概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率、概率的性质专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以真实情境为载体，系统覆盖古典概型、独立事件、概率性质三大模块，通过典例变式构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型求概率|3例+3变式|含不放回/放回抽样、分层抽样，结合频率分布直方图|基于等可能事件定义，通过样本空间构建实现从具体到抽象的概念生成| |独立事件的乘法公式求概率|3例+3变式|以比赛、闯关为情境，考查分步概率与对立事件转化|在古典概型基础上，通过事件独立性推导乘法公式，体现原理应用拓展| |概率的性质|4例+4变式|选择填空为主，聚焦互斥、对立事件概率关系|作为前两模块的理论支撑，通过公式推导强化概念间逻辑联系|

概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率、概率的性质专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率、概率的性质专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 概率的性质 考点一 古典概型求概率 例1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 例2．（25-26高一下·江西九江·开学考试）开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 例3．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 变式1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 变式3．（24-25高一下·贵州安顺·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 考点二 独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 例2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 例3．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 变式1．（25-26高二上·广东广州·期中）甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 变式2．（25-26高二上·山东聊城·期中）在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)乙获得奖品的概率； (3)求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率. 变式3．（25-26高二上·湖北·期中）甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球.约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响. (1)若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (2)若乙先投篮，求乙获胜的概率. 考点三 概率的性质 例1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 例3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是事件的对立事件，，，，则 __________． 例4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于随机事件有___________. 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）设是一个随机试验中的两个事件，，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若事件与事件互斥，且，，则______. 变式4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率、概率的性质专项训练 概率：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率、概率的性质专项训练 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 概率的性质 考点一 古典概型求概率 例1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)该规则不公平，理由见解析. 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 例2．（25-26高一下·江西九江·开学考试）开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 【答案】(1)；众数为87.5；中位数为85； (2)． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和为1，可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为的点，众数估计值为最高小矩形的中点； （2）首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案. 【详解】（1）∵第三组的频率为， ， 众数为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为0.200， ∴前三组的频率之和为， ∴这200名业主评分的中位数为85； （2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为， ∴采用分层抽样法抽取5人，评分在的有3人，评分在有2人， 设评分在的3人分别为，，；评分在的2人分别为，， 从5人中任选2人的所有可能情况共10种：，，，，，，，，，， 其中选取的2人中至少有1人的评分的情况有：，，，，，，共7种． 故这2人中至少有1人的评分在的概率为． 例3．（25-26高二上·广东茂名·期中）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法，以及古典概率公式，即可求解； （2）首先求样本空间，再列举基本事件个数，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，共6个，     记取出的两球编号之和大于5的事件为，     则事件包含，，共2个等可能基本事件     所以；     所以取出的两球编号之和大于5的概率为. （2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共16个，     记的事件为，     则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件，     所以，     所以事件“”发生的概率为. 变式1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）一一列举出6名运动员两两组合的所有可能即可； （2）找出样本空间中符合事件要求的样本点，使用古典概型概率公式，结合概率之和为1计算即可. 【详解】（1）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为： （2）由题意可知，事件为“编号为和的三名运动员中恰有2人被抽到”， 事件的样本点有，，，共3种， 样本空间的样本点有15种， 所以事件发生的概率. 变式2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；    (1)求直方图中的值及样本中位数； (2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【答案】(1)，中位数75 (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出，然后利用中位数的定义求出中位数的值. （2）先确定分层抽样比和抽样人数，然后确定样本空间和这2人成绩至少一人成绩在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得， ， 解得. 因为成绩位于的概率为， 而成绩位于的概率为， 所以中位数为75. （2）因为成绩位于区间的频数分别为 人， 所以分层抽样比为. 所以抽取5人中成绩位于区间的人数分别为1（），2（），2（）人. 所以从5人中随机抽取2人的情况有，共10种， 这2人成绩至少一人成绩在的情况有，共7种， 这2人成绩至少一人成绩在的概率为. 变式3．（24-25高一下·贵州安顺·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）； （2）事件为，包含6个基本事件， 由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故， 事件为，包含3个基本事件，故； 事件为，包含4个基本事件，故， 事件A，B，C均没有发生的概率为， 故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为. 考点二 独立事件的乘法公式求概率 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 例2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，由并应用独立事件乘法公式求概率； （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 例3．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【详解】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 变式1．（25-26高二上·广东广州·期中）甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分解互斥情况，再利用独立事件的乘法公式计算每种情况的概率，最后计算求和； （2）利用对立事件概率公式结合已知条件列方程求解． 【详解】（1）甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲、乙互不影响， “甲、乙恰有一人中靶”包括两种情况：①甲中乙不中，；②乙中甲不中，， “甲、乙恰有一人中靶”的概率为． （2）“甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶”的对立事件为“甲、乙、丙三个人均未中靶”，设“甲、乙、丙三个人均未中靶”的概率为， 则， 甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为， ，即，化简得，解得． 变式2．（25-26高二上·山东聊城·期中）在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)乙获得奖品的概率； (3)求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率. 【答案】(1) (2) (3)0.99 【分析】（1）甲第二次闯关获得奖品意味着甲第一次闯关失败且第二次闯关成功．根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）乙获得奖品有两种情况：第一次闯关成功或者第一次闯关失败但第二次闯关成功．根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）“甲和乙两人中至少一人获得奖品”的对立事件是“甲和乙两人都没有获得奖品”．根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得． 【详解】（1）设事件“甲第次闯关成功”，， 则． 甲第二次闯关获得奖品事件为且与相互独立， 所以甲第二次闯关获得奖品的概率为 ． （2）设事件“乙第次闯关成功”，，则. 设事件“乙获得奖品”，事件“乙未获得奖品”，则， 乙获得奖品的概率为 （3）事件“甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”． 设事件“甲和乙两人中至少一人获得奖品”，则 ． 故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99． 变式3．（25-26高二上·湖北·期中）甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球.约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响. (1)若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (2)若乙先投篮，求乙获胜的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分甲乙甲乙、甲乙甲（只有最后一局赢）两种情况，根据互斥事件和独立事件的概率公式计算； （2）分乙、乙甲乙、乙甲乙甲乙（只有最后一局赢）三种情况，根据互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则由题意可得，， 记事件为“投篮结束时甲只投了2个球”， 则 ， 即若甲先投，投篮结束时，甲只投了2个球的概率为； （2）若由乙首次投篮，记事件为“乙获胜”， 则 ， 故若乙先投篮，乙获胜的概率为. 考点三 概率的性质 例1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 例2．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 例3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是事件的对立事件，，，，则 __________． 【答案】 【分析】根据概率的性质得出以，再结合计算求解. 【详解】因为， 所以． 又，所以． 故答案为：. 例4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于随机事件有___________. 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】, 所以 故答案为： 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 变式2．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）设是一个随机试验中的两个事件，，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意可得， . 故选：D. 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $