2025-2026学年数学人教A版高二下学期期末模拟试题

**基本信息** 以矿物宝石博览会、迎宾机器人销量等时代情境为载体，覆盖导数、概率统计、数列等核心模块，通过分层设计考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题32分|导数定义、正态分布、排列组合|基础概念与运算，如第5题结合线性回归考查数据观念| |多选题|3题15分|二项式定理、条件概率、函数极值|多维度辨析，如第11题综合导数与零点考查逻辑推理| |填空题|3题15分|分配问题、二项分布、极值点|开放探究，第14题含2空设计深化导数应用| |解答题|5题38分|独立性检验、回归分析、数列、概率与数列综合、导数证明|情境化综合，如第18题以张雪机车为背景融合概率与数列递推，第19题导数证明体现数学思维严谨性|

期末模拟试题 2025-2026学年 高二数学人教A版（2019）下学期 一、单选题 1．设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 3．已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 4．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 5．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 6．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 三、填空题 12．某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13．若随机变量，且，则______． 14．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是_______；若，则实数m的值是_______. 四、解答题 15．某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码x 1 2 3 4 5 月销量y（单位：千台） 8 10 13 20 24 (1)求出y与x的相关系数r（保留三位小数），并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） (2)求出y关于x的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； 参考公式：相关系数，． 参考数据：，， ， 17．记数列的前项和为，已知，． (1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)求的最大值． 18．重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 19．已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B D A D A ACD BC 题号 11 答案 BCD 1．A 利用在某点处导数的定义可求答案. 由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A 2．A 由正态分布的对称性得到答案. 因为，所以， 所以. 故选：A. 3．B 计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案. 由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B 4．B 根据题意可知有，两种分配方案，进而求解即可. 由题意，按分配，方案的种数为, 按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：B. 5．D 对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 6．A 根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 7．D 可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 8．A 分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围. 由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 9．ACD 利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 10．BC 对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 11．BCD 利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 12．20 将五名同学分为两组，再将分好的两组同学分配到两个不同的社团中即可. 将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 13． 由二项分布的方差公式和概率计算公式可得结果. 由，得，所以． 14． 首先求，再设，再利用导数分析函数的图象，根据函数有2个变号零点 ，求的取值范围；首先代入零点得，根据两式相减和相加，并设，表示，求，再求的值. ，，由条件可知，有2个变号零点， 设，，在单调递减， 当时，恒成立，单调递增，不会有2个零点，不成立， 当时，得，当时，，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，，当，， 若有2个变号零点，所以，解得：； 由条件可知，，两式相减得， 设，且，得，，所以，（1） 且，即， 得，得，（2） 满足方程（2），代入方程（1）得 15．(1)与性别有关 (2)分布列见解析，1 （1）提出零假设，计算出的值并比较大小即可得出结论； （2）易知的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望. （1）零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 16．(1)0.979，y与x有较强的相关关系 (2)，万台 （1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； （1），，， 则 故y与x有较强的相关关系； （2）， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的x值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为万台 17．(1)当且时，由已知 ，得 . 两式相减得 ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为. (2) (3)最大值为 (1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项； (2)再用裂项相消法求的前项和； (3)借助于基本不等式求目标分式的最大值. （1）证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为 ， （2）由（1）得 ， 其前项和为 ，其中 （3）由等差数列的前项和公式得 ， 代入目标式，得 ，因为，分子分母同除以得， 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值. 18．(1)； (2)①；② (1)先确定每轮得分的期望值，再相加计算； (2)①先找与的递推关系，再构造等比数列求 的通项；②先根据全概率公式得到第k轮得分期望与的关系，再将代入的求和式，结合等比数列求和公式计算得到​的表达式. （1）设第轮试验得分为 ，则总得分，满足 第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此; 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车. ; 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：, 第3轮使用B型车的概率：, . 总期望得分. （2）①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率. 第轮使用A型车分为两种情况： 1.第轮用A型车且成功的概率为；2.第轮用B型车且失败的概率为 ， 则得递推关系式： 初始条件： 令 ，即， 所以，即， 数列 为等比数列，首项，公比， 故，即. ②设第轮得分期望为，则 将代入上式得： 前轮得分期望和为： 19．(1)， (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. （1）根据题意，得到，求得，求得，结合，求得的值； （2）令，求得，得到，即，得到，即可得证； （3）由（2）中的结论，求得，，，结合对数的运算公式，即可得证. （1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $