5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕“简单的三角恒等变换”，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从单一公式应用到实际问题解决的知识进阶，培养运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角式化简、求值（1-5,10-11）|直接应用和角公式，强化运算能力| |中档层|函数性质、简单几何应用（6-9,12,13-14）|结合函数周期最值、矩形面积模型，发展推理能力| |提升层|复杂情境与创新题型（15-16）|引入正割余割概念、正方形截取问题，培养数学眼光与模型观念|

5.5.2 简单的三角恒等变换 1. 化简sin x＋cos x等于(　 　) A. 2sin B. 2sin C. 2cos D. 2cos 2. sin 15°＋cos 15°的值是(　 　) A. － B. C. D. 3. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则f(x)的(　 　) A. 最小正周期为π，最小值是－－1 B. 最小正周期为π，最小值是－2 C. 最小正周期为2π，最小值是－－1 D. 最小正周期为2π，最小值是－2 4. 设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　 　) A. c＜b＜a B. a＜b＜c C. a＜c＜b D. b＜c＜a 5. 若sin α－cos α＝，则cos等于(　 　) A. B. － C. D. － 6. (2024·贺州高一检测)把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图所示，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的表达式，则为(　 　) A. y＝50cos 2θ B. y＝25sin θ C. y＝25sin 2θ D. y＝50sin 2θ 7. 第24届国际数学家大会的会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的.如图所示，已知该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，其中正方形ABCD的边长为1，∠DAE＝θ，则小正方形EFGH的面积为(　 　) A. 1－sin 2θ B. 1－cos 2θ C. 1－2sin θ D. 1－2cos θ 8. (多选)设函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)(　 　) A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 最大值是2 D. 其图象关于点对称 9. (多选)函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)可化为(　 　) A. f(x)＝sin B. f(x)＝sin C. f(x)＝cos D. f(x)＝sin＋1 10. 已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值是2，则f(x)的最小正周期为　 　.  11. 若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝　 　.  12. 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形面积的最大值是　 　.  13. (2024·河北邢台高一期中)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的取值范围. 14. 如图所示，在扇形MON中，半径OM＝10，圆心角∠MON＝，D是扇形弧上的动点，矩形ABCD的顶点B，C在ON上，A在OM上，记∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S. (1)用含θ的式子表示线段DC，OB的长； (2)求S的最大值. 15. (2024·昆明高一质检)正割(Secant)及余割(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，sec，csc这两个符号是由荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角形中，定义正割sec α＝，余割csc α＝，则函数f(x)＝的值域为(　 　) A. {f(x)|－2≤f(x)≤2} B. {f(x)|－2≤f(x)≤2，且f(x)≠±1，且f(x)≠±} C. {f(x)|－2≤f(x)≤2，且f(x)≠±} D. {f(x)|－1＜f(x)＜1} 16. 如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按什么角度来截? 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5.2 简单的三角恒等变换 1. 化简sin x＋cos x等于(　A　) A. 2sin B. 2sin C. 2cos D. 2cos 【解析】sin x＋cos x＝2sin. 2. sin 15°＋cos 15°的值是(　B　) A. － B. C. D. 【解析】sin 15°＋cos 15°＝×sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. 3. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则f(x)的(　B　) A. 最小正周期为π，最小值是－－1 B. 最小正周期为π，最小值是－2 C. 最小正周期为2π，最小值是－－1 D. 最小正周期为2π，最小值是－2 【解析】∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin， ∴最小正周期为T＝＝π，最小值是－2. 4. 设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　C　) A. c＜b＜a B. a＜b＜c C. a＜c＜b D. b＜c＜a 【解析】a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，∵y＝sin x在上是单调递增的，∴a＜c＜b. 5. 若sin α－cos α＝，则cos等于(　D　) A. B. － C. D. － 【解析】∵sin α－cos α＝2＝－2cos， ∴cos＝－. 