2026年广东省广州市中考数学考前冲刺模拟卷

**基本信息** 2026届广州中考数学模拟卷以现实情境为载体，通过港珠澳大桥车流量、滑梯改造等问题考查数学眼光、思维与语言，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数与式、图形性质等|第2题结合化学仪器考轴对称，体现跨学科| |填空题|6/18|统计、几何计算等|第14题融入刘徽割圆术，渗透文化传承| |解答题|9/72|函数应用、几何证明等|23题收纳盒制作考方程与空间几何（模型意识），24题“等和点”新定义考查推理能力，25题折叠问题发展空间观念|

2026届广东省广州市中考数学考前冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 6．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 7．如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 9．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，则AE的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．据统计，2026年2月1日至20日，港珠澳大桥日均车流量约17800次，数据17800用科学记数法表示为_______． 12．如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 13．因式分解：__________． 14．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 15．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 16．如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接、，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最大值为________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分）解不等式组． 18．（本题满分4分）如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 19．（本题满分6分）已知： (1)化简A； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 20．（本题满分6分）如图，在中，于点，为的中点． (1)尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是矩形． 21．（本题满分8分）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22．（本题满分10分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 23．（本题满分10分）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点” 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求的值； (2)直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点在图象上，点在图象上． ①若，点与点互为“等和点”，且点的横坐标比点的横坐标大，求点的坐标； ②若在图象上总存在点，使得、两点互为“等和点”，求的取值范围． 25．（本题满分12分）如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点 落在上的点处，折痕为． (1)用直尺和圆规在图1中的边上作出点 （不写作法，保留作图痕迹）；此时 ________， (2)如图2，若点是射线上的一个动点．将沿 翻折，得 ，延长至Q，使 ，连接 ． ①当 是直角三角形时，的长为多少？ ②设 外接圆的圆心为 ，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省广州市中考数学考前冲刺模拟卷 （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ∴ 对四个数从小到大排序可得： ， 即 ， 因此最大的数是． 2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、二次根式的加减运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解： A：，A错误； B：，B错误； C：与不是同类二次根式，不能合并，，C错误； D：，D正确． 故选：D． 4．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 5．如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中给出的图形，可以判定是否中心对称图形，然后根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率． 【详解】解：设A是等腰三角形，B是平行四边形，C是圆，由题意可得B、C卡片正面图案都是中心对称图形，画树状图得， ∴一共有9种情况，摸出两张卡片都是中心对称图形有4种； ∴抽到的卡片正面图形都是中心对称图形的概率是． 6．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大， 当时，，即一次函数的图象与y轴交于点， 当时，，∴当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 7．如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，结合矩形和菱形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：∵将绕着点旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， A、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故A选项不符合题意； B、若添加， ∵，，， ∴， 即， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故B选项不符合题意； C、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形，故C选项符合题意； D、若添加， 在平行四边形中，， ∴， 故， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故D选项不符合题意． 8．如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 9．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC＝9，则AE的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠EAB=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC． 【详解】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠ABE ∵ED垂直平分AB于D， ∴EA=EB ∴∠A=∠ABE ∵∠CBE+∠A+∠ABE =90° ∠CBE=30° ∴BE=2EC，即AE=2EC 而AC=9 AE=6 故选D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 10．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．据统计，2026年2月1日至20日，港珠澳大桥日均车流量约17800次，数据17800用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 12．如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据垂直平分线的性质得到，则，再利用三角形内角和计算出，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，的垂直平分线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 15．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 16．如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接、，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】过点F作，交的延长线于点N，设，则，设的面积为y，根据题意，得，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：过点F作，交的延长线于点N， ∵正方形的边长为4， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设的面积为y， 根据题意，得， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且为， 故面积的最大值为2． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分）解不等式组． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得． 解不等式②得． ∴原不等式组的解集为． 18．（本题满分4分）如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质即可得到结论 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 19．（本题满分6分）已知： (1)化简A； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可； （2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴； ②是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 20．（本题满分6分）如图，在中，于点，为的中点． (1)尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：点与点关于点对称， ∴点，，三点共线， 点为的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ， ∴ ∴是矩形． 【分析】（1）作射线，截取，连接，即可求解； （2）根据作图可得，根据已知可得，则四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 21．（本题满分8分）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60， 将频数分布直方图补充完整如下： (2)1200人 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数； （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 22．（本题满分10分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 23．（本题满分10分）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由 根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）略 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点” 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求的值； (2)直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点在图象上，点在图象上． ①若，点与点互为“等和点”，且点的横坐标比点的横坐标大，求点的坐标； ②若在图象上总存在点，使得、两点互为“等和点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：① ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得，解得（舍去）． 当时， ； ②设，设， 当时，， 当时，， 随a的增大而增大， ∴当时，， 设，设． 关于n的二次函数图象的对称轴为直线， ，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大， 当时，，当时， ． ∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”． ， 解得． 的范围为． 25．（本题满分12分）如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点 落在上的点处，折痕为． (1)用直尺和圆规在图1中的边上作出点 （不写作法，保留作图痕迹）；此时 ________， (2)如图2，若点是射线上的一个动点．将沿 翻折，得 ，延长至Q，使 ，连接 ． ①当 是直角三角形时，的长为多少？ ②设 外接圆的圆心为 ，求的最小值． 【答案】(1) (2)①的长为或或或；② 的最小值为 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点 ，点 即为所求；根据折叠的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一定理即可求出 的度数； （2）①当 是直角三角形时，分四种情况求出的长度； ②四边形 是平行四边形，可得，证明点 、 、 、共圆，设圆心为，连接，则，证明，可得，可得点 在垂直于的直线上运动；进一步求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，连接，作的垂直平分线，交于点 ，点 即为所求； 由折叠可知 ， 点、分别是、的中点， ，， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）①解： 是直角三角形， 当 时，如下图所示， ， ， 又 ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 是等边三角形，， ， 由折叠可知 ， ， ， ， ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 由折叠可知 ， ，， ， ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 由折叠可知， ， ， 且 ， 四边形 是平行四边形， 且 ， ， ， ， 在 和 中，， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或或或； ②解：如图所示， 连接 ， 且， 四边形 是平行四边形， ∴， 由折叠可知 ， ， 点 、 、 、共圆， 设圆心为，连接，则， ， 是等边三角形， ∴，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 点 在垂直于的直线上运动； 当重合时，， ∴的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $