所以共有种情况. 从原点到共需要4次移动，但移动了6次，所以只可能向右2次向上3次向下一次或者向上2次向右3次向左1次. 所以共有种情况. 所以概率为 . 空2：由题意，需要两次经过，所以只能第4秒在，第5秒离开，第6秒回到. 从第2秒到第4秒共三次移动，三次移动后到达，需要2次向右1次向上， 共种情况，第5秒离开共有四种情况，第6秒回来只有1种情况， 所以一共有种情况. 因为质点第1秒位于，以后共运动5次，共种情况. 所以概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市推行“垃圾分类”试点改革，为了解不同小区的执行效果，从，两个试点小区中随机抽取150户居民进行调查，统计一周内的垃圾分类情况，数据如下： 分类达标 分类不达标 总计 小区 26 24 50 小区 70 30 100 总计 96 54 150 （1）根据以上数据，能否有的把握认为、两小区的垃圾分类达标的情况存在差异？ 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：. （2）现从所有不达标的居民中，按照分层抽样的方法随机抽取9户进行回访调研，再从这9户中随机选出3户了解情况，求选出的3户居民恰好不都来自同一个小区的概率. 【答案】（1）有95%的把握认为A、B两小区的垃圾分类达标情况存在差异 （2） 【解析】 【分析】（1）代入卡方检验公式计算观测值，与95%置信度对应的临界值比较得到结论；  （2）先按分层抽样规则确定抽取的9户中A、B小区的户数，再通过古典概型公式计算所求概率 【小问1详解】 由列联表得样本容量， 代入卡方公式：.  已知， 因此有95%的把握认为A、B两小区的垃圾分类达标情况存在差异. 【小问2详解】 不达标的居民共户，分层抽样的抽样比为， 因此抽取的9户中： A小区不达标户数为，B小区不达标户数为. 从9户中任选3户的总基本事件数为； 事件“3户恰好不都来自同一个小区”包含两类情况： 1户来自A小区2户来自B小区、2户来自A小区1户来自B小区， 包含的基本事件数为. 所以所求概率. 16. 如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. （1）求线段的长； （2）若，，求证：，，，四点共面. 【答案】（1） （2）由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【解析】 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【小问1详解】 设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. 【小问2详解】 略 17. 在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1），常数项为 （2） 【解析】 【分析】(1)推导二项展开式的通项公式，根据第4项与第5项的系数比值建立方程求解，令的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项. (2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到的整数值，代入通项得到系数最大的项. 【小问1详解】 二项展开式的通项为，其中. 第4项对应，系数为；第5项对应，系数为. 由题意得，化简得，即，解得. 令，解得，故常数项为. 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足， 即， 化简第一个不等式得，解得； 化简第二个不等式得，解得. 由且，得，对应系数最大的项为. 18. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， 【小问2详解】 直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色. （1）现随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，求另一面的颜色也是红色的概率； （2）现每次取出卡片后观察其两面的颜色，若两面都是红色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面红色卡片；若两面都是黑色，放回原卡片，且再往盒子中放入一张大小材质相同的两面黑色卡片；若一面是红色一面是黑色，仅将原卡片放回，不再另放卡片. ①求第次摸出卡片是两面红色卡片的概率； ②记次后摸出两面红色卡片的次数为，求的概率分布列及期望. 【答案】（1）； （2）①；② 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式进行求解即可； （2）①根据全概率公式计算即可求解；②列出随机变量的可能取值，计算对应概率可得分布列，根据期望计算公式计算可得数学期望. 【小问1详解】 设抽出的一张展示一面是红色为事件A，抽出的卡片两面全是红色为事件B，如果展示的一面是红色，且这张卡片是两面全是红色的那张为事件AB， 由题意可知：，， 所以； 【小问2详解】 ①设第次摸出卡片是两面红色卡片为事件，第次摸出卡片是两面黑色卡片为事件， 第次摸出卡片是一面红色一面黑色为事件， 由题意可知，， 则； ②由题意可得随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $