8.3 实数及其简单运算 暑假分层练习 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版（2024）七年级下册 8.3 实数及其简单运算 暑假分层练习 一、无理数的概念 1.实数，0，，1.732中无理数是（　　） A. B.0 C. D.1.732 2.下列各数中是无理数的是（   ） A. B. C. D.3.14 3.下列实数中是无理数的是（　　） A.﹣1 B. C.0 D. 4.下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥中，属于无理数的是        （填序号）． 5.写出两个无理数，使它们的和为有理数________，________. 6.把下列各数按要求填入相应的大括号里： ，，，0，，+16，，． 正整数集合：{         …}； 负有理数集合：{         …}； 无理数集合：{            …}． 7.在、、1.732、、、、﹣、中，哪些数是无理数？ 二、估计无理数大小的范围 1.下列无理数在5和6之间的是（   ） A. B. C. D. 2.无理数的大小在（　　） A.-2和-1之间 B.-1和0之间 C.0和1之间 D.1和2之间 3.无理数的大小在（　　） A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 4.在3和4之间找出两个无理数：________和________． 5.写出一个比大且比小的整数      （写出一个即可） 6.阅读理解：大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是1，所以我们可以用－1来表示2的小数部分．请你解答：已知：x是10＋的整数部分，y是10＋的小数部分，求x－y＋3的值． 7.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，c是57的整数部分，求a＋2b＋c的平方根． 三、无理数的整数部分和小数部分 1.的整数部分为（    ） A.9 B.10 C.11 D.12 2.实数的整数部分是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 3.设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 4.的整数部分为         ，小数部分为         ． 5.的小数部分是      ． 6.[阅读与思考]我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，整就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是 ， 的整数部分是 ； (2)如果的小数部分为a． 的整数部分为b，求的值． 7.请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． (1)的相反数是_____，的整数部分是_____；的整数部分是_____，的整数部分是_____； (2)已知的小数部分是，的小数部分是．若，请求出满足条件的的值． 四、实数的概念 1.下列说法正确的是( ) A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数 C.无限小数是无理数 D.是分数 2.有下列命题，其中是真命题的是（    ） A.无理数都是无限不循环小数 B.数轴上的点和有理数一一对应 C.无限循环小数都是无理数 D.两个无理数和还是无理数 3.有下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数有立方根；（4）﹣是17的平方根，其中正确的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.有理数和无理数统称为________． 5.写出满足下列两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”的一个数：________. 6.（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 7.判断： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数. （3）用根号表示的数都是无理数. （4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数. （5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数. 五、实数的分类 1.下面5个实数：，，，，，其中是分数的有（   ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列实数中，有（  ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A.2 B.3 C.4 D.5 3.下列说法错误的是（    ） A.是分数 B.是有理数 C.是有理数 D.的平方根是 4.在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则      ． 5.以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是      ． 6.把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤，⑥，⑦． 整数集合：{______________________________...}； 负数集合：{______________________________...}； 正有理数集合：{______________________________...}； 无理数集合：{______________________________...}． 7.把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣2.4，3，，1，，0，，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，0.141041004⋯（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）． 正有理数集合：{　                         　…}． 负数集合：{　                           　…}． 无理数集合：{　                           　…}． 六、实数的相反数、绝对值、倒数 1.下列说法不正确的是( ) A.0.4的算术平方根是0.2 B.－9是81的一个平方根 C.－27的立方根是－3 D.1－的相反数是－1 2.如果实数a、b满足ab＜0且a+b＞0，则实数a、b的符号为（　　） A.a＞0，b＞0 B.a＜0，b＜0且a的绝对值大于b的绝对值 C.a＞0，b＜0 D.a＜0，b＞0且a的绝对值小于b的绝对值 3.如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 4.的相反数是      ；的算术平方根为      ． 5.的相反数是     ，的绝对值是      ． 6.已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，b﹣4的相反数为． （1）求a，b的值； （2）求（a﹣b）2的立方根． 7.（1）用“”“”或“”填空： __________________； （2）由上可知： ①______，②______，③______； （3）计算：． 七、实数与数轴的关系 1.如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A.0 B. C. D.π 2.已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是的点所表示的数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，在数轴上对应的点是（   ） A.点A B.点B C.点C D.点D 4.实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为          ． 5.若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 　     　.（只填一个） 6.如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和的对应点分别为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m．    (1)求线段的长． (2)求m的值． (3)若数轴上点D表示的数为x，且满足．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置． 7.（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？ （2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点. 八、实数大小的比较 1.下列各数中最大的数是（　　） A.1 B. C. D.0 2.下列各数中，最大的数字是（　　） A. B.﹣π C.﹣3 D. 3.下列各数中，比大的数是（   ） A. B. C. D. 4.将，，0按从小到大的顺序排列为 　     　（用“＜”连接）． 5.我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：      （填“＞”或“<”）. 6.把下面这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：－1.5，－22，－(－4)，0，－|－3|，9. 7.比较与的大小． 九、实数的简单运算 1.计算：|2－ |＋|－3|的结果为( ) A.1 B.－1 C.25－5 D.5－25 2.实数在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( ) A.a+b>0 B.a-b<0 C.<0 D.> 3.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A. B. C. D. 4.计算：        ． 5.计算：          ． 6.计算（结果保留小数点后两位）： （1）；（2）. 7.计算（结果保留小数点后两位）： （1）；（2）. 十、实数与程序设计问题 1.按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A.0 B. C. D.以上都不对 2.按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（    ） A.9 B.11 C.17 D.19 3.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A. B. C. D. 4.小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为      ． 5.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为        ． 6.如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 7.每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为﹣1时，计算结果；将输入值变为（﹣1）+1＝0，计算结果为；再将输入值变为了0+1＝1，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． （1）当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． （2）当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 十一、实数与新定义问题 1.定义新运算：且，则的值为（    ） A.1 B. C. D. 2.用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（    ） A. B. C. D.1 3.已知实数a、b，定义“△”运算：，计算的值为（　　） A. B. C. D. 4.若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，，所以13是“完美数”，判断：17      （请填写“是”或“不是”）“完美数”． 5.在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为，根据这个规则，方程的解为         ． 6.定义一种新运算：． (1)计算：　　； (2)若，求x的值； (3)化简：，若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值． 7.规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 十二、实数与规律探究问题 1.数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A. B. C. D. 2.已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A. B. C. D.11 3.已知=3 ，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为(     ） A.56 B.54 C.52 D.50 4.小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则      . 5.已知根据其变化规律，解答问题：若，则        ． 6.先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 7.[观察]请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． [发现]根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 人教版（2024）七年级下册 8.3 实数及其简单运算 暑假分层练习（参考答案） 一、无理数的概念 1.实数，0，，1.732中无理数是（　　） A. B.0 C. D.1.732 【答案】C 【解析】有理数：，0，1.732；无理数：， 故选：C． 2.下列各数中是无理数的是（   ） A. B. C. D.3.14 【答案】B 【解析】解：解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不是无理数，不符合题意； D、3.14是有理数，不是无理数，不符合题意． 故选：B． 3.下列实数中是无理数的是（　　） A.﹣1 B. C.0 D. 【答案】B 【解析】A项，﹣1，是整数，它是有理数，不符合题意； B项，是无限不循环小数，它是无理数，符合题意； C项，0是整数，它是有理数，不符合题意； D项，是分数，它是有理数，不符合题意， 故选：B． 4.下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥中，属于无理数的是        （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【解析】∵，，，是有理数，，是无理数， 故答案为：④⑤． 5.写出两个无理数，使它们的和为有理数________，________. 【答案】－(答案不唯一) 6.把下列各数按要求填入相应的大括号里： ，，，0，，+16，，． 正整数集合：{         …}； 负有理数集合：{         …}； 无理数集合：{            …}． 【答案】解：∵，， ∴正整数集合：{，，…}； 负有理数集合：{，…}； 无理数集合：{…}． 故答案为：，；，；． 7.在、、1.732、、、、﹣、中，哪些数是无理数？ 【答案】解：1.732，＝﹣，，﹣，＝4，它们都不是无理数； ，，是无限不循环小数，它们均为无理数． 二、估计无理数大小的范围 1.下列无理数在5和6之间的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，， ， ， ， 故选：D． 2.无理数的大小在（　　） A.-2和-1之间 B.-1和0之间 C.0和1之间 D.1和2之间 【答案】B 【解析】∵8<10<27， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以的大小在-1和0之间. 故选：B． 3.无理数的大小在（　　） A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 【答案】A 【解析】∵9<10<16， ∴， ∴， ∴， ∴5， ∴， 所以的大小在1和2之间. 故选：A． 4.在3和4之间找出两个无理数：________和________． 【答案】答案不唯一，如：π，， 【解析】如π，，等． 5.写出一个比大且比小的整数      （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：∵，， ∴，， ∴比大且比小的整数为，，， 故答案为：． 6.阅读理解：大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是1，所以我们可以用－1来表示2的小数部分．请你解答：已知：x是10＋的整数部分，y是10＋的小数部分，求x－y＋3的值． 【答案】解：因为11＜10＋＜12，所以x＝11，y＝10＋－11＝－1， 所以可得x－y＋3＝11－＋1＋3＝15. 7.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，c是57的整数部分，求a＋2b＋c的平方根． 【答案】解：因为2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4， 所以2a－1＝9，3a＋b－1＝16，解得：a＝5，b＝2， 因为7＜＜8所以c＝7；所以a＋2b＋c的平方根是±4. 三、无理数的整数部分和小数部分 1.的整数部分为（    ） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】解： ， ，即， 的整数部分为， 故选C． 2.实数的整数部分是（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】解：∵ ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 3.设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：的整数部分是a，小数部分是b， ，， 的整数部分是c，小数部分是d， ，， ， ，， ， ． 故选A． 4.的整数部分为         ，小数部分为         ． 【答案】；/. 【解析】解： ， ， 的整数部分为：， 小数部分为， 故答案为：， 5.的小数部分是      ． 【答案】 【解析】解： 整数部分为2026 小数部分为； 故答案为： 6.[阅读与思考]我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，整就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是 ， 的整数部分是 ； (2)如果的小数部分为a． 的整数部分为b，求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴的小数部分是，的整数部分是1； 故答案为，1； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 7.请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． (1)的相反数是_____，的整数部分是_____；的整数部分是_____，的整数部分是_____； (2)已知的小数部分是，的小数部分是．若，请求出满足条件的的值． 【答案】解：（1）的相反数是， ， ， 即，故的整数部分是， ， ， 即，故的整数部分是， 故答案为：；4，11； （2）由题意，的小数部分， 的小数部分， ， ∵， ∴， ， 当时，解得， 当时，解得， 综上，的值为0或2． 四、实数的概念 1.下列说法正确的是( ) A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数 C.无限小数是无理数 D.是分数 【答案】B 【解析】A．有理数是有限小数与无限循环小数的统称，故选项错误； B．无理数是无限不循环小数，故选项正确； C．无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故选项错误； D．是无理数，故选项错误． 2.有下列命题，其中是真命题的是（    ） A.无理数都是无限不循环小数 B.数轴上的点和有理数一一对应 C.无限循环小数都是无理数 D.两个无理数和还是无理数 【答案】A 【解析】解：A、无理数都是无限不循环小数，是真命题，符合题意； B、数轴上的点和实数一一对应，是假命题，不符合题意； C、无限不循环小数都是无理数，是假命题，不符合题意； D、两个无理数和不一定是无理数，是假命题，不符合题意； 故选：A． 3.有下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数有立方根；（4）﹣是17的平方根，其中正确的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】（1）带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故（1）不正确； （2）不带根号的数不一定是有理数，例如：π是无理数，故（2）不正确； （3）负数有立方根，故（3）正确； （4）﹣是17的平方根，故（4）正确； 所以，上列说法中正确的有2个， 故选：C． 4.有理数和无理数统称为________． 【答案】实数 【解析】因为实数可分为有理数和无理数，所以有理数和无理数统称为实数． 5.写出满足下列两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”的一个数：________. 【答案】答案不唯一，如－π 【解析】因为满足两个条件“①是负数；②是无限不循环小数．”所以符合题意的一个数可以为：－π. 6.（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 【答案】解：（1）有最小的正整数，是1；没有最小的整数. （2）没有最小的有理数，没有最小的无理数. （3）没有最小的正实数，没有最小的实数. 7.判断： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数. （3）用根号表示的数都是无理数. （4）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数. （5）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数. 【答案】解：（1）错误.因为无限不循环的小数叫做无理数，而无限小数包括无限不循环小数和无限循环小数，而无限循环小数是有理数，所以原说法错误. （2）正确.因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无限不循环小数叫无理数，所以原说法正确. （3）错误.因为，它属于有理数，所以原说法错误. （4）错误.因为数轴上有部分点表示无理数，所以原说法错误. （5）正确.因为实数与数轴上的点是一一对应关系，所以原说法正确. 五、实数的分类 1.下面5个实数：，，，，，其中是分数的有（   ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】解：分数是：，，共3个． 故选：B． 2.下列实数中，有（  ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】解：，，， 在、、、、、9、0.01001000100001…中，、、、9是有理数，共4个， 故选：C 3.下列说法错误的是（    ） A.是分数 B.是有理数 C.是有理数 D.的平方根是 【答案】A 【解析】解：A、是无理数，选项说法错误，符合题意； B、是有理数，选项说法正确，不符合题意； C、是有理数，选项说法正确，不符合题意； D、的平方根是，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 4.在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的0个数逐次增加中正数有个，非负整数有个，正分数有个，则      ． 【答案】1 【解析】解：在，，，0.3，0，，21，，，（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有，，0.3，21，，（每两个1之间的0个数逐次增加，有6个，则，非负整数有0，21，有2个，则， 正分数有，，0.3，有3个，则， 则． 故答案为：1． 5.以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是      ． 【答案】5 【解析】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 6.把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤，⑥，⑦． 整数集合：{______________________________...}； 负数集合：{______________________________...}； 正有理数集合：{______________________________...}； 无理数集合：{______________________________...}． 【答案】解：整数集合：②③． 负数集合：①⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 7.把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣2.4，3，，1，，0，，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，0.141041004⋯（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）． 正有理数集合：{　                         　…}． 负数集合：{　                           　…}． 无理数集合：{　                           　…}． 【答案】解：﹣（﹣2.28）＝2.28，﹣|﹣4|＝﹣4， 正有理数集合：{3，1，-（-2.28），3.14，…}； 负数集合：{-2.4，，，﹣|﹣4|，…}； 无理数集合：{，0.141041004⋯（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1），…}． 六、实数的相反数、绝对值、倒数 1.下列说法不正确的是( ) A.0.4的算术平方根是0.2 B.－9是81的一个平方根 C.－27的立方根是－3 D.1－的相反数是－1 【答案】A 【解析】A.0.04的算术平方根是0.2，故A错误；B．－9是81的一个平方根，故B正确；C．－27的立方根是－3，故C正确；D．1－2的相反数是2－1，故D正确． 2.如果实数a、b满足ab＜0且a+b＞0，则实数a、b的符号为（　　） A.a＞0，b＞0 B.a＜0，b＜0且a的绝对值大于b的绝对值 C.a＞0，b＜0 D.a＜0，b＞0且a的绝对值小于b的绝对值 【答案】D 【解析】∵ab＜0， ∴a、b异号， ∵a+b＞0， ∴a、b中正数的绝对值较大， 故选：D． 3.如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴平方等于它本身，那么这样的实数有0和1，共计2个． 故选：B． 4.的相反数是      ；的算术平方根为      ． 【答案】3. 【解析】解：的相反数是； 因为， 所以的算术平方根为． 故答案为：，3． 5.的相反数是     ，的绝对值是      ． 【答案】3；. 【解析】解：，， 所以，相反数是，的绝对值是． 故答案为：，． 6.已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，b﹣4的相反数为． （1）求a，b的值； （2）求（a﹣b）2的立方根． 【答案】解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4， ∴2a+1+a﹣4＝0， 解得a＝1， ∵b﹣4的相反数为， ∴b﹣4+3﹣＝0， 解得b＝1+； （2）由（1）得（a﹣b）2＝（1﹣1﹣）2＝3， 则（a﹣b）2的立方根为． 7.（1）用“”“”或“”填空： __________________； （2）由上可知： ①______，②______，③______； （3）计算：． 【答案】解：（1）∵， ∴， 故答案为：；；； （2）①；②；③； 故答案为：①；②；③； （3） ． 七、实数与数轴的关系 1.如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A.0 B. C. D.π 【答案】B 【解析】0是有理数，不符合题意． ﹣1≈0.414，是无理数且在线段AB上． ≈﹣2.0801，π≈3.14都是无理数但都不在线段AB上． 所以只有﹣1符合题意． 故选：B． 2.已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是的点所表示的数有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】∵数轴上的A点到原点的距离是2， ∴点A可以表示2或﹣2． 当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是的点所表示的数有2﹣或2+； 当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣或﹣2+． 故选：A． 3.如图，在数轴上对应的点是（   ） A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∴在数轴上对应的点可能是， 故选：C ． 4.实数、在数轴上的位置如图所示，则化简结果为          ． 【答案】0 【解析】解；由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 5.若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 　     　.（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意可知，点A在数轴上表示的无理数在2和3之间， ∵2＜＜3， ∴点A在数轴上表示的无理数可能是． 6.如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和的对应点分别为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m．    (1)求线段的长． (2)求m的值． (3)若数轴上点D表示的数为x，且满足．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置． 【答案】解：（1）∵表示实数1和的对应点分别为A，B， ∴； （2）解：∵点A到B的距离与点C到原点O的距离相等， ∴， ∵点C在原点左侧， ∴点C所表示的数为：， ； （3） ； 在坐标轴上标出点D的位置如图所示：    7.（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？ （2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点. 【答案】解：（1）∵小正方形的边长为1， ∴小正方形的面积为1， ∴大正方形的面积为5×1=5， ∴大正方形的边长为． （2）如图. 八、实数大小的比较 1.下列各数中最大的数是（　　） A.1 B. C. D.0 【答案】C 【解析】∵＜0＜1＜， ∴最大的数是． 故选：C． 2.下列各数中，最大的数字是（　　） A. B.﹣π C.﹣3 D. 【答案】A 【解析】|﹣|＝，|﹣π|＝π，|﹣3|＝3，|﹣|＝， ∵40＜＜48， ∴2.5＜＜3， ∴＜＜3＜π， ∴﹣＞﹣＞﹣3＞﹣π， ∴各数中，最大的数字是﹣． 故选：A． 3.下列各数中，比大的数是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：，，，，的绝对值分别为1，2，3，4，， ， ． 故选：A． 4.将，，0按从小到大的顺序排列为 　     　（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】∵是正数， ∴； ∵是负数， ∴； ∴. 5.我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：      （填“＞”或“<”）. 【答案】> 【解析】，，∵，∴. 解题通法 实数比较大小的方法 注：作差比较法、作商比较法、特殊值法也适用于代数式比较大小. 6.把下面这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：－1.5，－22，－(－4)，0，－|－3|，9. 【答案】解：－1.5，－22＝－4，－(－4)＝4,0，－|－3|＝－3，9＝3， 则－22＜－|－3|＜－1.5＜0＜9＜－(－4)． 7.比较与的大小． 【答案】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 九、实数的简单运算 1.计算：|2－ |＋|－3|的结果为( ) A.1 B.－1 C.25－5 D.5－25 【答案】A 【解析】原式＝－2＋(3－)＝1. 2.实数在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( ) A.a+b>0 B.a-b<0 C.<0 D.> 【答案】C 【解析】由数轴，得b＜-1，0＜a＜1．A．a+b＜0，故A错误；B．a-b＞0，故B错误；C正确；D．a2＜1＜b2，故D错误；故选C． 3.实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4.计算：        ． 【答案】/ 【解析】解：原式， 故答案为：． 5.计算：          ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 6.计算（结果保留小数点后两位）： （1）；（2）. 【答案】解：（1）≈2.236-2.646=-0.41； （2）≈3.142×1.442≈4.53. 7.计算（结果保留小数点后两位）： （1）；（2）. 【答案】解：（1） ≈3.142-3.162 ≈-0.02； （2） ≈3×1.414-1.260 =4.242-1.260 =2.982 ≈2.98. 十、实数与程序设计问题 1.按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A.0 B. C. D.以上都不对 【答案】C 【解析】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 2.按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（    ） A.9 B.11 C.17 D.19 【答案】A 【解析】解：∵输入，，，即走“否”的路径， ∴， 输出结果为9， 故选：A 3.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 4.小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为      ． 【答案】 【解析】当输入的x值为2时， ∴64的算术平方根为8，是有理数 ∴8的立方根为2，是有理数， ∴2的算术平方根为，是无理数 ∴输出 ∴y的相反数为． 故答案为：． 5.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为        ． 【答案】 【解析】解∶根据题意，得， 故答案为：． 6.如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】解：（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 7.每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为﹣1时，计算结果；将输入值变为（﹣1）+1＝0，计算结果为；再将输入值变为了0+1＝1，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． （1）当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． （2）当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】解：（1）当输入x的值为5时， ＞4， 所以输出y的值是； （2）当起始输入x的值为1时， ＜4， 第二次输入x的值为1+1＝2时， ＜4， 第三次输入x的值为2+1＝3时， ＜4， 第四次输入x的值为3+1＝4时， ＞4， 此时输出y， 所以经过4次程序运行后才能输出y． 十一、实数与新定义问题 1.定义新运算：且，则的值为（    ） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】解：依题意， 故选：B． 2.用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（    ） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】解：由题意可得，， ∴， 故选：B． 3.已知实数a、b，定义“△”运算：，计算的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 4.若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，，所以13是“完美数”，判断：17      （请填写“是”或“不是”）“完美数”． 【答案】是 【解析】解：∵ ∴17是完美数， 故答案为：是． 5.在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为，根据这个规则，方程的解为         ． 【答案】2 【解析】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：2． 6.定义一种新运算：． (1)计算：　　； (2)若，求x的值； (3)化简：，若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】解：（1）∵， ∴； （2）由题意得：， ， ， ； （3）∵， ∴ ， ∵化简后代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴． 7.规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】解：（1） ； （2） ． 十二、实数与规律探究问题 1.数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 2.已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A. B. C. D.11 【答案】A 【解析】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 3.已知=3 ，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为(     ） A.56 B.54 C.52 D.50 【答案】A 【解析】解： ，，， ． 故选：A． 4.小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则      . 【答案】57 【解析】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， 则． 故答案为：57． 5.已知根据其变化规律，解答问题：若，则        ． 【答案】10404 【解析】∵， ∴， ∴； 故答案是：10404． 6.先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】解：（1）由题意可知， ， 故答案为：，； （2）结合①②③，得： ； （3）解：． 7.[观察]请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． [发现]根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【答案】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）根据（2）中的规律知， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$