2.3 一元二次函数、方程和不等式（知识点+6题型+过关检测）讲义-2025-2026学年新高一暑假数学自学课

2.3 一元二次函数、方程和不等式 模块一 筑·知能要点 一、一元二次不等式的概念 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 二、一元二次不等式的解法3 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 3.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 三、解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 四、含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 五、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 六、一元二次不等式的实际应用 解不等式应用题的步骤 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 一元二次不等式的辨析 1．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 2．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 3．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 4．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 二、题型二 解不含参不等式 5．重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集 不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为. 试用上述方法解下面的不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用实数乘除法的符号法则，列一元一次不等式组分别解不等式求解集. 【详解】（1）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为； （3）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为； （4）由，得或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 6．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【分析】（1）求出的两个根，进而得到不等式的解集； （2）恒成立，故不等式解集为； （3）变形得到，求出不等式解集； （4）分别解和，进而求出答案. 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 7．解下列不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）原不等式可转化为； （2）将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0. 【详解】（1）原不等式可转化为， 解不等式组可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为． （2）移项并整理，可将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为． 8．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】，， 即不等式的解集为. 故选：A. 9．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 三、题型三 已知解集求参数 10．已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为__________； （2）用表示，为__________； （3）不等式的解集为__________； （4）__________0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据解集判断；再结合韦达定理得出关系；求解一次不等式；根据解集判断不等关系；消参解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以. （2）由题可知-3，4是的两根， 由根与系数的关系可得所以 （3）由（2）得，即，所以，即的解集为. （4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即. （5）由以上分析可知不等式即. 因为，故，所以或.故不等式的解集为. 故答案为： 11．若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得，进而求解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，即， 则不等式，即为， 则，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 12．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】含参分类讨论解不等式即可. 【详解】由可得，显然此时不等式无解； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 若，此时不等式解集为，要满足题意需该区间有且仅有整数，则； 综上或. 故选：C 13．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 四、题型四 解含参二次不等式 14．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 15．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 16．（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 18．已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 五、题型五 根的分布问题 19．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 20．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【分析】利用根的判别式一一计算可得. 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 故选：AB 21．若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 22．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】由二次函数性质及结合的零点一个零点大于1，另一个零点小于1，可得 【详解】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 六、题型六 恒成立与能成立问题 23．恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 24．设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 25．已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 26．设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【详解】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的概念依次判断即可 【详解】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式； 选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的辨析，属于基础题. 2．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式. 【详解】不等式的解集为或. 故选：A. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由，得到或，再由充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】由，得到或，所以推不出， 但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 5．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由不等式恒成立可得，，再用基本不等式计算可得. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，的最小值为. 故选：B. 6．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 7．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 8．若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解. 【详解】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，即时，在上单调递减， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于，则； 当时，即或时，在上单调递增， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于或，则或； 综上，实数的取值范围为：或； 故选：A 二、多选题 9．不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 10．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 11．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意，得不等式对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，得不等式对于恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为__________. 【答案】或 【分析】把看作是的函数，讨论该函数的单调性，求得该函数的最小值.令最小值大于零，即可得到实数的取值范围. 【详解】若命题“，使”为真命题， 则命题：“，使”为真命题， 即命题：“，使的最小值大于零”为真命题. 令，. 当，即，即，或时，是增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以或. 当，得或， 若，则，不满足题意；若，则满足题意，所以. 当，即，是减函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 方法二：命题“，使”为真命题. 令，则方程的实数根为. 因为，所以函数的图象开口向上. 所以当时，，或. 因为此时的最小值为-2，所以，或. 当时，，或. 因为此时的最大值为，所以，或. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （2）因式分解后可求不等式的解； （3）先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可． 【详解】（1）由得， 即，解得． 故原不等式的解集为． （2）因为， 解得或，所以原不等式的解集为或． （3）不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得或， 当时，解不等式得或， ∴当时，解集为， 当时，解集为． 16．解关于的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为且； 当时，不等式的解集为或； 【分析】将不等式的右边移项到左边，因式分解后可得，接下来分三种情况，解不等式即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得， ①时，，不等式的解集为或； ②时，，不等式的解集为且； ③时，，不等式的解集为或； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为且； 当时，不等式的解集为或； 17．设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 【答案】(1)（写也对） (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论； （3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论， 【详解】（1）若，则方程为， 即，故.（写也对） （2）由，可得. 因为， 所以，整理得，且， 解得或，经检验符合题意. （3）因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或 19．（1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）已知函数 （i）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式：. 【答案】（1）或；（2）（i）；（ii）答案见解析. 【分析】（1）分析可知，且、是关于的方程的两根，利用韦达定理可得出，然后利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集； （2）（i）由题意可知，对任意的，即恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （ii）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 则，且、是关于的方程的两根， 所以，可得， 所以不等式即为，即为， 等价于，解得或， 故原不等式的解集为或；    （2）（i）对任意的，恒成立，即恒成立， 当时，则有，解得，不符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是； （ii）由得， 当时，原不等式为，解得； 当时，，解原不等式得； 当时，即当时，解原不等式得或； 当时，即当时，原不等式即为，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次函数、方程和不等式 模块一 筑·知能要点 一、一元二次不等式的概念 知识梳理 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 二、一元二次不等式的解法 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注意点： (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 3.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 三、解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 四、含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 五、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 六、一元二次不等式的实际应用 解不等式应用题的步骤 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 一元二次不等式的辨析 1．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 4．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. 二、题型二 解不含参不等式 5．重新考查不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集 不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为. 试用上述方法解下面的不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 6．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．解下列不等式： （1）； （2）. 8．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 9．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 三、题型三 已知解集求参数 10．已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为__________； （2）用表示，为__________； （3）不等式的解集为__________； （4）__________0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为__________. 11．若不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 四、题型四 解含参二次不等式 14．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 15．解关于的不等式：． 16．（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 17．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 18．已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 五、题型五 根的分布问题 19．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 20．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 21．若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 22．已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 六、题型六 恒成立与能成立问题 23．恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 25．已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 26．设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 2．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 5．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 6．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9．不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 11．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．不等式的解集为______. 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________. 14．若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为__________. 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2)； (3) 16．解关于的不等式. 17．设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 18．设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 19．（1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）已知函数 （i）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $