精品解析：四川成都市双流区立格实验学校2026-2027学年九年级上学期数学第一次质量检测（10.12）

成都市双流区立格实验学校2026—2027学年度上期 九年级第一次质量检测（数学学科） 满分：150分 考试时间：120分钟 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A中是整式方程，只含一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程； 选项B的含根号，不是整式方程，故不是一元二次方程； 选项C的分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程； 选项D中未限定，故不一定是一元二次方程. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，1，3 B. 4，， C. 4，，3 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四边形内角和等于 B. 四个角相等的四边形是菱形 C. 有一组邻边相等的矩形是正方形 D. 平行四边形对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的内角和，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：选项A，∵ 四边形内角和为， ∴ 该命题是真命题，不符合题意； 选项B，∵ 四边形内角和为，四个角相等， ∴ 每个角的度数为， ∴ 四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形， ∴ 该命题是假命题，符合题意； 选项C，∵ 矩形的四个角均为直角，有一组邻边相等， ∴ 该矩形四条边都相等，是正方形， ∴ 该命题是真命题，不符合题意. 选项D，∵ 平行四边形对角线互相平分， ∴ 该命题是真命题，不符合题意． 4. 如图，在菱形中，，交于点，，于点，且，则菱形的面积为（ ）． A. 24 B. 48 C. 30 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】菱形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边一半，先求出长度，再用勾股定理算出，得到，最后用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴是直角三角形． 又∵是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴． 已知， ∴， 则． 菱形对角线互相垂直， 即，为直角三角形． 在中，，，由勾股定理： ， ， 菱形面积等于对角线乘积的一半： ． 5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，结合相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：与是对顶角， ． 对于A，由得， 此时已知，但这组角不是，与，的夹角， 无法判定和相似，故选项A符合题意； 对于B，，且， 可判定，故选项B不符合题意； 对于C，， ， 又， 可判定，故选项C不符合题意； 对于D，，且, 可判定，故选项D不符合题意． 6. 如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 【详解】 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 7. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 10. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比那么我们称这个矩形为黄金矩形，若一个黄金矩形一条较长的边为8，则这个矩形较短的一条边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比等于黄金比（即），已知较长边（长）为8，通过比例关系可求出较短边（宽）． 【详解】解：设较短边为x， 由题意得 解得． 11. 关于x的方程的两根为2和3，则一次函数不经过第_________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图象与性质求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为2和3， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 12. 如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到，设，用含的代数式表示，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得，（舍去）， ． 13. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点.若，，则的面积为______. 【答案】. 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，要求△的面积，需要知道和的边长，先证，再证即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ，， 同理可得， 又， ， ，即， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程 （1） （2）（配方法） （3）（公式法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴； 【小问3详解】 解： ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为、、（正方形网格图中每个小正方形边长为1个单位长度） （1）以原点为位似中心，在第四象限画出，使得与位似且位似比； （2）面积等于______． （3）若内有一点，则位似后的对应点坐标是______． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点、连线即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）把点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵、、， ∴、、， 【小问2详解】 解：面积； 【小问3详解】 解：∵点， ∴点坐标是． 故答案为：． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【16题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【17题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 17. 如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求的长度和四边形面积． 【答案】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ． 又， ． ． ， 四边形是菱形； （2），四边形面积为 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可； （2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为x，则，，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点O，如图： 四边形是菱形， ， 设菱形的边长为x，则，， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， ∴菱形的边长为， 在菱形中，，， ， ， ． 18. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． 初步思考： （1）如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； 深入探究： （2）如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长： （3）保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，同理，再由，可得到，从而得到，即可解答； （2）延长交于点H，连接，证明四边形为矩形，可得，，再结合点E是的中点，可得垂直平分，可得到为等边三角形，从而得到，，再证明为等边三角形，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （3）连接交于点P，由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时；当点F在的延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：连接交于点P， 由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：， ∴， 如图，当点F在边上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点F在的延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，用表示，将所得式子代入原式即可，熟练利用“等式两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍旧成立”是解题的关键． 【详解】解：由，可得， 把代入原式，可得， 故答案为：． 20. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 21. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，利用平行四边形性质和中位线定理求出和的长，再证求解 【详解】解：过点作交于点 四边形是平行四边形 ， ，，， ， ， ∴， ， ， ，， 点在的延长线上，， ， ，即， ， ， ， ． 22. 如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知易得，可得，即可得出，证明，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 23. 如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】 首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而得出；结合已知条件证明，利用相似比和角度关系推导出，进而得到当为等腰三角形时，为等腰三角形，进行讨论求解即可. 【详解】解：， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， ，， ∴， ， ∴当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当点在边上时： 当时，则； 当时，过点作于点， 在中， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得； ②当点在延长线上，， 故只有一种情况， ∴， 综上所述，的长为或或. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 （2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线：过点A交y轴于点C． （1）求直线的表达式； （2）若点P是y轴上一动点，且与相似（相似比不为1），求点P的坐标； （3）直线与x轴交于点，分别与直线、交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后根据得到对应边成比例，即可求解； （3）先求得、，再分两种情况分别利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ， 解得， 直线的表达式：． 【小问2详解】 解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ∵，相似比不为1 ∴， ，即， ，即， ∴或． 综上，P的坐标为或． 【小问3详解】 解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴ ∴，即， 解得； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ∴ ， ， 解得． 综上所述：或． 26. 在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、并延长，分别交、的延长线于点G、H． （1）如图1，若四边形是菱形，求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，，设，求y与x的函数关系式： （3）如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明可得，进而证明结论； （2）通过证明可得，可得，通过证明可得，即，即可求y与x的函数关系式； （3）取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接，可证四边形是正方形，由（2）可知，由相似三角形的性质可得，，可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即，即， ∴． 【小问3详解】 解：如图：取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴由（2）可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市双流区立格实验学校2026—2027学年度上期 九年级第一次质量检测（数学学科） 满分：150分 考试时间：120分钟 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，1，3 B. 4，， C. 4，，3 D. 1，， 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 四边形内角和等于 B. 四个角相等的四边形是菱形 C. 有一组邻边相等的矩形是正方形 D. 平行四边形对角线互相平分 4. 如图，在菱形中，，交于点，，于点，且，则菱形的面积为（ ）． A. 24 B. 48 C. 30 D. 15 5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的解是__________． 10. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比那么我们称这个矩形为黄金矩形，若一个黄金矩形一条较长的边为8，则这个矩形较短的一条边长为_________． 11. 关于x的方程的两根为2和3，则一次函数不经过第_________象限． 12. 如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 13. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点.若，，则的面积为______. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程 （1） （2）（配方法） （3）（公式法） 15. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为、、（正方形网格图中每个小正方形边长为1个单位长度） （1）以原点为位似中心，在第四象限画出，使得与位似且位似比； （2）面积等于______． （3）若内有一点，则位似后的对应点坐标是______． 16. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 17. 如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求的长度和四边形面积． 18. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． 初步思考： （1）如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； 深入探究： （2）如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长： （3）保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若请直接写出所有满足条件的的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如果，那么________. 20. 若，则k＝_____． 21. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为_______． 22. 如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 23. 如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线：过点A交y轴于点C． （1）求直线的表达式； （2）若点P是y轴上一动点，且与相似（相似比不为1），求点P的坐标； （3）直线与x轴交于点，分别与直线、交于点D，E，当时，求k的值． 26. 在四边形中，点E、F分别是边、上的点，连接、并延长，分别交、的延长线于点G、H． （1）如图1，若四边形是菱形，求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，，设，求y与x的函数关系式： （3）如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $