2026年广东省佛山市南海区中考数学模拟题

**基本信息** 立足中考要求，以生活情境与数学探究为载体，全面考查运算能力、几何直观与创新意识，如“我为家乡代言”选特产考概率、矩形折叠实践题培养空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、运算、图形性质、概率等|第4题结合地方特产情境，考查古典概型，体现文化传承| |填空题|5/15|立方根、坐标、位似、解直角三角形等|12题坐标系中三角板定位，融合几何直观与坐标运算| |解答题|8/75|计算、几何证明、统计、新定义、函数综合等|22题矩形折叠实践，通过操作探究培养空间观念与推理能力；23题“子函数与母函数”新定义，考查模型意识与创新思维，契合中考命题趋势|

广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在给定的四个实数中，最小的是（    ） A． B．0.03 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较规则，求解即可，解题的关键是掌握实数大小比较规则，“负数小于0，0小于正数”． 【详解】解：根据题意可得，，，， 则最小的数为， 故选：A 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，， A运算错误，不符合题意； B选项，， B运算错误，不符合题意； C选项，， C运算错误，不符合题意； D选项，，运算正确，符合题意. 3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断. 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形； 中心对称图形是指绕某一点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合的图形． 【详解】解：A选项：该图形绕某一点旋转能与自身重合，但找不到对称轴， ∴ 是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项：∵ 该图形沿过中心的直线折叠能重合，且绕某一点旋转能与自身重合， ∴ 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项：∵ 该图形沿过顶点的直线折叠能重合，但绕某一点旋转不能与自身重合， ∴ 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项：∵ 该图形绕某一点旋转能与自身重合，但沿任意直线折叠不能重合， ∴ 是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 4.河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 5.如图所示，已知，，则的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判定，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6.如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围． 【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是． 7.用一个平面去截三棱柱，所得截面的边数最少是，最多是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，求代数式的值，掌握三棱柱的截面形状是解题的关键． 根据平面去截三棱柱时最多与个面相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，然后得出，，再代入求解即可． 【详解】解：∵用平面去截三棱柱时最多与个面相交得五边形，最少与三个面相交得三角形， ∴，， ∴， 故选：． 8.如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长度，再在中利用勾股定理求出，最后根据对角线互相平分得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9.已知关于的方程（为常数），对根的情况判断正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与值有关 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值与0比较大小即可得到结论. 【详解】解：对于一元二次方程， ∵ ，，， ∴ 根的判别式， 又∵ 对任意常数，都有， ∴ ， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 10.如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.41．是的立方根，的立方根是，则______． 【答案】512 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义，分别求出a和b的值，再计算． 【详解】解：是的立方根， ， 解得， 的立方根是， ， 即， 解得， 则， 故答案为512． 12.如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解． 【详解】解：由题意得，， 过点作轴于点，则， 由题意得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 13.如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 14.人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 【答案】 【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案． 【详解】解：，， ， ． 15.如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 【答案】 【详解】 解：原式 ． 17.如图，四边形是矩形． (1)尺规作图：在边上确定一点，使得平分；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（请直接写出的长度） 【答案】(1)解：如图，点E就是所求作的点； (2) 【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧，与边相交于点E，连接，，根据矩形的性质可得，所以，因为，所以，所以，即平分； （2）根据矩形、直角三角形的性质，并结合等腰三角形的判定，可得，根据勾股定理进一步求得，所以，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：．理由如下： 四边形是矩形 ，， ， ， ， ， ， ， ． 18.某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 19.万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的想法不合理． 理由：概率描述的是大量重复试验下随机事件发生的规律，每次抽奖都是相互独立的随机事件，少量试验的结果具有随机性，三次都抽到“谢谢参与”是可能发生的，不能由此说明中奖概率统计有问题． 【分析】（1）根据大量重复试验中频率稳定在概率附近，估计抽中二等奖的概率． （2）利用估计出的二等奖概率计算二等奖人数，再结合一等奖数量计算获得“谢谢参与”的人数． （3）根据概率的意义判断小明的想法，概率反映大量重复试验的规律，少量试验结果具有随机性． 【详解】（1）解：由表格数据可得，随着抽奖次数不断增加，中二等奖的频率稳定在附近，因此抽中二等奖的概率约为． （2）解：已知总参与人数为，一等奖共个，抽中二等奖的概率约为．