2025-2026学年高二下学期期末数学复习试卷（人教A版）

**基本信息** 本试卷为高二下学期期末数学复习卷，通过集合、复数等基础题巩固知识，以导数应用、立体几何证明、概率统计（充电桩使用数据）、椭圆综合题等设计，考查抽象能力、逻辑推理与数据意识，适配期末复习与核心素养检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|导数应用、立体几何、概率统计、椭圆综合|概率统计题结合充电桩使用数据，考查数据意识；导数题含参数讨论，体现逻辑推理；立体几何题需空间想象与证明，发展几何直观|

2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B A A B AC ABC 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即，又B为的内角，则，则，所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则，即，即，解得，当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 16．【详解】（1）当时，，则． 由，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可.设函数，则，由，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，所以，即的取值范围为． 17．(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面，平面底面，因，平面,则平面．又因平面,则．因为，，满足,则得．故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，，，．设，则,且，则,,,设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意.故线段的长为或． 18．【详解】（1）随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数超过5次的有：个，设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次”，则. （2）设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”， 依题意可得，， 随机变量的可能取值为， ，， ，. 所以随机变量的分布列如下表所示： 30 40 50 60 P 故. （3）快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7:3， 故公用充电桩的个数为，日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0.7，故公用充电桩的个数为，日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个，设公用占比为，则公用充电桩的个数为200a，由题意可得，解得，故. 19．【详解】（1）由题可知：，解得 (2)（i） 不为定值.理由如下.设点， 设 ，由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ，因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ）由（i）得 则直线 的方程为 ，即 ， 当 时，得 ，所以必过定点.，所以椭圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．1 5．（本题5分）设数列满足（且），是前项和，且，，则（   ） A．1014 B． C．1013 D．1012 6．（本题5分）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 7．（本题5分）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 8．（本题5分）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．（本题6分）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 11．（本题6分）如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为________. 13．（本题5分）的展开式中的常数项为__________． 14．（本题5分）如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 16．（本题15分）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 17．（本题15分）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（本题17分）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 不超过5次 超过5次 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 (1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次的概率； (2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、20元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取3个，设为抽取的3个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； (3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7:3.在日均使用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为0.7.试比较与0.7的大小.（结论不要求证明） 19．（本题17分）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $