第十章　概率-章末过关检测卷 2025-2026学年高一下学期人教A版数学必修第二册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配单元复习，培养数学思维与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与基础运算|第1-4题考查必然事件、互斥事件等概念，第12-13题强化概率公式应用| |提升层|多知识点结合与辨析|第7-8题独立事件判断，第9-11题多项选择综合考查事件关系与概率计算| |综合层|实际情境综合应用|第16-19题结合游戏、体育锻炼等情境，第14题等腰三角形概率体现数学眼光观察现实|

第十章　概率 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图,由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,下列事件为必然事件的是(　　) A.A灯亮,B灯不亮 B.A灯不亮,B灯亮 C.A,B两盏灯均亮 D.A,B两盏灯均不亮 2.掷一枚骰子,设事件A=“出现的点数不大于3”,B=“出现的点数为偶数”,则(　　) A.A∪B=Ω B.事件A与B是互斥事件 C.A∩B=“出现的点数为2” D.事件A与B是对立事件 3.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4,则事件B的对立事件的概率为(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为(　　) A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.7 5.某企业举办职工技能大赛,经过层层选拔,最终职工A,B,C进入决赛.假设这3名职工的水平相当,则职工A没有获得这次职工技能大赛第一名的概率是(　　) A. B. C. D. 6.甲袋中装有4个白球和6个黑球,乙袋中装有3个白球和5个黑球(两袋中球的大小和质地完全相同),现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为(　　) A. B. C. D. 7.掷红蓝两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1=“红骰子的点数为2”,事件A2=“红骰子的点数为3”,事件A3=“两个骰子的点数之和为7”,事件A4=“两个骰子的点数之和为9”,则(　　) A.事件A1与A2对立 B.事件A3与A4不互斥 C.事件A1与A3相互独立 D.事件A2与A4相互独立 8.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论中错误的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某校为了解学校餐厅中午的用餐情况,分别统计了食用大米套餐和面食的人数,剩下的为其他食品(每人只选一种),结果如表所示: 总人数 大米套餐人数 面食人数 1 000 550 260 假设随机抽取一名同学,记中午吃大米套餐为事件M,吃面食为事件N,吃其他食品为事件H,若用频率估计事件发生的概率,则(　　) A.P(M)=0.55 B.P(N)=0.26 C.P(H)=0.19 D.P(N∪H)=0.65 10.按先后顺序抛两枚均匀的硬币,观察正反面出现的情况,记事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现反面”,事件C=“两次都出现正面”,事件D=“至少出现一次反面”,则(　　) A.C与D是对立事件 B.A与B是互斥事件 C.P(A+B)= D.P(D)= 11.有6个大小质地完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球的数字是1”,B表示事件“第二次取出的球的数字是2”,C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.事件A与C是相互独立事件 B.事件A与D是相互独立事件 C.事件B与C不是相互独立事件 D.事件C与D不是相互独立事件 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是　　. 13.根据以往经验,小明每次考试语文成绩及格的概率为0.8,数学成绩及格的概率为0.9,语文和数学同时及格的概率为0.75,则语文、数学两科至少有一科及格的概率为　　　　　.  14.先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子,将得到的点数分别记为a,b.将a,b,5分别作为三条线段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在掷骰子试验中,由向上的点数可以定义事件A=“出现点数1”,B=“出现点数3或4”,C=“出现的点数是奇数”,D=“出现的点数是偶数”. (1)说明以上4个事件的关系; (2)求A∩C,B∩D,C∩D,A∪B,B∪C,C∪D. 16.(15分)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间. (2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之则乙胜,你认为此游戏是否公平?并说明你的理由. 17.(15分)某市为了解高中生周末体育锻炼时间的情况,通过随机调查获得了3 000名学生的周末体育锻炼时间(单位:min)数据,将数据按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160),[160,180]分成7组,并得到如下频率分布直方图. (1)估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间(每组数据用该组数据的中点值代表); (2)为了解本市高中生周末体育锻炼时间规划情况,采用比例分配的分层随机抽样的方法从体育锻炼时间在[140,180]中抽取6人,再从6人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人中恰有1人锻炼时间在[140,160)的概率. 18.(17分)甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. (1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲加工的零件中取两个,从乙加工的零件中取一个检验,求至少有一个一等品的概率. 19.(17分)甲、乙两同学组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求甲在4轮活动中,恰有3轮连续猜对成语的概率; (2)求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率. 附加题 某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品 编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 质量 指标 (x,y,z) (1,1, 2) (2,1, 1) (2,2, 2) (1,1, 1) (1,2, 1) (1,2, 2) (2,1, 1) (2,2, 1) (1,1, 1) (2,1, 2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率. (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品. ①用产品编号写出试验的样本空间; ②设事件B=“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求P(B). 参考答案 一、单项选择题 1.C 解析:由A,B两盏正常的小灯泡组成并联电路,当闭合开关时,可知A,B两盏灯均亮. 2.C 解析:掷骰子有点数为1,2,3,4,5,6六种结果,即Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,2,3},B={2,4,6},故A∪B={1,2,3,4,6}≠Ω,A∩B={2},即事件A,B既不互斥也不对立.显然C正确. 3.D 解析:因为P(A)=0.4,事件A和B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6,所以P(B)=0.6-0.4=0.2,所以事件B的对立事件发生的概率为1-0.2=0.8. 4.A 解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿,共有10种情况,它们的长度恰好相差0.3 m的是(2.5,2.8),(2.6,2.9)两种,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率P==0.2. 5.B 解析:由题意可知职工A,B,C最终的排名情况有(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共6种,其中(A,B,C)表示A获得第一名,B获得第二名,C获得第三名.职工A没有获得这次职工技能大赛第一名的情况有(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A),共4种,故所求概率P=. 6.D 解析:记甲袋中白球没有减少的事件为A,从甲袋中取黑球、乙袋中取任意球的事件为A1,从甲袋中取白球、乙袋中取白球的事件为A2,且事件A1与A2互斥,显然P(A1)=×1=,P(A2)=,所以甲袋中白球没有减少的概率P(A)=P(A1)+P(A2)=. 7.C 解析:事件A1与A2互斥但不对立,因为红骰子的点数还有其他情况,比如点数为4,故A错误; 事件A3=“两个骰子的点数之和为7”,事件A4=“两个骰子的点数之和为9”,事件A3与A4不可能同时发生,故事件A3与A4互斥,故B错误; 两个骰子的点数之和为7的情况有1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1,共6种,则P(A1)=,P(A3)=,P(A1A3)=,所以P(A1)·P(A3)=P(A1A3),所以事件A1与A3相互独立,故C正确; 两个骰子的点数之和为9的情况有3+6=4+5=5+4=6+3,共4种,P(A2)=,P(A4)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),故D错误. 8.D 解析:记从甲袋中摸出一个红球的事件为A,从乙袋中摸出一个红球的事件为B,且P(A)=,P(B)=,A,B相互独立,2个球都是红球的事件为AB,则有P(AB)=P(A)P(B)=,故A正确; 2个球中恰有1个红球的事件为AB,则P(AB) =P(A)+P(B)=×(1-)+(1-)×,故B正确; 至少有1个红球的事件的对立事件是,则P()=P()P()=(1-)×(1-)=,所以至少有1个红球的概率为1-,故C正确; 2个球不都是红球的事件是事件AB的对立事件,其概率为1-,故D错误. 二、多项选择题 9.ABC 解析:用频率估计概率得P(M)==0.55,P(N)==0.26, P(H)==0.19,故A,B,C正确; P(N∪H)表示事件N发生或事件H发生,且事件N与H互斥,故P(N∪H)=P(N)+P(H)=0.19+0.26=0.45,故D错误.故选ABC. 10.AC 解析:设出现正面为1,出现反面为2,由题意知,试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},A={(1,1),(1,2)},B={(1,2),(2,2)},C={(1,1)},D={(1,2),(2,2),(2,1)},由C∩D=⌀,C∪D={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},所以C与D既是互斥事件又是对立事件,故A正确; 因为A∩B={(1,2)}≠⌀,所以A与B不是互斥事件,故B错误; 由A+B={(1,1),(1,2),(2,2)},则P(A+B)=,故C正确; 由P(D)=,则D错误. 故选AC. 11.BCD 解析:两次取出的球的数字之和为8,有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种情况,所以P(C)=;两次取出的球的数字之和为7,有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况, 所以P(D)=;P(A)=P(B)=; P(AC)=0≠P(A)P(C),故事件A与C不是相互独立事件,故A选项错误; P(AD)==P(A)P(D),故事件A与D是相互独立事件,故B选项正确; P(BC)=≠P(B)P(C),故事件B与C不是相互独立事件,故C选项正确; P(CD)=0≠P(C)P(D),故事件C与D不是相互独立事件,故D选项正确.故选BCD. 三、填空题 12.[0,0.9] 解析:由题意知,事件A和B是互斥事件,P(A)=0.1,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),而P(A∪B)∈[0,1]且事件概率非负,故P(B)∈[0,0.9]. 13.0.95 解析:设A=“小明语文成绩及格”,B=“小明数学成绩及格”, 则AB=“小明语文和数学同时及格”,A∪B=“小明语文数学两科至少有一科及格”, 由已知得,P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(AB)=0.75, 代入和事件概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),得P(A∪B)=0.8+0.9-0.75=0.95. 14. 解析:样本点的总数为6×6=36. 因为三角形的一边长为5,所以当a=1时,b=5符合题意,有1种情况; 当a=2时,b=5符合题意,有1种情况; 当a=3时,b=3或5符合题意,有2种情况; 当a=4时,b=4或5符合题意,有2种情况; 当a=5时,b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意, 有6种情况; 当a=6时,b=5或6符合题意,有2种情况. 故满足条件的不同情况共有14种,所求概率为. 四、解答题 15.解:(1)在掷骰子的试验中,向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6种可能的结果,记作Ai=“出现点数i”(其中i=1,2,…,6). 则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6. 事件A与事件B互斥,但不对立;事件A包含于事件C; 事件A与D互斥,但不对立;事件B与C不是互斥事件; 事件B与D也不是互斥事件;事件C与D是互斥事件,也是对立事件. (2)由(1)得,A∩C=A1={出现点数1}, B∩D=A4={出现点数4},C∩D=⌀, A∪B=A1∪A3∪A4={出现点数1或3或4}, B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现点数1或3或4或5}, C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现点数1或2或3或4或5或6}. 16.解:(1)用a表示方块4,2,3,4分别表示红桃2、红桃3、红桃4,则甲、乙两人抽到的牌的样本空间Ω={(2,3),(2,4),(2,a),(3,2),(3,4),(3,a),(4,2),(4,3),(4,a),(a,2),(a,3),(a,4)}. (2)甲抽到3,乙抽到的只能是2,4,a,所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为. (3)不公平.甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有(3,2),(4,2),(4,3),(a,2),(a,3),所以甲胜的概率为,则乙胜的概率为,故游戏不公平. 17.解:(1)由频率和为1,得(2a+0.007 5+0.012 5+0.018 0+0.004 5+0.001 5)×20=1,解得a=0.003 0,该市高中生周末体育锻炼的平均时间为(50×0.003 0+70×0.007 5+90×0.012 5+110×0.018 0+130×0.004 5+150×0.003 0+170×0.001 5)×20=101.4.所以该市高中生周末体育锻炼的平均时间为101.4 min. (2)频率在区间[140,160)和[160,180]的频率之比为2∶1,则采用比例分配的分层随机抽样的方法从体育锻炼时间在区间[140,180]中抽取6人,则在区间[140,160)中抽取4人,区间[160,180]中抽取2人,设区间[140,160)中的4人分别为A1,A2,A3,A4,区间[160,180]中的2人分别为B1,B2,则抽取2人包含的样本空间为Ω={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共包含15个样本点,其中恰有1人锻炼时间在区间[140,160),包含的样本点为{A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2},共包含8个样本点,所以抽取的2人中恰有1人锻炼时间在区间[140,160)的概率P=. 18.解:(1)记事件A:甲机床加工的零件是一等品,事件B:乙机床加工的零件是一等品,且A与B相互独立, 由题意得,P(AB)=,P(B)=, 所以 解得P(A)=,P(B)=. (2)记事件C:从甲加工的零件中取两个都不是一等品, 事件D:抽取的三个零件至少有一个一等品,则P(C)=P()P()=(1-)×(1-)=,所以P(D)=1-P(C)=1-P()P(C)=1-(1-)×. 19.解:(1)设Ai=“甲第i(i=1,2,3,4)轮猜对成语”, B=“甲在4轮活动中,恰有3轮连续猜对成语”, 则B=A1A2A3A2A3A4,且A1A2A3A2A3A4是互斥事件, 因为A1,A2,A3,A4之间相互独立,所以Ai与(i,j=1,2,3,4,i≠j)之间也相互独立, P(B)=P(A1A2A3A2A3A4)=P(A1)·P(A2)·P(A3)P()+P()P(A2)P(A3)P(A4)=×(1-)+(1-)×, 因此,甲在4轮活动中,恰有3轮连续猜对成语的概率是. (2)设Ci=“甲两轮猜对i(i=1,2)个成语”,Di=“乙两轮猜对i(i=1,2)个成语”, 由题意可知P(C1)=2×,P(C2)=. P(D1)=2×,P(D2)=. 设E=“两轮活动中‘星队’至少猜对3个成语”,则E=C1D2∪C2D1∪C2D2,且C1D2,C2D1,C2D2是互斥事件,由题意得P(E)=P(C1D2∪C2D1∪C2D2)=P(C1)P(D2)+P(C2)P(D1)+P(C2)P(D2)=. 因此,“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率是. 附加题 解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6. (2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9)},共有15个样本点. ②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B={(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7)},共有6个样本点,所以P(B)=. 学科网（北京）股份有限公司 $