估计中二等奖的人数为． 因此估计获得“谢谢参与”的人数为． （3）略 20.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①8=32-12；②16=52-32；③24=72-52，因此8，16，24 都是“友好数”． (1)48是“友好数”吗?为什么? (2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k-1（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗?为什么? 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据定义将48写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定48是“友好数”； （2）根据平方差公式计算得到多项式化简结果为8k，由此判断这个“友好数”是8的倍数． 【详解】（1）∵， ∴48是“友好数”； （2）这个“友好数”是8的倍数， =8k， ∵k为正整数， ∴为8的倍数， ∴这个“友好数”是8的倍数． 【点睛】此题靠出来平方差公式的应用，正确理解题意并掌握平方差的计算公式是解题的关键． 21.如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 23.我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． (1)已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； (2)若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； (3)如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据“子函数”的定义可得，再代入，到，即可求解； （2）根据“母函数”的定义可得二次函数为，由“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，可得恒成立，再利用二次函数图象的性质列出关于的不等式，即可求解； （3）过点作轴交直线于点，易得，根据二次函数与一元二次方程的关系可得，，结合，利用三角形面积公式得到，整理得到，根据二次函数经过点，进而得到，得出；取的中点，连接、，根据斜边中线定理得到，根据两点之间线段最短的性质得到，得到的长，进而得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的“子函数”为， ∴， 由题意得，经过点，， ∴， 解得， ∴综上，，，； （2）解：∵一次函数的“母函数”为， ∴，， ∴， ∴“母函数”为， ∵“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方， ∴恒成立， 即恒成立， ∴， 解得； ∴的取值范围为； （3）解：如图，过点作轴交直线于点， 对于，令，则， ∴，， ∴， ∵“母函数”为二次函数， ∴“子函数”为一次函数， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴，即； 如图，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∵线段的最大值为， ∴， ∴， ∴， 代入到，得 解得， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、斜边中线定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．本题属于函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在给定的四个实数中，最小的是（    ） A． B．0.03 C．0 D． 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4.河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 5.如图所示，已知，，则的度数为(     ) A． B． C． D． 6.如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.用一个平面去截三棱柱，所得截面的边数最少是，最多是，则的值为（   ） A． B． C． D． 8.如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 9.已知关于的方程（为常数），对根的情况判断正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与值有关 10.如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.41．是的立方根，的立方根是，则______． 12.如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 13.如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 14.人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 15.如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 17.如图，四边形是矩形． (1)尺规作图：在边上确定一点，使得平分；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（请直接写出的长度） 18.某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 19.万达广场为庆祝开业十周年，推出“扫码抽奖”活动．顾客扫码后会随机出现“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种结果，商场对前次抽奖结果进行了统计，数据如下表： 抽奖次数 中二等奖的次数 中二等奖的频率 (1)若顾客参与一次抽奖，抽中二等奖的概率约为________；（精确到0.01） (2)已知本次活动设置一等奖个，若共有人参与抽奖，估计获得“谢谢参与”的人数为________； (3)活动第二天，小明发现自己的朋友抽了次都是“谢谢参与”，他认为抽奖中奖概率统计有问题．结合数据，请你判断小明的想法是否合理，并说明理由． 20.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①8=32-12；②16=52-32；③24=72-52，因此8，16，24 都是“友好数”． (1)48是“友好数”吗?为什么? (2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数2k+1和2k-1（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗?为什么? 21.如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 23.我们规定：一次函数叫做二次函数的“子函数”，反过来二次函数叫做一次函数的“母函数”． (1)已知二次函数的“子函数”经过点，，求，，的值； (2)若一次函数的“母函数”为，且“母函数”的图象始终在一次函数的图象的上方，求的取值范围； (3)如图，“母函数”二次函数与轴负半轴交于，两点，与轴正半轴交于点，顶点为，“母函数”与其“子函数”交于，两点，，点为平面直角坐标系中的一个动点，连接，，若线段的最大值为，求二次函数的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $