精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

高二数学3月考 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为甲不是最后一名和不是第一名也不是最后一名，两种情况讨论，结合排列数公式，即可求解. 【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断.此题判断充分性时，需结合均值不等式；判断必要性时，用特殊值即可. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 下列求导数计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可． 【详解】解：A．，正确，不符合题意； B．，错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意． 故选：B． 5. 由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据三位数的各数位上的数之和能被3整除，这个三位数能被3整除，可以把0、1、2、3、4五个数字进行分类：（1）由0，1，2三个数组成三位数；（2）由0，2，4三个数组成三位数；（3）由1，2，3三个数组成三位数；（4）由2，3，4三个数字组成三位数，分别求出每类情况下能组成的三位数的个数，再用加法计算原理求解出本题. 【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： （1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数； （4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数. 【点睛】本题考查了排列与组合的应用、加法计数原理、乘法计数原理，掌握能被3整除的三位数的特征是解题的关键，考查了分类讨论思想. 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，） A. 5.3 B. 4.1 C. 7.8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先设每年应该存入万元，写出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比数列求和公式，即可求解. 【详解】设每年应该存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， ……， 2027年存入的钱到2027年底本利和为 则， 即，解得：. 故选：A 7. 已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得函数在上是减函数，由，可得函数为奇函数，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以函数在上是减函数， 又因为，所以， 所以函数为奇函数， 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故选：C. 8. 已知数列满足，则的值是（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给递推关系可得，即可得解. 【详解】由， 故， ， 则， 故， 故. 故选：B. 二、多选题（6分/题，共18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的运算求解判断. 【详解】A. 因为，所以，故正确； B.因为，所以，故错误； C. 因为，所以，故正确； D. 因为，所以，故正确. 故选：ACD 10. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（    ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由递增数列得不等式，化简得，利用即可求得t的范围. 【详解】依题意，，即，整理得， 因，则，． 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，即可求出；再通过，可求出数列的通项公式． 【详解】由题意易得， 当时，，而，所以． 故答案为：2；． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，注意公式的合理应用，注意验证不能遗漏，是基础题. 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明. （2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦． 【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直. 以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴， 如图，建立空间直角坐标系. 则，，， 可得，. 所以， 所以 （2）由（1）得到，， 因此可得，. 设平面的一个法向量为，则由 得 令，解得. 同理，可求平面PDC的一个法向量. 所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足： . 即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为. 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的单调区间． 【答案】（1） （2）在，上为减函数． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求得斜率用点斜式写出直线方程即可. （2）带入，求导，根据性质即可求得单调性. 【小问1详解】 当时，， ，，， 所以曲线在点处切线方程为． 【小问2详解】 当时，的定义域是， 所以． 令，所以． 当时，；当时，． 所以在上为增函数，在上为减函数，在处取得最大值． 又，所以恒成立． 故在，上为减函数． 18. 已知函数，，其中为的导函数. （1）讨论单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性； （2）根据题意整理可得，结合的单调性可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果. 小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 则，可得， ①当时，恒成立，可知在上单调递减； ②当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由可得， 整理得，即， 可得， 因为在定义域内单调递增，可得， 即，可得， 令，则. 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，所以a的取值范围为. 19. 已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题 （1）求的标准方程以及离心率 （2）作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点． 【答案】（1），离心率为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）易知，，求出b，结合公式计算即可求解； （2）易知直线的斜率存在，易证当直线的斜率为0时不符合题意；当直线的斜率不为0时，设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出.根据直线的点斜式方程表示直线RC、RD，求出，代入，化简计算即可证明. 【小问1详解】 由题意知，得. 当A为椭圆E的上下顶点时，的面积取到最大值， 即，解得，所以， 所以椭圆E的标准方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意知，设，得， 则直线斜率存在，当直线的斜率为0时，， 直线方程为，直线方程为， 令，得， 所以， 则， 解得，此时的方程为，不符合题意. 当直线的斜率不为0时，设， ，消去x，得， 则， 得， . 直线方程为，直线方程为， 令，得， 所以， 则 ， 解得，所以，即， 所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月考 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A 450 B. 480 C. 504 D. 618 3. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列求导数计算错误是（ ） A B. C. D. 5. 由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个. A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，） A. 5.3 B. 4.1 C. 7.8 D. 6 7. 已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则的值是（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 二、多选题（6分/题，共18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（    ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 11. 已知函数部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________． 13. 已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________． 14. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处切线方程； （2）若，求的单调区间． 18. 已知函数，，其中为的导函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围. 19. 已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题 （1）求的标准方程以及离心率 （2）作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $