5.5 练习1　两角差的余弦公式 同步练 2026-2027学年 高中数学人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦两角差余弦公式，以"基础应用-综合变形-拓展探究"分层设计，通过梯度题组培养运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-6题）|公式直接应用|如第1题通过角的互余转化考查公式结构，强化符号意识| |中档（7-12题）|公式变形与角范围综合|如第3题结合象限角求三角函数值，发展推理能力| |提升（13-16题）|实际情境与规律探究|如14题结合单位圆求cos(β-α)，体现几何直观；15题函数求和培养数学思维|

5.5 练习1　两角差的余弦公式 1. cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°等于(　C　) A. B. － C. D. － 【解析】原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝. 2. cos 165°等于(　C　) A. B. C. － D. － 【解析】cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝ －(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－＝－. 3. 已知α为第二象限角，sin α＝，则cos的值是(　C　) A. B. C. D. 【解析】∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，∴cos＝ cos αcos ＋sin αsin ＝－××. 4. 若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α等于(　D　) A. B. C. D. 【解析】∵sin sin ＋cos cos ＝cos＝cos α＝0，且α∈[0， π]， ∴α＝. 5. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－ 1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是(　B　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【解析】由题意得－cos Acos B＝sin Asin B－1，即cos Acos B＋sin Asin B＝1，则cos(A－B)＝1，又A，B为△ABC的内角，∴A＝B，故△ABC是等腰三角形. 6. 已知函数f(x)＝sin 126°sin(x－36°)＋cos 54°cos(x－36°)，则函数f(x)(　A　) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【解析】∵函数的定义域为R，且f(x)＝sin 126°sin(x－36°)＋cos 54°cos(x－36°)＝cos 54°cos(x－36°)＋sin 54°·sin(x－36°)＝cos [54°－(x－36°)]＝cos(90°－x)＝sin x，故函数f(x)为奇函数. 7. 已知0＜α＜，0＜β＜π，cos α＝，若sin(α＋β)＝，则cos β的值是(　D　) A. B. C. D. 【解析】∵0＜α＜，cos α＝，∴sin α＝.∵0＜α＜，0＜β＜π，∴0＜α＋β＜.∵sin(α＋β)＝＜sin α＝，∴若α＋β为锐角，则α＋β＜α与α＋ β＞α矛盾，∴α＋β不可能是锐角，故cos(α＋β)＝－＝－，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝. 8. (多选)给出下列四组α，β的值，其中不能满足sin αsin β＝－cos αcos β的有(　ABD　) A. α＝β＝90° B. α＝18°，β＝72° C. α＝130°，β＝40° D. α＝140°，β＝40° 【解析】由sin αsin β＝－cos αcos β可得cos(α－β)＝0，因此|α－β|＝k·180°＋90°，k∈Z. 对于A，α＝β＝90°，α－β＝0°，A满足题意；对于B，α＝18°，β＝72°，α－β＝－54°，B满足题意；对于C，α＝130°，β＝40°，α－β＝90°，C不满足题意；对于D，α＝140°，β＝40°，α－β＝100°，D满足题意. 9. (多选)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值可能是(　AC　) A. － B. － C. － D. 【解析】∵cos α＝，∴sin α＝±＝±，又cos(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝±＝±，cos(α＋β)cos α＝－×＝－.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，若sin α与sin(α＋β)同号，即sin(α＋β)sin α＝，则cos β＝－；若sin α 与sin(α＋β)异号，即sin(α＋β)sin α＝－，则cos β＝－，∴cos β的值可能是－或－. 10. cos(－75°)的值是 　.  【解析】方法一cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos 45°＋ sin(－30°)sin 45°＝××. 方法二cos(－75°)＝cos 75°＝cos[30°－(－45°)]＝cos 30°·cos(－45°)＋ sin 30°sin(－45°)＝××. 11. 已知cos＝cos α，则tan α＝ 　.  【解析】cos＝cos αcos＋sin αsincos α＋sin α＝cos α， ∴sin α＝cos α，∴，即tan α＝. 12. ＝  　.  【解析】原式＝ ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝. 13. 已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 解：由题意可知0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝. ∵α∈，sin α＝，∴cos α＝， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－××. 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点. (1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos α和sin β的值； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值. 解：(1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，∴sin α＝， sin β＝，又α为锐角，∴cos α＝. (2)∵β为钝角，∴由(1)知cos β＝－＝－， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－××. 15. 设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝ 　.  【解析】由f(x)＝，得f(x)＋f(60°－x)＝，∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝. 16. 已知0＜β＜＜α＜π，且cos，sin＝－，求 cos 的值. 解：∵0＜β＜，∴－＜－＜0，又＜α＜π，∴＜α－＜π.又cos ＞0，∴＜α－，sin.∵＜α＜π，∴，又－＜－β＜0，∴－－β＜，又sin＝－，∴－－β＜0，cos， ∴cos＝cos＝coscos＋sinsin××＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 练习1　两角差的余弦公式 1. cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°等于(　 　) A. B. － C. D. － 2. cos 165°等于(　 　) A. B. C. － D. － 3. 已知α为第二象限角，sin α＝，则cos的值是(　 　) A. B. C. D. 4. 若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α等于(　 　) A. B. C. D. 5. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是(　 　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 6. 已知函数f(x)＝sin 126°sin(x－36°)＋cos 54°cos(x－36°)，则函数f(x)(　 　) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 7. 已知0＜α＜，0＜β＜π，cos α＝，若sin(α＋β)＝，则cos β的值是(　 　) A. B. C. D. 8. (多选)给出下列四组α，β的值，其中不能满足sin αsin β＝－cos αcos β的有(　 　) A. α＝β＝90° B. α＝18°，β＝72° C. α＝130°，β＝40° D. α＝140°，β＝40° 9. (多选)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值可能是(　 　) A. － B. － C. － D. 10. cos(－75°)的值是 　 .  11. 已知cos＝cos α，则tan α＝ 　.  12. ＝  　.  13. 已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点. (1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos α和sin β的值； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值. 15. 设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝ 　 .  16. 已知0＜β＜＜α＜π，且cos，sin＝－，求 cos 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $