精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 5. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 8. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数存在两个极值点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式中的系数为，则______． 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 18. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19. 在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列. （1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由． （2）已知正项数列存在等比型递推结构，且． （i）求的通项公式； （ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 2. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， 反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点； 关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点， 反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 3. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【详解】在三棱柱中，. 故选：B 4. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 5. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，，… 故数列周期为4，则. 故选：B 6. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小， 所以函数为单调递减函数，所以B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 所以， 则， 所以的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由选项B知：函数为单调递减函数， 所以的图象不关于对称，所以D错误. 8. ，均有成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】的展开式中含的项为， 所以，故A错误； 令，可得，令可得， 两式相加可得，故B正确； 令可得，所以，故C错误； 等式两边对求导可得：， 令，得，故D正确. 11. 已知函数存在两个极值点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为， ， 由函数存在两个极值点， 得有两个不相等的正根， 所以，解得， 即的取值范围为，A正确，B错误； 所以，，C正确，D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若展开式中的系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的通项，令，则，求解即可. 【详解】的通项为：， 令，则，解得：. 故答案为：. 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知①， 当时，， 当时，②， ①②得， ，又， ∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，. 【小问2详解】 由题意得， 是首项为，公比为的等比数列， . 16. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为长期持续饮酒与患肝病有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算的值，由此作出判断. （2）利用超几何分布的概率计算公式求得这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 【小问1详解】 零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关. 根据列联表中的数据，得， ∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问2详解】 由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人， 再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为， 则. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为已知函数在处的切线为，即切点为， 所以，解之得，， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得， 当，，在为增函数， 且时，，时，， 当，，在为减函数， 且时，，当时，， 若方程（m为常数）有两个根，则. 故实数m的范围为. 18. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 19. 在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列. （1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由． （2）已知正项数列存在等比型递推结构，且． （i）求的通项公式； （ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立. 【答案】（1）数列存在等比型递推结构，理由见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等比型递推的定义，即可求解； （2）（i）设，，根据题意，求得，得到，结合累积法，即可求得数列的通项公式； （ii）由（i）得到，利用裂项法求和，求得转化为证明，设，利用导数求得在上递增，得到，得到在上恒成立，令，即可得证. 【小问1详解】 解：由数列，设， 根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构． 【小问2详解】 （i）因为数列存在等比型递推结构，可设， 设，则，所以为等比数列， 因为，则， 所以，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以当时，， 即，因为，所以， 又，依然成立， 所以， （ii）证明：由（i）得， 所以， 所以 则， 所以要证，只需证， 设函数，则， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 令，得， 即，所以， 即， 所以对任意恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $