25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心内容包括根的判别式推导、求根公式及应用。通过回顾配方法步骤搭建学习支架，引导学生用配方法推导一般形式方程的解，实现从旧知到新知的自然过渡。 其亮点在于以推理能力培养为核心，通过公式推导过程发展数学思维，结合判别式分类讨论提升抽象能力，典型例题覆盖不同根的情况并关联实际问题（如雕像身长计算）培养模型意识。步骤总结清晰，当堂检测针对性强，助力学生结构化掌握知识，教师使用可高效完成教学目标。

25.2.2 公式法 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程 2 能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程 旧识回顾 说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； 2.二次项系数化为 1，方程左、右两边同时除以二次项系数； 3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.降次，利用平方根的意义降次； 5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 探索新知 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 能否用配方法得出它的解呢？ 探究 移项，得 ax2＋bx＝－c. 二次项系数化为 1，得 配方，得 即 探索新知 因为 a≠0，所以 4a2＞0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) (1) 当 b2－4ac＞0 时， ＞0，由①得 方程有两个不相等的实数根 探索新知 因为 a≠0，所以 4a2＞0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) (2) 当 b2－4ac＝0 时， ＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) 当 b2－4ac＜0 时， ＜0，由①可知 ＜0， 而 x 取任何实数都不能使 ＜0 成立，因此方程无实数根. 探索新知 求根公式 当 b2－4ac≥0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 探索新知 根的判别式 可以发现，式子 b2－4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根的判别式，用“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ≥0 两个不相等实数根 典型例题 例 3 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7＝0； (2) 2x2－2x＋1＝0； (3) 5x2－3x＝x＋1；(4) x2＋17＝8x. 解：(1) 因为 a＝1，b＝－4，c＝－7，所以 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不相等的实数根 即 确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号. 典型例题 例 3 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7＝0； (2) 2x2－2x＋1＝0； (3) 5x2－3x＝x＋1；(4) x2＋17＝8x. 解：(2) 因为 a＝2，b＝－2，c＝1，所以 Δ＝b2－4ac＝(－2x)2－4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 典型例题 例 3 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7＝0； (2) 2x2－2x＋1＝0； (3) 5x2－3x＝x＋1；(4) x2＋17＝8x. 解：(3) 方程化为 5x2－4x－1＝0，此时 a＝5，b＝－4，c＝－1，所以 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0. 方程有两个不相等的实数根 即 典型例题 例 3 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7＝0； (2) 2x2－2x＋1＝0； (3) 5x2－3x＝x＋1；(4) x2＋17＝8x. 解：(4) 方程化为 x2－8x＋17＝0，此时 a＝1，b＝－8，c＝17，所以 Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0. 方程无实数根. 探索新知 回到本章引言中列出的一元二次方程 x2＋5x－25＝0. A C B (5－x ) m x m 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位，那么 x1≈3.09，x2≈－8.09. 关于这两个根，只有 x1≈3.09 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为 3.09 m. 探索新知 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1) 将一元二次方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)； (2) 确定 a，b，c 的值； (3) 求出 b2－4ac 的值； (4) 若 b2－4ac≥0，则利用求根公式求解； 若 b2－4ac＜0，则方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意 a，b，c 符号的问题. 当堂检测 当堂检测 D 当堂检测 D 当堂检测 C 当堂检测 B 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 公式法 求根公式 步骤 一化 (一般形式)； 二定 (系数值)； 三求 ( Δ值)； 四判 (方程根的情况)； 五代 (求根公式计算) THANKS 1.用公式法解方程，其中求得的值是( ) A.16 B. C.32 D.64 解析：将方程整理，得， ，，， ，故选D. 2.一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 解析：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根. 3.若一个一元二次方程的根为，则该一元二次方程为( ) A. B. C. D. 解析：∵一元二次方程求根公式为， 给定根为，∴，故，，故，又，∴，代入， 得，即，故， 因此方程为，即，故选：C. 4.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为( ) A. B.且 C. D.且 解析：关于x的一元二次方程有实数根， ，解得：， ， 的取值范围是且， 故选：B. 5.用公式法解方程：. 解析：方程化为.，，， ， . 解得：，. 6.用公式法解下列方程： （1）； （2）. 解析：（1） ，，， ， 原方程无解. 解析：（2）， ，，， ， ， ，. $