第九章 统计-章末过关检测卷 2025-2026学年高一下学期人教A版必修第二册

**基本信息** 以统计核心概念为基础，通过基础题→综合题→应用拓展题三级分层，构建从概念理解到实际问题解决的知识巩固路径，培养数据观念与数学应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数据获取、频率分布、百分位数等单一概念|8道单选题，如第1题数据获取途径，夯实数学抽象基础| |提升层|分层抽样、方差变换、图表分析等综合方法|3道多选题+3道填空题，如第10题样本数据特征分析，强化推理能力| |拓展层|统计模型构建与实际决策|5道解答题+附加题，如第19题生产线改进收益分析，体现数据观念与应用意识|

第九章　统计 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.为了研究近年来我国高等教育发展状况,小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据,他获取这些数据的途径最好是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 2.为了解学生某月课外阅读的情况,抽取了n名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图,若阅读时间(单位:h)在[30,50]的学生有210人,则n=(　　) A.300 B.360 C.400 D.480 3.小明从收集的1 000个数据中,用随机数法抽取了31个数据: 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,429,434,443,445,445,451,454,363,371,374,383,385,386,则数据的第75百分位数是(　　) A.427 B.429 C.430 D.434 4.高一某班级有男生35人,女生15人,用比例分配的分层随机抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本,抽出的男生平均体重为70 kg,抽出的女生平均体重为50 kg,估计该班的平均体重是(　　) A.54 kg B.60 kg C.64 kg D.65 kg 5.某校高一、高二、高三共有学生6 000名,为了了解同学们对某授课软件的意见,计划采用比例分配的分层随机抽样的方法从这6 000名学生中抽取一个容量60的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则该校高二年级的人数为(　　) A.1 000 B.1 500 C.2 000 D.3 000 6.已知数据x1,x2,…,x10的极差为8,方差为6,则数据3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的极差和方差分别为(　　) A.24,19 B.25,19 C.24,54 D.25,54 7.某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数)如图所示,则甲、乙两地这十天的日平均气温和日平均气温的标准差s甲,s乙的大小关系应为(　　) A.,s甲<s乙 B.,s甲>s乙 C.,s甲<s乙 D.,s甲>s乙 8.某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为9,唯一的众数为10,极差为3,则该组数据的平均数为(　　) A.8.6 B.8.8 C.9 D.9.2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某大型超市因为位置偏僻,顾客都开车前往,因此超市在制定停车收费方案时,需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位:min),其频率分布直方图如图所示.超市决定对停车时间在40 min以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替),则下列说法中正确的是(　　) A.免收停车费的顾客约占总数的25% B.停车时间的众数约为50 C.顾客的平均停车时间约为58 min D.停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50% 10.有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 11.某公司某年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图如图所示,气泡的大小表示完成率的高低,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,则下列叙述中正确的是(　　) A.3月的销售任务是400台 B.月销售任务的平均值不超过600台 C.第一季度总销量为900台 D.月销量最大的是6月份 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.一组数据按从小到大排列为1,4,4,4,x,7,8,若该组数据的第60百分位数是众数的倍,则这组数据的平均数是　　　　　.  13.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构,其中多选题计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,满分18分;②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得6分,有选错的得0分;③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得4分,漏选两个正确选项得2分).已知在某次新结构数学试题的考试中,小明同学三个多选题中第一小题确定得满分,第二小题随机地选了两个选项,第三小题随机地选了一个选项,则小明同学多选题所有可能总得分数据(相同总分只记录一次)的中位数为　　　　　　.  14.某学校有男生3 000人,女生2 000人,为调查该校全体学生每天睡眠时间,采用分层随机抽样的方法抽取样本,计算得样本中男生每天睡眠时间均值为8 h,方差为1,女生每天睡眠时间为7.5 h,方差为0.5.若男、女样本量按比例分配,则可估计总体均值为　　　　　h,总体方差为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)近几年购物的支付方式日益增多,某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示,支付方式有A,B,C,D四种.该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计,得到如下两幅不完整的统计图. 扇形统计图 条形统计图 请你根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)本次一共调查了多少名购买者? (2)补全条形统计图,在扇形统计图中A支付方式所对应的圆心角是多少度? (3)若该超市这一周内有1 600名购买者,请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名? 16.(15分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:kW·h)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的平均数、众数和中位数. 17.(15分)相关报告中指出,要扎实做好碳达峰、碳中和各项工作,优化产业结构和能源结构.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,若现对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测,记录如下(单位:g/km): 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x y 160 经测算发现,乙类品牌车CO2排放量的均值为=120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值及方差; (2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好,求x的取值范围. 18.(17分)用比例分配的分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数; (2)若成绩不低于80分的为成绩优秀,用样本的频率分布估计总体,估计高二年级男生中成绩优秀的人数; (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,求总样本的平均数和方差. 19.(17分)某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品,每条生产线一天能生产200件该产品,该产品市场评级规定:评分在10分及10分以上的为A等品,低于10分的为B等品.厂家将A等品售价定为2 000元/件,B等品售价定为1 200元/件.下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分. 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.96 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.34 10.04 10.05 9.95 经计算得xi=9.98,s2=≈0.035.其中xi为抽取的第i件产品的评分,i=1,2,3,…,16.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺,已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2 000万元,改进后该条生产线产能不变,但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔2 000万元的资金. (1)若厂家用这2 000万元改进一条生产线,根据随机抽取的16件产品的评分,估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差; (2)某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品.请你利用所学知识分析,将这2 000万元用于购买该款理财产品所获得的收益,与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比,一年后哪种方案的收益更大?(一年按365天计算) 附加题 张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业,计划给每家微型企业投资50万元,张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人.根据该地区以往的大数据统计,在10 000家微型企业中,若干年后,盈利60%的有5 000家,盈利30%的有2x家,持平的有2x家,亏损10%的有x家. (1)求x的值,并用样本估计总体的原理,计算若干年后甲微型企业至少盈利30%的可能性(用百分数表示); (2)张先生加强了对企业的管理,预计若干年后甲企业一定会盈利60%,李女士由于操持家务,预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合,求若干年后李女士预计拥有的家庭财产数量(婚姻期间财产各占一半). 参考答案 一、单项选择题 1.D 解析:获取这些数据的途径最好是通过网络等渠道查询获得. 2.A 解析:依题意知[30,50]的频率为1-(0.010+0.020)×10=0.7,故n==300. 3.B 解析:把31个数据按由小到大排序,357,359,363,367,368,371,374,375,383,385,386,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,429,430,434,443,445,445,451,454,由75%×31=23.25,可知样本数据的第75百分位数是第24项数据,即429. 4.C 解析:根据题意可得抽取男生7人,女生3人, 因为男生平均体重为70 kg,女生平均体重为50 kg, 所以该班的平均体重是=64(kg). 5.C 解析:因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,所以设高三抽取的人数为2a,则高二抽取的人数为2a-2,高一抽取的人数为2a-4,因为样本容量为60, 所以2a+2a-2+2a-4=60,所以2a=22, 设该校高二年级的人数为x,则,解得x=2 000. 6.C 解析:不妨设x1≤x2≤…≤x10,则x10-x1=8,且3x1+1≤3x2+1≤…≤3x10+1,所以(3x10+1)-(3x1+1)=24,所以数据3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的极差为24.由方差性质,得数据3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×6=54. 7.B 解析:∵由折线图可知甲地的日平均气温 =26, 乙地的日平均气温 =26. ∴两个地方的日平均气温相同,由折线图可知甲地的日平均气温变化幅度较大,温差较大,而乙地的日平均气温比较稳定,温差较小,∴甲地的气温方差大于乙地的气温方差,即s甲>s乙. 8.B 解析:这组数据一共有5个数,中位数为9,则从小到大排序,9的前面有2个数,后面也有2个数,又唯一的众数为10,所以有两个10,其余数字均只出现一次,则最大数字为10,又极差为3,所以最小数字为7,所以这组数据为7,8,9,10,10,所以平均数为=8.8. 二、多项选择题 9.ACD 解析:由题意可知,免收停车费的顾客约占总数的(0.002 5+0.01)×20=0.25,所以免收停车费的顾客约占总数的25%,故A正确; 因为最高小矩形的区间是[60,80),所以停车时间的众数约为70,故B错误; 由频率分布直方图可知,a=0.05-0.015-0.01×2-0.002 5=0.012 5,则顾客的平均停车时间约为(10×0.002 5+30×0.01+50×0.012 5+70×0.015+90×0.01)×20=58(min),故C正确; 停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的(0.015+0.01)×20=0.5,所以停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%,故D正确.故选ACD. 10.BD 解析:对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD. 11.AB 解析:由题图得3月份的销售任务是400台,所以A正确;由题图易知该年月销售任务的平均值不超过600台,所以B正确;由题图得第一季度的总销量为300×50%+200×100%+400×120%=830(台),故C不正确;由题图得销量最大的月份是5月份,为800台,故D不正确. 三、填空题 12.5 解析:数据1,4,4,4,x,7,8共7个数,该组数据的众数为4,因为7×0.6=4.2,所以该组数据的第60百分位数为x,因为该组数据的第60百分位数是众数的倍,所以x=4×=7.所以这组数据的平均数为=5. 13.11 解析:由题意得小明同学第一题得6分; 第二题选了2个选项,可能得分情况有3种,分别是得0分、4分和6分; 第三题选了1个选项,可能得分情况有3种,分别是得0分、2分和3分; 由于相同总分只记录一次,因此小明的总分情况为6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况,所以总得分数据的中位数为=11. 14.7.8　0.86 解析:依题意,估计总体均值为×8+×7.5=7.8(h), 总体的方差为×[1+(8-7.8)2]+×[0.5+(7.5-7.8)2]=0.86. 四、解答题 15.解:(1)56÷28%=200,即本次一共调查了200名购买者. (2)D方式支付:200×20%=40(人), A方式支付:200-56-44-40=60(人), 补全的条形统计图如图所示. 条形统计图 在扇形统计图中A支付方式所对应的圆心角为360°×=108°. (3)1 600×=928(名), 所以估计使用A和B两种支付方式的购买者共有928名. 16.解:(1)依题意知,20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得x=0.007 5. (2)由题图可知,平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6. 最高小矩形的数据组为[220,240),所以众数为=230. 因为[160,220)的频率之和为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,[160,240)的频率之和为(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5, 所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为y,则0.45+(y-220)×0.012 5=0.5,解得y=224,即中位数为224. 综上所述,月平均用电量的平均数为225.6 kW·h,众数为230 kW·h,中位数为224 kW·h. 17.解:(1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值=120(g/km), 甲类品牌汽车的CO2排放量的方差==600. (2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值=120(g/km),得x+y=220,故y=220-x,所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差=, 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好,所以,解得90<x<130. 18.解:(1)在[40,80)内的成绩占比为0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10=0.7<0.8,在[40,90)内的成绩占比为0.7+0.025×10=0.95>0.8,因此第80百分位数一定位于[80,90)内.因为80+10×=84,所以估计第80百分位数是84. (2)成绩不低于80分的频率为(0.025+0.005)×10=0.3, 所以高二年级男生中成绩优秀的人数估计为0.3×40×8=96, 所以估计高二年级男生中成绩优秀的人数为96. (3)设男生成绩样本平均数为=71,方差为=187.75,女生成绩样本平均数=73.5,方差为=119,总样本的平均数为,方差为s2, 则=72.5. s2=]+] =×[187.75+(71-72.5)2]+×[119+(73.5-72.5)2]=148. 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 19.解:(1)设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为yi(i=1,2,3,…,200),改进后生产出的产品评分为zi(i=1,2,3,…,200),其中zi=yi+0.05. 由已知得,用样本估计总体可知=9.98, 所以zi=(yi+0.05)=+0.05=10.03,所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为=10.005. 由已知得,用样本估计总体可知≈0.035, 所以[(yi+0.05)-(+0.05)]2=≈0.035. 估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为]-10.0052 =-200+200-200+200]-10.0052.(*) 因为,所以-200=200, 同理-200=200, 所以(*)式=[200+200+200+200]-10.0052 =-10.0052 ≈0.035+ =0.035+=0.035+0.0252=0.035 625. (2)若将这2 000万元用于改进一条生产线,16件产品中,改进后B等品升为A等品的有6件产品,所以因产品评分提高而增加的比例为,所以将这2 000万元用于改进一条生产线,一年后因产品评分提高而增加的收益为(2 000-1 200)××200×365-2 000×104=190×104(元). 将这2 000万元购买该款理财产品, 一年后的收益为2 000×104×(1+8.2%)-2 000×104=164×104(元), 因为190×104>164×104,所以将这2 000万元用于改进一条生产线一年后收益更大. 附加题 解:(1)∵2x+2x+x=10 000-5 000, ∴x=1 000, 用样本估计总体计算得: 若干年后甲微型企业至少盈利30%的可能性为(0.5+0.2)×100%=70%. (2)由题意得若干年后,两人家庭财产的总数量为[0.5×(50×1.6)+0.2×(50×1.3)+0.2×50+0.1×(50×0.9)]+(50×1.6)=147.5(万元). 由于婚姻期间家庭财产为共同财产, 故若干年后李女士预计拥有的家庭财产数量为=73.75(万元). 学科网（北京）股份有限公司 $