2026-2027学年浙教版数学八年级暑假知识训练：韦达定理

**基本信息** 聚焦韦达定理系统性应用，通过分层题型构建“概念-应用-拓展”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|11题|直接代换、公式变形|根与系数关系直接应用| |综合拓展|8题|判别式结合、参数讨论|韦达定理与方程性质综合| |实践探究|3题|新定义迁移、跨知识整合|实际问题建模与创新应用|

2026-2027学年浙教版数学八年级暑假知识训练：韦达定理 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若一元二次方程x2-4x-3=0的两个根分别是 m，n，则下列说法中，正确的是 （　　） A．m+n=-4， mn=3 B．m+n= -4， mn=-3 C．m+n=4， mn=3 D．m+n=4， mn=-3 2． 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2025 B．2023 C． D． 3．若关于x的方程 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4． 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（　　） A． B． C． D． 5． 已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A． B． C． D． 6． 方程的两根分别是和，则方程的两根为（　　） A．0， B．，1 C．， D．，3 7．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　） A．﹣，6 B．﹣3，10 C．﹣2，11 D．﹣5，21 8． 已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（　　） A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．一元二次方程 ，其中 ，给出以下四个结论：(1)若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同；(3)若 是方程 的一个根，则 是方程 的一个根；(4)若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是 .其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每题4分，共24分） 11．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解　 　. 12．设，是方程的两个根，则　 　． 13．已知一元二次方程的两根分别为m、n，则的值为　 　. 14．（初中数学浙教版八下精彩练习2.4一元二次方程根与系数的关系）如果关于x的一元二次方程2x2+5x+m=0的两实数根互为倒数，则m的值为　 　. 15．写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两个根分别为，；　 　 ． 16．若关于的一元二次方程有实数根和，且，有下列结论：①，②，③方程的解为．其中正确结论是　 　． 三、解答题（共4题，共35分） 17．若 是一元二次方程 的两个根， 求下列代数式的值. （1） . （2） . （3） . （4） . 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为x1，x2． ①求代数式；的最大值； ②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 19．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m，n. （1）求t的取值范围. （2）当t=3时，解这个方程. （3）若m，n是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q的最小值. 20．设实数分别满足，并且，求的值. 四、实践探究题（共3题，共31分） 21．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则. 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值. 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，则. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则　 　，　 　. （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值. （3）思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值. （4）思维拔高：若关于的一元二次方程.当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，求　 　.(直接写出答案) 22．定义，若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 （ ），分别以 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点. （1）若方程为 ，写出该方程的的衍生点M的坐标. （2）若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值. （3）是否存在b，c，使得不论k（ ）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由. 23．阅读理解： 【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”. 【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有： . 问题解决： （1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由； （2）若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值； （3）设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标. ①的值等于 ； ②设，求y关于x的函数关系式. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两个根是m，n， ∴ 故答案为：D. 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出m+n和mn的值. 2．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=， ∴原式=2024-（x1+x2）=2024-（-1）=2025. 故答案为：A. 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=，然后将所求代数式变形得原式=2024-（x1+x2），再整体代换即可求解. 3．【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组 【解析】【解答】解： 关于x的方程 的解中，仅有一个正数解， ， 解得 . 故答案为：B. 【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解. 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n， ∴mx2+2mx-n=0， 设方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2=-2，x1·x2=， ∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4， ∴=4， ∴（x1+x2）2-4x1x2=16， ∴（-2）2-4·（）=16， ∴n=3m. 故答案为：B. 【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=，由题意得=4，变形得（x1+x2）2-4x1x2=16，再代入即可求出n与m的关系. 5．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵（a≠0，x1≠x2）与有一个公共解x=x1， ∴x=x1是方程的一个解， ， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴x1+x1=， ∴a(x2-x1)=d． 故答案为：B． 【分析】由x=x1是方程（a≠0，x1≠x2）与的一个公共解可得x=x1是方程的一个解，然后由根与系数的关系可得x1+x1=，进而可得答案． 6．【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵方程的两根分别是和， ∴，， ∵，整理得：， ∴， ∴， 即：， 解得：； 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到：，，将待求方程化简得到，进而即可得到，进而即可求解. 7．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵方程（）的两个根分别是，5． ∴，， ∴，， 由方程得： ， ∴， 即， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据根与系数的关系求出，，代入新方程化简求值即可. 8．【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意； C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意. 故答案为：D． 【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D． 9．【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】∵， ∴x=1， ∴x=1是方程的一个根， ∴方程有相等实根或者有不等实根， ∴. ∴①正确. ∵有两个不等实根， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实根， ∴② 正确. ∵c是方程的一个根， ∴， ∵当c≠0时，，当c=0时，不一定等于0， ∴③ 不正确. ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴④正确. 故答案为：C. 【分析】根据可得知方程的根，利用根的判别式即可判断出①的正确性；根据方程两个不等实根判断，从而知道ac＞0，最后利用根判别式即可知道根情况从而判断② 正确性；由于c是否等于0即可判断出不一定正确；根据求根公式即可判断④正确性. 10．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解： (1)∵方程 有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴方程的△=b2-4ac>0，∴ 方程 有两个不相等的实数根，正确； (2)∵方程 的两根符号相同，∴x1x2=>0，∴方程的中两根之积ac>0，则两根同号，正确； (3)若 是方程 的一个根，则am2 +bm+c=0，而c× +b×+a=(am2+bm+c)=0，则am2+bm+c=0，正确； (4) 设ax2+bx+c=cx2+bx+a，则(a-c)x2=(a-c)，解得x=±1，不正确. 综上，正确的有3个. 故答案为：C. 【分析】(1)根据一元二次方程的判别式△的符号进行判断即可；(2)分析根与系数的关系的两根之积的符号进行判断；(3)把m和分别代入两个方程进行比较即可判断；(4)联立两个一元二次方程，求出公共根，即可判断. 11．【答案】2 【知识点】二元一次方程的解；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：把代入方程， 得：， 解得：， 方程， 由根与系数的关系可得： 得：， 故答案为：2． 【分析】根据题意将代入方程求出，再由根与系数的关系可得，即可得解. 12．【答案】7 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；完全平方式 【解析】【解答】解：由根与系数关系得：，， ∴． 故答案为：7． 【分析】根据根与系数的关系得，，再根据完全平方公式变形得到，计算求解即可． 13．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2-3x -1=0的两根分别为m、n， ∴m+n=，mn=， ∴. 故答案为： 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到将所求式子变m+n=，mn=，将所求式子变形代入即可. 14．【答案】2 【知识点】有理数的倒数；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由题意得：x1x2==1， ∴m=2. 故答案为：2. 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1x2 =-，结合互为倒数的性质，列式计算即可. 15．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程二次项系数为1，设方程为x2+px+q=0， ∵ 两个根分别为-2，3， ∴p=-（3-2）=-1， q=3×（-2）=-6， ∴方程为x2-x-6=0， 故答案为：x2-x-6=0. 【分析】根据根与系数关系，即可求解. 16．【答案】②③ 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：①∵一元二次方程实数根分别为α和β， ∴α=2，β=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误； ②一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0， ∵方程有两个不相等的实数根α和β， ∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0， 解得：，故结论②正确； ③∵一元二次方程x2-5x+6-m=0实数根分别为α和β， ∴α+β=5，αβ=6-m， ∴二次函数y=（x-α）（x-β）+m =x2-（α+β）x+αβ+m =x2-5x+（6-m）+m =x2-5x+6 =（x-2）（x-3）， 令y=0，即（x-2）（x-3）=0， 解得：x=2或3， ∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确， 综上所述，正确的结论有2个：②③， 故答案为：②③. 【分析】根据一元二次方程（x-2）（x-3）=m的两根为α和β，只有在m=0时根才为α=2，β=3，由此可对①进行判断；将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；将选项③中的二次函数解析式整理后，根据根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，求出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断. 17．【答案】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴； （2）解：解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴； （3）解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴； （4）解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴. 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，据此即可得出的值； （1）根据，代入和的值即可； （2）根据，代入和的值即可； （3）根据，代入和（2）的值即可； （4）根据，代入和（2）的值即可. 18．【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m） ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：①∵该方程的两个实数根为x1，x2． ∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m， ∴ ＝（x1+x2）2﹣6x1x2 ＝（2m+1）2﹣6（m2+m） ＝﹣2m2﹣2m+1 ＝﹣2（m+）2+， ∴代数式的最大值为； ②：36﹣（2m+1）×6+m2+m＝0， ∴m1＝5，m2＝6， 将m＝5代入方程得：x2﹣11x+30＝0， 解得x1＝5，x2＝6， ∴等腰三角形的周长16或17； 将m＝6代入方程得：x2﹣13x+42＝0， 解得x1＝6，x2＝7， ∴等腰三角形的周长19或20． 综上分析，等腰三角形的周长16或17或19或20． 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】(1)根据根的判别式：方程有两个不相等的实数根，，进行证明即可. (2)①由根与系数的关系求得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m，代入化简分析即可. ②将把x＝6代入方程求出m的值，分m＝5，m＝6两种情况讨论即可. 19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac＞0即4t2-4（t2-2t+4）＞0， 解之：t>2 （2）解：当t=3时，x2-6x+7=0 解之：x₁=3+ ，x₂=3- （3）解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴m+n=2t，mn=t2-2t+4， ∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n）+4=t2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1， 当t=3时Q有最小值为-1. 【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，据此可得到关于t的不等式，然后求出不等式的解集. （2）将t=3代入方程，可得到关于x的方程，再利用公式法求出方程的解. （3）利用一元二次方程根与系数的关系，可得到m+n=2t，mn=t2-2t+4，再将Q化简和配方，可得到Q=（t-3）2-1，即可求出Q的最小值. 20．【答案】解：由可知，，故． 又，， 故、是方程的两根， 从而可知，， 故． 注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快． 其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知 ，，故. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】通过变形可得故、是方程的两根，根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可求解. 21．【答案】（1）3；-5 （2）解：∵ 又∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴ ∴原式值为：. （3）解：∵实数s、t满足，且， ∴s，t可看成方程的两个实数根， ∴ ∵. （4） 【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用 【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程的两个根为， ∴ 故答案为：3，-5； （4）由题意得： 原式= = =. 故答案为：. 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系据此即可求解； （2）对待求式进行化简得到然后根据一元二次方程根与系数的关系得到进而代入计算即可； （3）由题意得到：s，t可看成方程的两个实数根，则进而代入计算即可求解； （4）根据一元二次方程根与系数的关系得到然后化简原式得到，然后代值计算即可. 22．【答案】（1）解：∵ ， ∴x（x-3）=0， 解得： ， ， 故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）. （2）解： 整理得： 设方程的两根分别为 、 ， 且 由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形， 当 时， ， 整理得： 此时方程无解， 当 时，则 ， ， 解得 （3）解：存在. 理由如下： 直线 直线过定点 ， ∴x2+bx+c=0两个根为 ， ∴ ， ， ∴ ， . 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；正方形的性质；定义新运算 【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，然后根据衍生点的概念可得点M的坐标； （2） 首先将方程化为一般形式，设方程的两根分别为x1、x2， 且x1≤x2，当x1=x2时，根据△=0可得原方程无解；当x1<x2时，则x1+x2=5m+1=0，求解即可； （3）由直线解析式可得直线过点M（-2，6），则方程x2+bx+c=0两个根为x1=-2，x2=6，结合根与系数的关系可得-2+6=-b，-2×6=c，求解可得b、c的值. 23．【答案】（1）解：∵62＝4×9， ∴4，6，9可以构成“友好数”； （2）解：∵y1，y2，y3构成“友好数”， ∴有三种可能： ①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解. ②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得. ③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得. ∴满足条件的 或 ； （3）解：① 0 ②由①得 a+b+c＝0， 两边同除以a，得 ， ∴， ∴， 即函数关系式为：. 【知识点】等式的基本性质；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数的图象；定义新运算；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】解：（3）①∵三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∵是抛物线与x轴的一个交点的横坐标， ∴a+b+c=0. 故答案为：0； 【分析】（1）直接根据“友好数”的概念进行判断即可； （2）分①y12=y2y3；②y22=y1y3；③y32=y1y2，代入求解可得t的值； （3）①根据“友好数”的概念结合根与系数的关系可得x32=x1x2=1，据此可得x3的值，代入方程中可得a+b+c的值； ②由①得 a+b+c＝0，两边同除以a可得=-1，然后代入化简可得y与x的关系式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $