精品解析：吉林长春市第二中学2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试卷

2025-2026学年度高二年级下学期第二学程考试 数学科试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 2. 已知函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的定义域为， ，令，得， 故的单调增区间为. 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求解即可. 【详解】化简得到， 展开式通项为， 令，得到，代入得到， 故展开式中含项的系数为. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 5. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 6. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于[80，88]的人数约为. 故选：B 7. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得， 即，令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以. 故选：A 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数后对函数求导，通过分析导数的符号确定函数的单调性，找到函数的最大值，即可求解的范围. 【详解】将原不等式移项整理得：， 构造函数，对求导得：，令，得唯一临界点， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有， 因为任意，都有，，而在上单调递增， 因此等价于： 变形得对任意恒成立，只需， 令，求导得，令得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 因此的最大值为，故. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用古典概率公式、条件概率公式及概率的基本性质求解判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则与不相互独立，D错误. 11. 已知，为函数的图象上不同的两点，且直线过原点，若在，处的两条切线相交于点，则（ ） A. 直线斜率的取值范围为 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，条件可转化为方程有两个不同的根，，利用导数研究函数的图象，由此确定的范围，即可判断，对于B，根据方程思想条件可转化为，是方程的两根，结合根与系数的关系即可判断，对于C，由选项AB可得，两边同时取对数即可判断，对于D，由选项B可得，结合即可判断. 【详解】对于A，设直线的方程为， 因为直线与曲线有两个不同的交点，， 则方程，即有两个不同的根，， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以的极大值为，又当时，，且时，，且， 所以的图象与的图象有两个不同交点时，，故A正确； 对于B，由，得，则曲线在点处的切线斜率， 所以，结合，整理得． 同理，， 所以，是方程的两根， 则，．所以，故B正确； 对于C，由A项知，，即，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由B项知，，所以， 即，故D错误． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 【答案】11.6 【解析】 【详解】由题意，经验回归方程经过点， 则得，解得，所以． 当时，， 则． 13. 已知展开式的二项式系数和为，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由展开式的二项式系数和为， 得，解得， 所以， 令，则，即， 令，则， 所以． 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【答案】或0 【解析】 【详解】设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 当两条切线为同一直线时， 由可得，代入上式得，化简得， 解得或，由，可知或0. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 16. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为经常使用AI技术与年龄有关联； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望； 【解析】 【分析】（1）利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取超过40岁、不超过40岁人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 零假设为：是否经常使用AI技术与年龄无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常使用AI技术与年龄有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.001． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 超过40岁抽取人数为，不超过40岁抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】（1）当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. （2）5 【解析】 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【小问1详解】 依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. 【小问2详解】 当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 18. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据已知有，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望； （3）根据已知有，当时，从而得到为等比数列，即可得. 【小问1详解】 在一次摸球后有种等可能的结果， 其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果， 故“两球编号之和是3的倍数”的概率为. 【小问2详解】 由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 由，当时，， 整理可得，又， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 19. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知． （1）设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间； （2）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，列式求出值，再利用导数求出函数的单调区间. （2）利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【小问1详解】 由为“的可移倒数点”，得， 即，整理，即，解得， 由的定义域为R，求导得， 当时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增， 所以的单调递增区间为，递减区间为． 【小问2详解】 依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级下学期第二学程考试 数学科试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 6. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ） 参考数据：，，． A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545 7. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 已知，为函数的图象上不同的两点，且直线过原点，若在，处的两条切线相交于点，则（ ） A. 直线斜率的取值范围为 B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 13. 已知展开式的二项式系数和为，若，则______. 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表． 年级 使用技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过40周岁 20 30 50 不超过40周岁 40 10 50 合计 60 40 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？ （2）现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 18. 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. （1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； （2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； （3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 19. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知． （1）设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间； （2）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $