25.2.1 配方法（第1课时）课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的配方法，含直接开平方法和配方法两课时，通过旧识回顾（平方根、完全平方公式）衔接新知，从具体方程x²=4到(x+3)²=5再到一般形式，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生理解降次转化思想。 其亮点是以“问题探究-例题示范-当堂检测”为主线，通过4x²-3=0、2x²+1=3x等实例培养运算能力和推理意识，总结步骤清晰，学生能逐步掌握转化方法，教师可直接用于教学，提升效率。

25.2.1 配方法 （第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如 (x+m)2＝p(p≥0) 的一元二次方程进行直接开平方法求解 2 掌握形如 ax2+c＝0 和 e(ax+m)2+n＝p 的一元二次方程的解法 旧识回顾 1. 16 的平方根是_________. 3. 判断：任何数都有平方根吗？_________. 4. 一个正数有_______个平方根. 2. x2＝25，x＝_______. 5. a2＋2ab＋b2＝_________；a2－2ab＋b2＝_________. ±4 ±5 × 非负数有平方根 2 (a＋b) 2 (a－b) 2 探索新知 x2＝4 x1＝2， x2＝－2. 先来看一个简单的一元二次方程 根据平方根的意义，得 ＞0 ， x＝±2 即 一般地，对于方程 x2＝p 当 p＞0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1＝，x2＝－. 当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝0； 当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法. 探索新知 对照上面解方程 x2＝4 的过程，你认为应怎样解方程 (x＋3)2＝5？ 我们知道，5，由此想到： 当 (x＋3)2＝5，得 x＋3＝±， 即 x＋3＝，或 x＋3＝－. 于是，方程的两个根为 x1＝－3＋，x2＝－3－. 探究 2次 1次 一元二次方程 降次 转化思想 两个一元一次方程 典型例题 例 1 解下列方程： (1) 4x2－3＝0； (2) (x＋2)2－9＝0. 解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得 由此可得 即 典型例题 例 1 解下列方程： (1) 4x2－3＝0； (2) (x＋2)2－9＝0. 解：(2) 移项，得 (x＋2)2＝9. 由此可得 x＋2＝±3， x＋2＝3，或 x＋2＝－3， 即 x1＝1，x2＝－5. 用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为 0 时，方程有两个相等的实数根． 探索新知 形如 (x＋m)2＝p，(x＋m)2＋n＝p，e(ax＋m)2＋n＝p 的一元二次方程 换元整理 形如 t2＝p 的一元二次方程 降次 p≥0 两个一元一次方程 当堂检测 当堂检测 D 当堂检测 B 当堂检测 B 当堂检测 4 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 一元二次方程 关键要把方程化成 x2=p (p≥0) 利用平方根的定义求方程的根的方法 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 25.2.1 配方法 （第2课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，能运用配方法解一元二次方程 2 通过配方法将一元二次方程进行变形，进一步体会“降次”的转化思想 旧识回顾 1. a2＋2ab＋b2＝_________；a2－2ab＋b2＝_________. (a＋b) 2 (a－b) 2 2. x2＋mx＋9 是完全平方式，m＝______. 3. 4x2＋12x＋a 是完全平方式，a＝_____. ±6 9 一次项系数一半的平方 一次项系数一半的平方 探索新知 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 探究 解方程 (x＋3)2＝5 时，因为它的左边是含有 x 的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，你能将方程 x2＋6x＋4＝0 转化为 (x＋m)2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解吗？ 探索新知 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 探究 使左边配成 x2＋2bx＋b2 的形式 两边加 9 x2＋6x＋4＝0 移项 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 左边写成完全平方形式 (x＋3)2＝5 降次 x＋3＝± x＋3＝，或 x＋3＝－ 解一次方程 x1＝－3＋，x2＝－3－ 探索新知 使左边配成 x2＋2bx＋b2 的形式 两边加 9 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 思考：为什么在方程 x2＋6x＝－4 的两边加 9？加其他数行吗？ 不行， 因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 探索新知 配方法 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x＋n)2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化成两个一元一次方程求解． 配方方法：在方程两边加上一次项系数一半的平方. 注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的. 典型例题 例 2 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0； (2) 2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0. 解：(1) 移项，得 x2－8x＝－1. 配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15. 由此可得 x－4＝±， 分析：(1) 方程的二次项系数为 1，可直接运用配方法. 典型例题 例 2 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0； (2) 2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0. 解：(2) 移项，得 2x2－3x＝－1. 二次项系数化为 1，得 配方，得 分析：(2) 方程的二次项系数为 2，为了便于配方，可把二次项系数化为 1. 为此，方程的两边都除以 2. 由此可得 典型例题 例 2 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0； (2) 2x2＋1＝3x； (3) 3x2－6x＋4＝0. 解：(3) 移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 配方，得 分析：(3) 与(2) 类似，方程的两边都除以 3 后再配方. 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数. 上式都不成立，所以原方程无实数根. 探索新知 1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； 2.二次项系数化为 1，方程左、右两边同时除以二次项系数； 3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.降次，利用平方根的意义降次； 5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 探索新知 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x＋n)2＝p 的形式. (1) 当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1＝，x2＝； (2) 当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3) 当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 (x＋n)2≥0，所以方程无实数根. 当堂检测 当堂检测 B 当堂检测 C 当堂检测 D 当堂检测 2 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 配方法 概念 步骤 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法 一移常数项； 二配方； 三写成 (x+n)2=p (p≥0); 四直接开平方法解方程. 1.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：∵，∴，解得，故选：D. 2.方程的根为( ) A. B. C. D. 解析：，，，即，故选：B. 3.下列方程中，有两个相等实数根的是( ) A. B. C. D. 解析：A.，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B.，解得：，故本选项符合题意； C.，开方得，解得，，故本选项不符合题意； D.，开方得，解得，，故本选项不符合题意. 故选：B. 4.若一元二次方程的两个根分别是与，则______. 解析：由得，解得，可知两根互为相反数. ∵一元二次方程的两个根分别是与， ，解得， ∴一元二次方程的两个根分别是2和-2， ∴，∴. 5.用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）. 解析：（1）移项，得， 根据平方根的意义，得， 即，. 解析：（2）移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即，. 6.用直接开平方法解方程： (1)； (2). 解析：(1)， 移项得，， 开方得，， ，； 解析：(2)， 化简得，， 开方得，， ，. 1.用配方法解方程时，配方后正确的是( ) A. B. C. D. 解析：， 移项，得， 方程两边同时加4，得，即. 故选：B. 2.用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 解析：，， ，，，即. 故选：C. 3.小东在用配方法解方程时，配成，发现，判断该方程无实数根，则n的值可能是( ) A.1 B.0 C.-4 D.-5 解析：， 配方得：，即：， ∵，，∴，解得：. 故选：D. 4.设方程的正根介于整数m与之间，则____________. 解析：，移项得：， 配方得：，即， 直接开平方得：，解得，， ，，，则， 故答案为：2. 5.用配方法解方程：. 解析：， 方程两边同时除以2，得到：， 移项得， 所以，即， 开平方，得，解得，. 6.已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 解析：， ∵，∴， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数， 当时，这个代数式的值最小，最小值为. $