6. (2024·贺州高一检测)把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图所示，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的表达式，则为(　D　) A. y＝50cos 2θ B. y＝25sin θ C. y＝25sin 2θ D. y＝50sin 2θ 【解析】由题知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，∴在△AOB中，OA＝5cos θ，AB＝5sin θ，∴其矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4×25sin θcos θ＝ 100sin θcos θ＝50sin 2θ. 7. 第24届国际数学家大会的会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的.如图所示，已知该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，其中正方形ABCD的边长为1，∠DAE＝θ，则小正方形EFGH的面积为(　A　) A. 1－sin 2θ B. 1－cos 2θ C. 1－2sin θ D. 1－2cos θ 【解析】在正方形ABCD中，AD＝1，∠DAE＝θ，∴DH＝ADsin∠DAE＝sin θ，AH＝ADcos∠DAE＝cos θ，又Rt△ADH≌Rt△BAE≌Rt△CBF≌Rt△DCG， ∴GH＝DH－AH＝sin θ－cos θ，∴小正方形EFGH的面积S＝GH2＝(sin θ－ cos θ)2＝sin2θ－2sin θcos θ＋cos2θ＝1－sin 2θ. 8. (多选)设函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)(　AD　) A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 最大值是2 D. 其图象关于点对称 【解析】f(x)＝sincos 2x，∴函数是偶函数，A正确； x∈时，2x∈(0， π)，∴函数f(x)在区间上单调递减，B错误； 函数的最大值是，C错误；当x＝时，y＝×sin＝0，∴函数图象关于点对称，D正确. 9. (多选)函数f(x)＝sin x(sin x＋cos x)可化为(　AC　) A. f(x)＝sin B. f(x)＝sin C. f(x)＝cos D. f(x)＝sin＋1 【解析】f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋sin 2x－cos 2x＋sin.f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝ sin 2x＋sin 2x－cos 2x＋cos. 10. 已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值是2，则f(x)的最小正周期为　π　.  【解析】∵f(x)＝sin [(1－a)x＋φ]，由已知得＝2，∴a＝3， ∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)，∴T＝＝π. 11. 若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝　－　.  【解析】∵3sin x－cos x＝2＝2sin， ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π， π)，∴φ＝－. 12. 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形面积的最大值是　R2　.  【解析】设长方形的面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，S＝(Rsin α)·(2Rcos α)＝2R2sin αcos α＝R2sin 2α.当sin 2α取得最大值，即sin 2α＝1时，长方形的面积最大，此时α＝，长方形面积的最大值为R2. 13. (2024·河北邢台高一期中)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的取值范围. 解：(1)由题意知f(x)＝ cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)当x∈时，2x－∈，令2x－＝－，得x＝－， ∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又f＝－，f＝－，f， ∴f(x)在区间上的最大值是，最小值是－， ∴f(x)在区间上的取值范围是. 14. 如图所示，在扇形MON中，半径OM＝10，圆心角∠MON＝，D是扇形弧上的动点，矩形ABCD的顶点B，C在ON上，A在OM上，记∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S. (1)用含θ的式子表示线段DC，OB的长； (2)求S的最大值. 解：(1)在Rt△DCO中，OD＝10，∴DC＝10sin θ，θ∈.又在Rt△ABO中，∠AOB＝，AB＝DC＝10sin θ，∴OB＝AB＝10sin θ，θ∈. (2)在Rt△DOC中，OC＝10cos θ， ∴BC＝OC－OB＝10(cos θ－sin θ)， ∴S＝AB·BC＝100sin θ(cos θ－sin θ)＝100＝100sin－50. ∵0＜θ＜，∴＜2θ＋， ∴当2θ＋，即θ＝时，Smax＝100－50. 15. (2024·昆明高一质检)正割(Secant)及余割(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，sec，csc这两个符号是由荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角形中，定义正割sec α＝，余割csc α＝，则函数f(x)＝的值域为(　B　) A. {f(x)|－2≤f(x)≤2} B. {f(x)|－2≤f(x)≤2，且f(x)≠±1，且f(x)≠±} C. {f(x)|－2≤f(x)≤2，且f(x)≠±} D. {f(x)|－1＜f(x)＜1} 【解析】f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin ，其中sin x≠0，且cos x≠0，故－2≤f(x)≤2，且f(x)≠±1，且f(x)≠±. 16. 如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按什么角度来截? 解：设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则， 又a＝GC＋CF＝b sin x＋b cos x，∴sin x＋cos x＝，∴sin. ∵0＜x＜＜x＋，∴x＋，或x＋，即x＝或， 即按x＝或来截，满足要求. 学科网（北京）股份有限公司 $