寒假作业07（三角恒等变换）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 07测试范围：三角恒等变换 知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正切公式 两角差的正切公式 3．（1）二倍角的正弦公式： . （2）二倍角的余弦公式： . （3）二倍角的正切公式： . （4）二倍角公式的一些常用变形 ①降次扩角公式： ， ． ② ． 3．辅助角公式： ．（其中，） 07 三角恒等变换的寒假作业 一、单选题 1．（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．等于（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D．7 7．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若角满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列表达式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．计算： 13．已知，则 . 14．已知，，则 . 四、解答题 15．已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 16．已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求的值. 17．已知角且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18．已知函数 的最小正周期为，其中 . (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 19．剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 07测试范围：三角恒等变换 知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正切公式 两角差的正切公式 【答案】 3．（1）二倍角的正弦公式： . （2）二倍角的余弦公式： . （3）二倍角的正切公式： . （4）二倍角公式的一些常用变形 ①降次扩角公式： ， ． ② ． 【答案】 3．辅助角公式： ．（其中，） 【答案】 07 三角恒等变换的寒假作业 一、单选题 1．（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正切的二倍角公式即可求出. 【详解】由题意可知，， 故选：A. 2．等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式与二倍角的正弦公式与降幂公式计算化简即可； 【详解】. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以. 故选：C. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设及两角差的正弦公式可得答案. 【详解】因,则，. 则. 故选：C 5．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】先求出，进而得到，然后根据两角和差的正切公式求出结果即可. 【详解】因为，，所以. 所以. 所以. 故选：C. 7．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得，又，，故，因此.故选：B. 8．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若角满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数定义可知，在由同角三角关系可得，根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为在角的终边上，且，可知点在标准单位圆上， 由三角函数定义可知，因为，， 则，且， 所以 二、多选题 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确；对于B选项，， 故B正确；对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10．下列表达式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】选项A，逆用余弦差角公式求解.选项B，利用正切二倍角公式求解.选项C，利用进行替换即可.选项D，利用平方差公式化简之后，再利用二倍角公式化简. 【详解】选项 A，，选项A正确. 选项 B，，选项B正确. 选项 C，，选项C错误. 选项 D， (，选项D错误. 故选：AB 11．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D： ，故D正确；故选：ABD 三、填空题 13．计算： 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，展开化简，即可得答案. 【详解】原式 . 13．已知，则 . 【答案】 【分析】利用正切的两角差公式求出，然后化为齐次式，弦化切即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 14．已知，，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的商关系解得，再利用两角和的正弦公式代入计算得到结果. 【详解】已知，则.因为， 则，代入上式可得， 解得，则， 四、解答题 15．已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【答案】(1)；(2), 【分析】（1）利用条件先判定角的范围，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即，则， 结合上知，而，所以； （2）由上易知： ，又，因为，所以. 16．已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)2；(2)；(3). 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算即得. （2）由（1）中信息，利用正弦函数的单调性列式求解. （3）由（1）中信息，求出，再利用同角公式求解. 【详解】（1）函数 ，所以. （2）由（1）知，令，，解得，, 所以函数的单调递减区间为. （3） 由（1）得，，由，得， 则，所以. 17．已知角且. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据求出，再结合两角和的正切公式求解； （2）分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【详解】（1），， ，又，. （2）∵，，∴，则 故，∵，， ∴，故 ∴. 18．已知函数 的最小正周期为，其中 . (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合函数的最小正周期，求出，再结合正弦函数的对称中心，即可求得答案； （2）由可求出，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，，所以，则有， 所以； 由，可得，，所以函数的对称中心为； （2） 由于，所以，则有， 即，所以． 19．剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小； （2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长； （3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）设扇形的圆心角，由扇形的面积，得，所以. （2）由（1）知，，则，由，得，因此， 所以. （3）设，在中，，，在中，，则，因此矩形的面积，由，得，则当，即时，矩形的面积取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $