广东省佛山市南海区2026年中考数学模拟测试题

**基本信息** 以“昭陵六骏”抽选展品、智能空调功率分析等文化与科技情境为载体，融合抽象能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形性质、概率等|结合文化素材（如唐代石刻）考查基础概念| |填空题|5/15|坐标几何、位似变换、折叠问题|通过几何直观考查空间观念| |解答题|8/75|综合实践（三角板平移）、二次函数综合|突出动态几何与函数结合，如等边三角形动点问题，贴合中考推理能力与应用意识考查趋势|

广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟测试题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用绝对值、立方根化简，然后再比较即可． 【详解】解：，，， ，即， 最小的数是． 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误． 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 4.某博物馆计划举办一场关于唐代石刻艺术的特别展览，策展人决定采用随机抽选的方式，从“昭陵六骏”这六件石刻中随机抽取两件作为本次展览的核心展品，则恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用画树状图法求解即可； 【详解】 解：根据题意，记白蹄乌为A，特勤骠为B，什伐赤为C，拳毛騧为D，青骓为E，飒露紫为F，画树状图如下： 共有30种等可能的结果，恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的可能性有2种， 故恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是． 5.如图①，小晞同学配制氯化钠溶液过程如图所示，其部分示意图如图②所示，，，某一时刻，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得，再根据可求得的度数． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴． 6.某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 7.用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，即可求解 【详解】如图，     因为四棱柱共有5个面， 用平面去截三棱柱时最多与5个面都相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，则 故选C 【点睛】本题考查了截一个几何体，从不同角度截取是解题的关键． 8.如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（     ） A．5 B． C． D．20 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线定理求得，再根据菱形的性质证明，即可根据勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：、F分别是、边上的中点， ， 四边形是菱形 ，，，， ， 菱形的周长为． 9.关于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况由m的值确定 【答案】C 【分析】找出方程二次项系数，一次项系数，以及常数项，计算出根的判别式的值，判断即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0， ∵△＝（m﹣6）2﹣4×1×（﹣3m） ＝m2﹣12m+36+12m ＝m2+36＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式表示的意义是解本题的关键． 10.如图①，在等边三角形中，点D是边上一动点（不与点B，C重合），以为边向右作等边，边与相交于点F，设，，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（     ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】设等边三角形的边长为a，先证明，可得，所以，根据二次函数的最大值为列方程求解，得到，即可求得答案． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，则， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，y的最大值为， ， 解得， 等边三角形的面积为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． 当，时，， ∴的立方根是， 故答案为：． 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点B为圆心、长为半径作弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】需先根据点A、B坐标，利用勾股定理求长度，即半径，再根据点A坐标和半径确定点C在y轴负半轴的坐标． 【详解】∵，， ∴， ∵长为半径， ∴， ∴， ∴． 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 14.如图，在中，，，是的角平分线，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据三线合一得到，，根据勾股定理得到，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，是的角平分线，， ∴，， ∴， ∴． 15.如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，勾股定理等内容，解题的关键是画出图形，利用平行线的性质得到，再利用勾股定理求解． 根据题意，画出图形，根据折叠的性质以及平行线的性质得到，利用等面积法求得，从而得到，勾股定理求得，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 17.如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点F，连接，则四边形为所求． （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得到，，，，因此，进而根据勾股定理求出，从而，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 由作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 18.某超市销售套A牌运动装和套品牌的运动装的利润为元，销售套A牌和套品牌的运动装的利润为元． (1)该商店计划一次购进两种品牌的运动装共套，设超市购进A牌运动装套，这套运动装的销售总利润为元，求关于的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若品牌运动装的进货量不超过A牌的倍，该商店购进A两种品牌运动服各多少件，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)关于的函数关系式为 (2)超市购进套A牌运动装和套品牌运动装才能获得最大利润 【分析】（1）设每套A品牌的运动装的销售利润为，每套品牌的运动装的销售利润为元，根据销售套A牌运动装和套品牌的运动装的利润为元，销售套A牌和套品牌的运动装的利润为元，列出方程组解方程组，然后依据题目中的数量关系列出与之间的函数关系式即可； （2）依据品牌运动装的进货量不超过A品牌的倍列不等式可求得的取值范围，然后依据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设每套A品牌的运动装的销售利润为，每套品牌的运动装的销售利润为元， 得， 解得： ， 关于的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得：， ，， 随的增大而减小． 为正整数， 当时，取得最大值， 此时， 超市购进套A牌运动装和套品牌运动装才能获得最大利润． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用、二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 19.某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】(1)， (2)需再加入铅笔14支 (3) 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系求解即可； （2）根据表格数据可知，随着摸取总次数的增加，摸到限定款的频率在附近波动，可估计摸到限定款的概率约为，故设原盲盒中笔的总数为，则，求得，进而可得答案； （3）设限定款钢笔为x，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表得到所有的等可能结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； （3）解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下：                                                        共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 20.李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题. 请观察以下算式： ①； ②； ③； …… (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______； (2)设两个连续奇数为，（其中n为正整数）、写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数． 【答案】(1) (2)，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知算式得规律，即可得出答案； （2）将利用完全平方公式展开，再合并同类项，得到结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察可知，第④个算式为， 故答案为：； （2）解：设两个连续奇数为，（n为正整数） ， 结果是8的倍数． 21.如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，先由圆周角定理得，由得，由得，即可得，可证，进而得即，结合是的半径即可证明； （2）先的半径是2，设，则，，在中利用勾股定理列方程求解可得、，通过“三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形是矩形求出，进而得，设，用含的式子表示、，由得，利用相似比列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点，交延长线于点， ∵是的直径，， ∴半径， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，即． 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． (2)迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 【答案】(1)①正方形；②，平行四边形 (2)可以是菱形， (3)的长为或 【分析】（1）①根据，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据菱形的判定方法即可求证； （3）根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，分类讨论，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：①∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； ②根据平移的性质可得，， 如图所示，连接，，    ∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∵将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）， ∴，，且， ∴在中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形． （2）解：可以是菱形，理由如下： 如图所示，连接，，    ∵，，， ∴，， ∵将三角板沿方向平移， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵含角的直角三角板，即，边长为， ∴， ①当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴点是的中点， ∴； ②当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，，， ∴在中，， ∵为等腰三角形，， ∴； ③当时，为等腰三角形，如图所示，    与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， ∴不存在； 综上所示，当为等腰三角形时， 的长为或． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 23.一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)①；② 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； （3）①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟测试题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4.某博物馆计划举办一场关于唐代石刻艺术的特别展览，策展人决定采用随机抽选的方式，从“昭陵六骏”这六件石刻中随机抽取两件作为本次展览的核心展品，则恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是（     ） A． B． C． D． 5.如图①，小晞同学配制氯化钠溶液过程如图所示，其部分示意图如图②所示，，，某一时刻，则（     ） A． B． C． D． 6.某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 7.用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 8.如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（     ） A．5 B． C． D．20 9.关于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣3m＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的情况由m的值确定 10.如图①，在等边三角形中，点D是边上一动点（不与点B，C重合），以为边向右作等边，边与相交于点F，设，，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（     ） A．6 B． C．9 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是______． 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点B为圆心、长为半径作弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为______． 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 14.如图，在中，，，是的角平分线，则的值为_______． 15.如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 17.如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 18.某超市销售套A牌运动装和套品牌的运动装的利润为元，销售套A牌和套品牌的运动装的利润为元． (1)该商店计划一次购进两种品牌的运动装共套，设超市购进A牌运动装套，这套运动装的销售总利润为元，求关于的函数关系式； (2)在（1）的条件下，若品牌运动装的进货量不超过A牌的倍，该商店购进A两种品牌运动服各多少件，才能使销售总利润最大？ 19.某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 20.李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题. 请观察以下算式： ①； ②； ③； …… (1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______； (2)设两个连续奇数为，（其中n为正整数）、写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数． 21.如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． (2)迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 23.一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $