广东省广州市2025-2026学年高二下学期期末考前冲刺模拟卷

**基本信息** 聚焦数学核心素养，融合南繁基地实践、杨辉三角文化传承等真实情境，梯度覆盖概率统计、数列、导数等高二重点知识，适配期末冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|离散型随机变量方差、等差数列、独立性检验、正态分布|结合工厂产线质量分析等现实问题，考查数据观念与推理能力| |填空题|3题/15分|二项式定理、等比数列求和、最优策略概率|以西红柿采摘策略情境，体现数学建模与应用意识| |解答题|5题/77分|条件概率分布列、数列不等式证明、函数单调性、回归分析、泰勒公式|药用昆虫产卵数回归分析综合考查数据处理，泰勒公式探究题发展创新思维|

广东省广州市2025-2026学年下学期高二数学期末考前冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设离散型随机变量X的方差为，则随机变量的方差为（    ） A．1.1 B． C． D． 2．已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．60 5．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 6．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（　　） 优质品 非优质品 合计 新产线 75 25 100 旧产线 60 40 100 合计 135 65 200 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异 D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动8次，则下列说法正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于6的位置的概率为 D．质点位于6的位置的概率为 8．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（    ） 参考数据：若，则，0.9973． A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 10．已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 11．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的个位数字是_____． 13．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 14．我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回, (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽3次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望 16．（15分）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 17．（15分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 18．（17分）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 19．（17分）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高二数学期末考前冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设离散型随机变量X的方差为，则随机变量的方差为（    ） A．1.1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的性质来求解随机变量的方. 【详解】由题得，所以. 故选:C. 2．已知是公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】由等差数列通项公式代入题设即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题得. 故选：C 3．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项分析判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 4．的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．60 【答案】C 【分析】结合通项公式即可求解. 【详解】的通项公式， 取，可得，又中不含平方项， 所以的展开式中的系数为, 故选：C 5．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】C 【分析】分两类方法，3人中有甲的和3人中没有甲的.有甲的可先安排甲从事工作，有两种可能性，后安排剩下两人从事工作有种可能性；无甲的有种可能性.即可得答案. 【详解】3人中无甲，则从4人中选择3人从事3种工作，有个选派方案； 3人中有甲，安排甲从事剩下两项工作有2种可能性，从剩下4人中安排两人从事剩下两项工作，有种可能性，故有甲有个选派方案. 故不同的选派方案有48个. 故选：C 6．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（　　） 优质品 非优质品 合计 新产线 75 25 100 旧产线 60 40 100 合计 135 65 200 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异 D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【详解】零假设新、旧两条产线的产品质量没有差异， 由题意可得， 则有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异． 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动8次，则下列说法正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于6的位置的概率为 D．质点位于6的位置的概率为 【答案】D 【分析】通过质点回到原点可知质点向右移动次，向左移动次，根据二项分布的概率公式，可判断AB；通过质点位于的位置可知质点向右移动次，向左移动次，根据二项分布的概率公式，可判断CD. 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每次等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动次，且每次移动是相互独立的，则. 质点回到原点，则， 所以质点回到原点的概率是，AB错； 当质点位于的位置时，则， ， 所以质点位于的位置的概率是，C错，D对. 8．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则.利用导数分析其单调性，将不等式转化为，再根据的单调性，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】令函数，则. ，所以是减函数. 因为 ， 所以. 因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（    ） 参考数据：若，则，0.9973． A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 【答案】AC 【详解】由题意知，， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09. 所以A正确，B错误. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为， 所以C正确. 因为， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误. 10．已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 【答案】ABD 【分析】根据函数的导数求出函数的极小值即可判断AB，方程可化为，构造函数，利用导数分析函数的单调性、极小值，即变化趋势可判断C，设，利用导数判断函数单调性及可判断D. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，． 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以，故AB正确． 方程即,令, 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， ,，所以方程有两个实根．故C错误． 设，则． 令，则，且， 所以当时，，从而，故在上单调递增，D正确． 11．如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BC 【分析】对于A选项，找到每行与每行的数之间的关系，对于B选项，运用杨辉三角的性质求解；对于C选项计算出第48行的所有数之和除以7即可；对于D选项，找到此数列的前n项和的式子，再代入n为135即可. 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B，由题意可得，B正确， 对于C，第48行的所有数字之和为，由于能被7整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D，第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故第行到第行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136项， 且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，则D答案错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的个位数字是_____． 【答案】 【分析】利用阶乘的公式计算即可得解. 【详解】，，，，， 从开始一直到的个位数字都是0． 要求的个位数字，则只要将前面五个数加起来， 即． 即的个位数字就是． 13．已知为等比数列的前 n项和， 若，则 ______. 【答案】21 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得 ， ， 因为数列为等比数列， 所以有， 所以有，即. 又因为 所以，且 所以 14．我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取） 【答案】 【分析】利用古典概型概率与全概率公式分析计算即可. 【详解】记事件表示最大的西红柿被摘到，事件表示最大的西红柿排在第个，则， 由全概率公式知：， 由题意知：当时，最大的西红柿在前个中，不会被摘到，此时， 当时，最大的西红柿被摘到，当且仅当前个西红柿中的最大一个在前个之中时， 此时，因此, 当，时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回, (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽3次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）利用条件概率的公式求解即可； （2）先确定随机变量X的取值，再求分布列，利用期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件“第一次抽到几何题”，事件“第二次抽到代数题”， 则，，所以, 即在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率为. （2）由题意的取值为0,1,2,3， ，， ，， 分布列为 0 1 2 3 期望. 16．（15分）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 17．（15分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 18．（17分）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为：. （2）（i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当时,（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 19．（17分）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，的最小值为 【分析】（1）利用泰勒多项式计算即可求得在处的3阶泰勒多项式. （2）当，结合（1）可知成立，当时，可得，可得结论成立； （3）当时，，当时，分离变量得，令，通过求导研究其单调性，从而求得的最大值即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 则. （2）当时，； 当时，由泰勒定理可知存在，使得. 因为，且，所以，则. 综上，当时，. （3）当时，不等式，即不等式，. 当时，不等式等价于不等式. 设函数， 则. 设函数， 则，，，. 显然在上单调递增，且， 则在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，即的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $