精品解析：江苏省镇江市丹阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

高二期末质量检测卷·数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中中间一项的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 160 3. 函数导数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若（其中），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 10. 已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 既有极大值又有极小值 B. 当时，最大值为 C 有三个零点 D. 若且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______种不同的情况．（用数字作答） 14. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为______；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 16. 已知． （1）若曲线在处的切线与垂直，求实数a的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 17. “九省联考”之后，某地掀起了奥数学习热潮，某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 120 女 56 80 总计 72 128 （1）补全列联表（单位：人），试问是否有95%的把握认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为与．设X为独立闯关成功的人数，求X的分布列及数学期望． 附：参考数据与公式：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer）．简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的“不动点”．现新定义：若存在实数，使得，则称实数为该函数的“次不动点”．已知函数． （1）若，求的“次不动点”； （2）若有两个“不动点”，求a范围． 19. 已知函数，其中e是自然对数的底数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末质量检测卷·数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式得到集合，由集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2. 的展开式中中间一项的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】先判断中间一项含有，再写出的展开式的通项公式，利用赋值法得到，再求出，最后得到答案即可. 【详解】易得，且两个二项式的中间项相同，为含有项， 由二项式定理得的展开式的通项公式为， 令，解得，故， 则展开式中含有项的系数是，故B正确. 故选：B 3. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意，. 故选：D 4. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】回归直线必过样本中心点，根据原经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值. 【详解】因为原经验回归方程为，且平均数， 所以代入方程得， 因为去除的两个样本点和， 由， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得. 故选：B. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 6. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件概率公式求得，再根据独立事件乘法公式求出，进而由根据和事件概率计算公式即可求得结果. 【详解】因为，， 由，得. 因为事件A，B相互独立， 所以，即，所以. 所以. 故选：C. 7. 已知函数，若（其中），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意先确定的范围，再得到，将目标式变换为一元函数，进而构造函数，利用导数判断其单调性，最后求解值域即可. 【详解】如图，作出的图象，且令， 则，分别是和的三个交点， 结合图象可得，令，解得，故， 令，解得，故， 则，且恒成立， 而和有三个交点，则令， 解得，得到 令，解得，故， 由题意得，故， 则，可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递减，，， 所以，故C正确. 故选：C 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数与对数的转化得，进一步得，同理得，即可比较大小，，令，利用导数研究的单调性得，进而得，即，得，即，即可求解. 【详解】由有，因为， 所以，即，由有， 所以，令，所以， 由，所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以， 所以，所以， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分层抽样种样本、总体间的均值和方差的关系判断A，根据残差平方和的意义判断B，利用条件概率公式和相互独立事件的定义判断C，根据方差的性质判断D. 【详解】选项A：设两层的样本容量依次为，若，设总体均值为， 则总体方差为， 当且仅当时，，故A说法错误； 选项B：回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故B说法正确； 选项C：由条件概率公式可知，所以， 由相互独立事件的定义可知事件与事件相互独立，C说法正确； 选项D：设随机变量的取值为，，…，，随机变量的取值为，，…，， 由题意可知，则， 所以数据，，…，的标准差为，D说法错误. 故选：BC 10. 已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，分析函数的奇偶性，对称性和周期性，结合奇函数的性质，逐项判断即可. 【详解】根据函数图象的平移，将的图象先左平移1个单位，可得的图象， 其图象关于点对称，所以函数为奇函数，即. 又，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 所以，所以恒成立，2才能是函数的周期， 否则，2不是函数的周期，故A错误； 因为为上的奇函数，所以，且，又函数周期为4， 所以，， 所以，故C正确； 又， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 既有极大值又有极小值 B. 当时，最大值为 C. 有三个零点 D. 若且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D. 【详解】因为，所以. 由；由或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为：，极大值. 故A正确，B错误； 又，. 所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确； 对D：若，且，则，. 设，. 所以. 所以， 令， ， ， ， 所以在时单调递减， 则， 即，在时单调递增， ，即， 则在时单调递减，所以， 即， 又，所以， 又，，，且在上单调递减， 所以，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最小值解决. 【详解】由求导得：， 因为函数在上单调递减， 所以 在上恒成立， 即在上恒成立． 设，因在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______种不同的情况．（用数字作答） 【答案】 【解析】 分析】根据题意利用分步计数原理结合组合数分析求解即可. 【详解】根据题意可知甲、乙都不是第一名，所以第一名只能从丙、丁、戊、戌这4人中选择，共4种情况， 由于乙不是第一名也不是第六名，所以乙的名次只能是第二、三、四、五名，共4种情况， 第一名和乙的名次确定后，剩下的4个名次由剩余的4人（包括甲）全排列，种情况， 所以共有种情况， 故答案为： 14. 若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为______；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 且 【解析】 【分析】令函数的次方的一个收缩区间为，根据幂函数的单调性及函数新定义有且，即可求区间，令的次方收缩区间为，结合函数单调性及函数新定义有是的两个根，利用二次函数与一元二次方程的关系列不等式求参数范围. 【详解】由在R上单调递增，令函数的次方的一个收缩区间为， 所以在上单调递增，且值域为，故且，可得， 所以函数的次方的一个收缩区间为， 由在R上单调递增，令其次方收缩区间为且，对应值域为， 所以，即是的两个根，记， 则，可得且. 故答案为：，且 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 16. 已知． （1）若曲线在处切线与垂直，求实数a的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得，即可解得实数的值； （2）函数在定义域上有两个极值，等价于在上有两个不相等的根，解不等式组，求得的范围，化简得到，再构造，利用导数证明即得. 【小问1详解】 的定义域为，且， 因为曲线在点处的切线与直线垂直. 所以，解得． 【小问2详解】 由题意可得，， 因为函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根，， 则，， 由题意得，解得. 则 令，其中， ， ，，故在上单调递减； 所以，即， 故得证． 17. “九省联考”之后，某地掀起了奥数学习热潮，某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 120 女 56 80 总计 72 128 （1）补全列联表（单位：人），试问是否有95%的把握认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为与．设X为独立闯关成功的人数，求X的分布列及数学期望． 附：参考数据与公式：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析；没有的把握认为“奥数迷”与性别有关； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关，通过计算，从而可判断假设是否成立，进而得出结论； （2）先确定抽取的男女生人数，再结合相互独立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 补全列联表如下： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 72 120 女 24 56 80 总计 72 128 200 提出假设：“奥数迷”与性别无关. 则， 因为，而 故没有的把握认为“奥数迷”与性别有关. 【小问2详解】 由于在“奥数迷”中，男生与女生的比例为， 因此根据分层抽象抽取三人中有男生名，女生名. 由题意可知：的可能取值为，，，， ，， ， . 的分布列为： 所以. 18. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer）．简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的“不动点”．现新定义：若存在实数，使得，则称实数为该函数的“次不动点”．已知函数． （1）若，求的“次不动点”； （2）若有两个“不动点”，求a的范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“次不动点”的定义，令，解出即可； （2）根据“不动点”的定义，令，得，即，进而得，令，则，得，令，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 当时，，令， 所以，即， 所以，又， 所以， 所以的“次不动点”为0； 【小问2详解】 由，令， 所以， 所以， 令，则，所以， 令，所以， 作出的图像： 由图像可知：， 所以. 19. 已知函数，其中e是自然对数的底数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； 【小问2详解】 由题设在上恒成立， 即上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $