精品解析：广东省广州市越秀区2024-2025学年高二下学期期末学业水平调研测试数学试题

2024学年第二学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上.用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（ ） A. 120 B. 60 C. 100 D. 80 2. 已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 5. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量X与Y独立 B. 变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C. 变量X与Y不独立 D. 变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 6. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（ ） A. 56 B. 64 C. 72 D. 120 7. 随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（ ） A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点 C. 经验回归方程为 D. y与x的线性相关程度较强 8. 已知连续型随机变量，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（ ） A. B. C. D. 10. 用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的一个值是______. 14. 如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前n项和． 16. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. （1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； （2）若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 19. 牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. （1）若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； （2）已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上.用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是（ ） A. 120 B. 60 C. 100 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】因为要组成无重复数字的三位数，所以只需百位不为0，故先排百位，再排十位和个位，根据分步计数原理，即可求解. 【详解】要组成无重复数字的三位数，所以只需百位不为0，故先排百位，再排十位和个位. ①先排百位，有：种； ②再排十位和个位，有：种； 根据分步计数原理，所以共有种，即用0，1，2，……，5这6个数字组成无重复数字的三位数的个数是100. 故选：C. 2. 已知等差数列的前n项和为，且，公差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，逐一对各选项判断即可. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，公差， 可得， ， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因，则，故C正确，D错误. 故选：C. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入，求出答案. 【详解】，令得，解得. 故选：B 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值. 【详解】由图可知，当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 5. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量X与Y独立 B. 变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C. 变量X与Y不独立 D. 变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立性检验规则来进行判断即可。 【详解】因为，所以没有充分的证据推断变量X与Y不相互独立，即认为变量X与Y独立，故BCD错误，A正确； 故选：A. 6. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（ ） A. 56 B. 64 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【详解】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 7. 随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（ ） A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点 C. 经验回归方程为 D. y与x的线性相关程度较强 【答案】D 【解析】 【分析】利用正负相关的概念即可作出选项A的判断，利用经验回归直线经过样本中心点，可通过计算判断B，利用公式求参数和，即可判断C，利用相关系数接近于1可判断D. 【详解】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 8. 已知连续型随机变量，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】由连续型随机变量，根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 但函数，即表示正态分布密度函数与及轴围成的面积， 显然有，且函数是递增函数，故AC错误； 由于，可猜想的图象关于点对称， 再进行证明，即证， 所以的图象关于点对称，故B正确，D错误； 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，再根据期望、方差的计算公式以及性质逐一验算即可求解. 【详解】对于AB，由题意，所以， 所以，故AB都正确， 对于CD，， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 10. 用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用非线性转化为线性，即可求线性回归方程，通过系数对比即可得判断. 【详解】由两边取自然对数得：， 由变换后得到线性回归方程， 则，即，故AD正确，BC错误； 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题意可构造函数在上单调递减，再利用赋值，借助单调性研究不等式即可得出BCD的判断，对于A则举反例判断即可. 【详解】由于，因为， 所以有， 即函数在上单调递减， 对于A，根据函数在上单调递减，不妨取，满足，此时，故A错误； 对于B，由，都有， 即 同向不等式可相加得：，故B正确； 对于C，由，可得， 即，故C正确； 对于D，不妨设任意的，都有， 即， ，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出的值，然后写出展开式的通项公式，进而得该二项展开式的常数项. 【详解】的展开式中所有项的二项式系数之和为，. 的展开式的通项公式为， 令，可得， 的展开式的常数项为. 故答案为：240. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的一个值是______. 【答案】0（或1，两者任选1个即可） 【解析】 【分析】求导，得到切线方程，联立，分与，结合根的判别式得到答案. 【详解】，当时，， 故在点处的切线方程为， 联立与得， 当时，，，只有1个公共点，满足要求； 当时，由，解得， 综上实数a的一个值可以为0，也可以是1 故答案为：0（或1，两者任选1个即可） 14. 如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】第一空：由，即可得解；第二空：注意到，由二项分布概率公式得表达式，结合导数求得其最大值即可. 【详解】第一空：由于， 故从原点0移动到数字4的方法种数为，即； 第二空：设第次移动个单位，其中， 所以， 所以中有三个2，两个1， 所以， 求导得， 而， 从而在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是. 故答案为：5；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将化为，利用等比数列定义，即可求得答案； （2）求出的表达式，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：由，得， 又，故，故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以． 16. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【小问1详解】 利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； 【小问2详解】 利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【小问1详解】 由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; 【小问2详解】 由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. （1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； （2）若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，； （2）,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【小问1详解】 甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； 【小问2详解】 由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 19. 牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. （1）若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； （2）已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、切线方程，即可得出结果； （2）（ⅰ）结合导数的几何意义即可得到，从而得解； （ⅱ）利用（ⅰ）中的结论可得，证明为等比数列，结合所得结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论. 【小问1详解】 因为，所以，时，，， 所以在处切线：，令，则得，所以， ，所以在处切线：，令，则得， 所以r的2次近似值为； 【小问2详解】 （ⅰ），所以，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则，所以，所以. （ⅱ）因为，所以， 所以，因为，所以，所以，则， 所以数列为公比为2的等比数列，数列为公比为的等比数列， 令，则，当时，， 所以在上单调递减，所以，所以， 因为，所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $