第十章 概率 章末检测卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学概率单元检测卷，覆盖样本空间、互斥对立事件、独立事件等核心知识，通过元宵节取花灯、体育选课等情境设计，考查数学思维与应用能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|样本空间、互斥对立事件、抽样概率|结合硬币抛掷、花灯取法等情境，基础巩固| |多选题|3|独立事件判断、概率计算辨析|多选项设计，考查逻辑推理| |填空题|3|独立事件概率、事件关系|简洁考查核心公式应用| |解答题|5|比赛概率、分层抽样、药物试验|综合生活情境（如体育选课、足球赛制），考查数学建模与数据分析|

第十章 概率　章末检测卷 一、单选题 1．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.66 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系、写出样本空间 【分析】由样本空间定义判断①，由互斥事件定义判断②，由对立事件定义判断③，利用古典概型概率求④. 【详解】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建不同的样本空间，故①正确； 对于②，事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正， 事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故②错误； 对于③，事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正， 与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故③正确； 对于④，基本事件样本总数为，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有种， 所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故④正确， 所以，错误的个数为1个. 2．元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若5盏等都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】先列举出所有取花灯的排列情况，再求出花灯与花灯相邻取下的排列情况数，最后用古典概型概率公式求解即可. 【详解】记第一串从下往上的花灯标记为，第二串从下往上的花灯标记为， 则有， 共有10种， 花灯与花灯被相邻取下的排列情况为共6种， 所以花灯与花灯被相邻取下的概率为. 故选：C. 3．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，即可求解. 【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率； 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率. 故选：A. 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 5．已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C 6．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 7．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 8．一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（    ） A．0.985 B．0.765 C．0.220 D．0.015 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件的概率公式进行计算即可. 【详解】设模块一正确识别命令为事件，模块二正确识别命令为事件， 则，. 因为两个模块是独立的，所以至少有一个正确识别的概率为. 故选：A. 二、多选题 9．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回的方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出的球的标号小于3”，事件“两次摸出的球的标号均为偶数”，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，利用列举法写出样本空间，以及事件与事件，结合古典概型的概率计算公式，以及独立事件的判定方法，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】根据题意，样本空间为：，共有12个样本点， 事件，共有6个样本点， 事件，共有2个样本点， 对于A，事件的概率为，所以A正确； 对于B，事件的概率为，所以，所以B不正确； 对于C，由事件，共有7个样本点， 所以事件的概率为，所以C错误； 对于D，由，所以，又由， 可得，所以事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：AD. 10．抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】选项A：根据古典概型判断相互独立事件；选项B：根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C：先列出 和 的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为 1，从而判断是否为对立事件；选项D：先判断事件 和 是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概率加法公式计算即可判断. 【详解】选项A：由已知得，因为，， 所以，即与互不影响，A正确. 选项B：事件与事件能同时发生，故与不是互斥事件，B错误. 选项C：， ， 故事件与不是对立事件，C错误. 选项D：因为事件，事件， 则不可能同时发生，故与互斥，所以，D正确. 故选：AD. 11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D． 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为共4个，故概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 则从每个袋子中各任取一个球，取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误． 故选：AC 三、填空题 12．设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先根据独立事件的概率乘法公式求，再根据概率的加法公式求. 【详解】由题知，，，， ∴， ∴． 故答案为：. 13．设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 14．已知事件A，B相互独立，且，，则当______时，取得最大值，最大值为______． 【答案】 / / 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】先根据概率的性质得，然后利用相互独立事件的乘法公式求得，根据二次函数性质求解最大值即可. 【详解】由得， 则， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：； 4、 解答题 15．甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解； （2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解. 【详解】（1）用表示“第场比赛甲获胜”， 则用表示“打完两场比赛结束”， 则. （2）若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则， 所以 . 16．为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)结论正确，结论错误； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、各数据同时加减同一数对方差的影响、独立事件的乘法公式、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）结合题干利用样本中选择足球的人数的比例，可以判断结论；根据容斥原理，可以判断结论. （2）利用全概率公式求解选择排球课的人数为2的概率即可； （3）根据题意可知，结合方差的定义得到两者方差相等. 【详解】（1）由题意可知，选择足球课的频率为， 则全校高一学生有选择足球课的意愿的人数为，故结论正确； 设不选择排球的男生集合为，不选择篮球的男生集合为， 则集合和中的人数分别为，,都不选择的人数为， 根据且， 可得， 所以都不选择的人数至少为25人，故结论B错误. （2）由题意可知，男生选择排球课的概率为，女生选择排球课的概率为， 假设表示3人中选择排球课的人数，则选择排球课的人数恰为2的概率 . （3）由题意知，， 设男生选择和不选择这四个活动课的平均值分别为， 则 根据方差定义可得 所以. 17．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 【难度】0.65 【知识点】决策中的概率思想、计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）（i）事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，分三种情况，求出概率相加得到答案； （ii）甲队获得冠军包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，分四种情况，求出概率，相加即可； （2）在“单场比赛制”下，甲队获得冠军包含甲队胜、甲队平同时点球胜，计算出相应的概率，结合（1）中所求甲队获得冠军的概率，作差法比较出结论. 【详解】（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件， 此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜， 故， 因为，所以， 所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为. （ii）记甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜， 所以， 将代入得，， 所以甲队获得冠军的概率为 （2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜， 所以， 因为，所以，此时满足题意， ， 因为，所以， 故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 18．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 19．不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）5，6，7 【难度】0.4 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案； （ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可. 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率　章末检测卷 一、单选题 1．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若5盏等都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（    ） A． B． C． D． 3．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（   ） A．若，则C与B相互对立 B．若，则 C．若事件A与B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则 6．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 8．一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（    ） A．0.985 B．0.765 C．0.220 D．0.015 二、多选题 9．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回的方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出的球的标号小于3”，事件“两次摸出的球的标号均为偶数”，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与相互独立 10．抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 三、填空题 12．设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 13．设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 14．已知事件A，B相互独立，且，，则当______时，取得最大值，最大值为______． 4、 解答题 15．甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 16．为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 17．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 18．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 19．不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $