25.2.1 配方法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“配方法（第1课时）”中的直接开平方法，通过“温故知新”环节回顾平方根概念及性质，搭建从平方根基础知识到方程x²=p解法的学习支架，引导学生自主探究方程解的三种情况。 特色在于融合数学史拓展，介绍欧几里得平方根理论及花拉子米代数转化，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，习题分层设计检测不同层次掌握情况，助力学生通过推理意识与运算能力深化理解，预习问题记录环节促进自主学习。

25.2.1 配方法（第1课时） 1.回顾平方根等基础内容； 2.阅读课本P5—P6内容，自主探究直接开平方法小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1. 16的平方根是_________. 2. ，_______. 3. 判断：任何数都有平方根吗？_________. 4. 一个正数有_______个平方根. 知新——课本研习梳理 1.一般地，对于方程， （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：_____________________； （2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根___________________； （3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程______________． 2.上述解法，实质上是根据___________的意义，把一个一元二次方程___________，转化为_____________________. 1.一元二次方程的解是( ) A. B. C.， D.， 2.用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A. B. C. D. 3.方程的解是( ) A. B. C.， D.， 4.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.解方程： 欧几里得与平方根理论完善 古希腊数学家欧几里得，在《几何原本》中首次系统完善了平方根的理论体系，为直接开平方法奠定了理论基础。在没有代数方程的时代，他通过几何作图的方式证明：正数存在两个互为相反数的平方根，负数无平方根，完美解释了直接开平方法的取值规则。 后世花拉子米在建立代数方程体系时，沿用了欧几里得的平方根理论，将几何结论转化为代数解法，正式确立了直接开平方法的解题规范，让这一古老的解法成为初中代数的基础核心方法。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.±4 2.±5 3.×，非负数才有平方根 4.2 知新——课本研习梳理 1.，；；无实数根 2.平方根；“降次”；两个一元一次方程 基础过关·课前自测 1.答案：C 解析：， ， ， 解得，. 故选：C. 2.答案：A 解析：（A）移项可得，故选项A无解； （B），即，故选项B有解； （C）移项可得，故选项C有解； （D），故选项D有解； 故选A. 3.答案：C 解析：， ， ，. 故选：C. 4.答案：D 解析：∵， ∴， 解得， 故选：D 5.答案：或 解析： 或 或 所以原方程的解为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法（第2课时） 1.回顾完全平方公式分解因式等基础内容； 2.阅读课本P7—P9内容，自主探究配方法小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1. _________；_________. 2. 是完全平方式，______. 3. 是完全平方式，_____. 知新——课本研习梳理 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么： （1）当p＞0时，方程有两个不相等的实数根：__________________； （2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根______________； （3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程______________． 1.用配方法解方程时，配方后正确的是( ) A. B. C. D. 2.用配方法解方程时，配方结果正确的是( ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 4.用配方法解方程：. 配方法的古今演变：从几何拼图到代数公式 配方法是典型的先几何、后代数的数学方法。早在三千年前，古巴比伦人在计算正方形、矩形土地面积时，就发明了“补全图形、凑成整方”的几何解法，这是配方法的最早雏形。古人没有字母代数，只能靠图形拼接，通过补一小块正方形面积，把不规则图形变为完整正方形，从而求出边长，和现代配方法思维完全一致。 中国古代数学家也独立研究出配方思想，在《九章算术》的“开方术”“开带从平方”中，记载了带一次项的二次开方算法，这是古代中式配方解法的经典成果。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.； 2. 3. 知新——课本研习梳理 ，；；无实数根 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：， 移项，得， 方程两边同时加4，得，即. 故选：B. 2.答案：D 解析：原方程为， 移项得， 配方得， 即， 配方结果为. 故选：D. 3.答案：B 解析：， ， ， ； 故选B. 4.答案：， 解析：， 移项得， 配方得，即， ， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $