第八章 实数（暑假巩固作业01）2025-2026学年下学期七年级数学人教版下册

**基本信息** 聚焦实数核心概念，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|无理数判断、简单运算|选择题1-5题考概念辨析，填空题11-13题练基本计算，夯实基础| |中档|平方根性质、规律探究|选择题6-8题结合性质应用，填空题14-15题渗透数形结合，提升综合思维| |提升|实际情境、新定义问题|解答题19题临界速度计算，23题行列式应用，24题数形结合表无理数，培养创新意识与应用能力|

第八章 实数（暑假巩固作业01） 一、选择题 1．下列实数中，是无理数的为（     ） A． B． C． D． 2．下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 5．在实数，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．在实数，0，，中，最小的实数是（     ） A． B．0 C． D． 8．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 9．实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 10．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 11．计算：_____． 12．计算：_______________． 13．若，则_____． 14．若，则，其中m的值为_________． 15．如图，已知，且的长度为整数，则__________ 16．阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 三、解答题 17． 18．求的值：． 19．汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 20．如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 21．仔细阅读表格中的内容，并应用相关知识解答下列问题． 知识准备 ①无限不循环小数叫作无理数． ②是无理数． 提出问题 如何表示的小数部分？ 解决问题 ∵，∴的小数部分表示为． (1)求的小数部分； (2)已知a为整数，，，求的平方根． 22．问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 23．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 24．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则，从而求出，就得到了小正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来． 阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是_______． (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为x）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即x的值）． ②在数轴上画出图2中内部正方形的边长（即x）所对应的点，并标注出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第八章 实数（暑假巩固作业01） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B B C C A D D 1．B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和整数都属于有理数． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C、，是整数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数． 2．D 【分析】求出每个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到答案． 【详解】解：先计算各数的绝对值：，，， ∵ ∴ 绝对值最大的是． 3．C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：∵表示的算术平方根，结果为，不是， ∴ B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵由立方根的性质，可得， ∴C正确，该选项符合题意； 选项D：∵， ∴ D错误，该选项不符合题意． 4．B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 5．B 【分析】根据有理数和无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：， 四个数中只有和是有理数，共2个． 6．C 【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ， ∴ ， 解得：． 7．C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴最小的实数是． 8．A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 9．D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 10．D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 11． 【分析】先计算被开方数的值，再根据算术平方根的定义计算结果． 【详解】解：． 12． 【详解】解： 13．2或0 【分析】根据平方根的定义，得出或，即可解答。 【详解】解：， 或， 或 14．3 【分析】将已知两边同时平方，将结果与对比，即可求出的值． 【详解】解： 又 15．1 【详解】解：由图可得， ∴由垂线段最短可得，， 而 ∴， ∵的长度为整数， ∴． 16．/ 【分析】先求出，进而求出，，再代入求值即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， ． 17． 【分析】根据绝对值的定义、算术平方根的性质把算式各部分计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 18． 【详解】解：， 19．会发生侧滑事故，见解析 【分析】先计算汽车在弯道上临界速度，比较求解即可． 【详解】解：该辆汽车会发生侧滑事故． 根据题意得，， ． ， 以的速度驶入该弯道时，会发生侧滑事故． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根． （1）根据长方形周长公式计算即可； （2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形， ∴， 即， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用无理数的估算求解； （2）首先利用无理数的估算求出a，b的值，然后代入求平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为； （2）解：∵， ∴． ∴． ∵，a为整数，， ∴，， ∴，121的平方根是， ∴的平方根是． 22．(1) (2)①② 【分析】（1）正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，列出方程，解方程，即可求解； （2）①设其中一直角边长为，同（1）的方法列出方程，即可求解； ②设正方形的边长为，同（1）的方法列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 （2）解：∵， 设其中一直角边长为，则 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 ②解：∵一个正方形对角线长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴ 又∵ 解得： 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据行列式的计算方法直接列式计算； （2）根据行列式的计算方法展开两个行列式，再写出数量关系； （3）根据行列式的计算方法展开，整理成一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得． 24．(1)数形结合 (2)①；②见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，实数与数轴，解题的关键是正确理解材料中的信息掌握数形结合的思想． （1）分析材料即可； （2）由图形面积之间的关系列方程求解即可；记的对应点为，的对应点为，在数轴上方作长为，宽为的长方形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：材料中蕴含的是数形结合的数学思想， 故答案为：数形结合． （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，， ∴，， ∴， 答：内部正方形的边长为． ②如图，记的对应点为，的对应点为，在数轴上方作长为，宽为的长方形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴交于点，点即为所对应的点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $