第二十六章 二次函数 03讲 二次函数与一元二次方程（3大知识点+6大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册预习

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理三者关系：方程根为函数与x轴交点横坐标，图像交点个数对应方程根的情况，延伸至用图像求近似解及解不等式，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料以题型归纳为特色，每个知识点匹配例题与变式训练，通过图像分析根的情况培养几何直观，变式题提升推理能力，表格辅助近似解学习强化模型意识。课中助教师系统授课，课后学生可借巩固练习查漏补缺，强化知识应用。

第二十六章二次函数 03讲二次函数与一元二次方程 题型归纳 【知识点1二次函数与一元二次方程的关系… …1】 【知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解… 2】 【知识点3二次函数与一元二次不等式的关系 2】 【题型1.抛物线与x轴的交点问题… 。。。。。。。。。。。。。。 4】 【题型2.抛物线与y轴的交点问题…7】 【题型3.根据二次函数图像确定相应方程根的情况 11】 【题型4.求x轴与抛物线的截线长… …14】 【题型5.由二次函数图像确定一元二次方程的近似根…16】 【题型6.由二次函数图像解一元二次不等式… 20】 【巩固练习… …26】 知识清单 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根 为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 (1)若抛物线y=ax2+bx+c(a时0)与x轴两交点的横坐标分别为x1,x,则x1,x为一元二次 方程ax2+bx+c=0(a时0)的两个根. (2)二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 1/35 a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 -b±Vb2-4ac X1.2= 2a X== 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 X1=x3= x1=x2=-2a 2a y b2-4ac<0 无实数根 知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1)画出二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象： (2)确定二次函数y=2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； (3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y值正负交替的地方 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置： 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两 个对应值之中必有个近似根： 比如x由x1取到x时，对应y的值出现y1>0,<0或y1<0,y2>0,那么1，x中必有一 个是近似根，比较y与by的大小，若y1>by,则说明x是近似根：反之，则说明x1是近 似根； 从图象上观察，(x,y)离x轴越近，y值越接近O,而y=0时x的值就是方程的确切根。 知迟点3二次函数与一元二次不等式的关系 1利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 2/35 (1)将一元二次不等式化为2+bx+c>0(或<0)的形式： (2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值： (3)作出不等式对应的二次函数=2+bx+c的草图； (4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值 小于零. 以Jy=2+bx+C(0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c (心O)的图像 元二次方程 ax2+bx+c=0 X1,X2 b 没有实数根 (a心0)的根 不等式 ax2+bx+c>0 x<x1或x>X ≠x1的一切实数 全体实数 (心O)的解集 不等式 2+bx+c<0 KYK2 无解 无解 (心0)的解集 【提示】 ①由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与x轴的 交点： ②图像在x轴上方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax+bx+c>0 的解集： ③图像在x轴下方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式2+bx+c<0 的解集。 3/35 >题型专练 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为 () A.118 B.119 C.120 D.121 【答案】C 【分析】先求出m2+m的值，再用整体代入法计算所求代数式的值. 【详解】解：，点(m,0)是抛物线y=x2+x-1与x轴的交点， .将(m,0)代入y=x2+x-1,可得m2+m-1=0, ∴.整理得m2+m=1, 将m2+m=1代入m2+m+119得原式=1+119=120 【例2】二次函数y=-x2-x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2 x+m=0的解是 4 【答案】x1=-3,x2=1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据 函数图象，对称轴，可得二次函数与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴交点的横坐标 与相应的一元二次方程的根的关系，即可、 【详解】解：由函数图象可得，三次函数y=-2-x+m与x轴的交点为(-3,0)，对称轴 为：X=12=-1=34丝， 2 ∴.x2=1, ∴二次函数y=-x-x+m与x轴的另一个交点为(1,0)， 六当x=-3或x=1时，y=-x2-x+m=0, 4/35 .一元二次方程-x2-x+m=0的解为：x1=-3,x3=1. 故答案为：x1=一3，x2=1. 【变式1】抛物线y=x2+4x+4与坐标轴的交点个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】c 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解. 【详解】解：当x=0时，y=4, 抛物线与y轴交点为(0,4)， 当y=0时，x2+4x+4=0, .△=b2-4ac=16-4×1×4=0, ∴.方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点： 综上，抛物线与坐标轴共有两个交点： 故选：C. 【变式2】若关于x的二次函数y=-x2+mx+n的图象与x轴的交点坐标是(-1,0)和(3,0)， 则关于x的一元二次方程-x2+mx+n=0的解为() A.X1=x2=0 B.x1=1,X2=-3 C.x1=1,x2=0 D.X1=-1,X2=3 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，根据二次函 数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案， 【详解】解：，'二次函数y=-x2+mx+n的图象与x轴的交点坐标是(-1,0)和(3,0)， ∴.一元二次方程-x2+mx+n=0的解为x1=一1，x2=3. 故选：D 【变式3】在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-2024)(x-2026)-3的图象向上平 移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ=· 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点.根据二次函数图象的平 5/35 移规律，求出抛物线的解析式，然后令y=0,列出关于x的方程，解方程求出x,再根据 两点间的距离公式求出答案即可。 【详解】解：将二次函数y=x-2024)(x-2026)-3的图象向上平移3个单位长度，所 得抛物线的解析式为： y=(x-2024)(x-2026), 令y=0,则(x-2024)(x-2026)=0, ·X-2024=0或x-2026=0, 解得：x=2024或2026， ·PQ=2026-2024=2, 故答案为：2. 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点，点B 的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上， (1)求抛物线的函数解析式： (2)求△ABC的面积 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系 数法是解题的关键 (1)将点B(1,0),点C(2,5)代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； (2)根据对称性求出点A的坐标，进一步求出AB的长，再求出△ABC的面积即可 【详解】(1)解：，y=ax2+bx-3(a≠0)经过B(1,0),C(2,5), 2639g 解得：6二2 ,抛物线的解析式为y=x2+2x-3: (2)解：，抛物线的解析式为y=x2+2x-3, 6/35 ∴抛物线的对称轴为直线x=-忌=-1， ,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为(1,0)， .点A坐标为：[2×(-1)-1,0]，即A(-3,0), .AB=1-(-3)=4, .△ABC的面积为：号×4×5=10. 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【例1】抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点坐标是() A.(-1,0) B.(3,0) C.(0,3) D.(0-3) 【答案】D 【分析】根据y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式计算y值即可得到交点坐标. 【详解】解：y轴上所有点的横坐标都为0， ∴.在抛物线y=x2-2x-3中，令x=0, 得y=02-2×0-3=-3, .抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3) 【例2】如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,D两点，与y轴交于点C,顶点为B, 求△ABC的面积. 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，先求出抛物线与坐标轴的交点以及顶点坐标，利 用割补法求出三角形的面积即可 【详解】解：过点B作BE⊥y轴于点E, 令y=0,则-x2+4x+5=0,解得：x1=-1,x2=5, .0A=5, 当x=0时，y=5, 7/35 .0C=5, 又y=-x2+4x+5=-x-2)2+9, .BE=2,0E=9, ,CE=9-5=4, S△ABc=(BE+0A)×0E-BE:EC-0A,0C=×(2+5)×9-×2×4-× 5×5=15. 【变式1】二次函数y=x2-2x+1的图象与坐标轴交点的情况是() A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 【答案】c 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出 结论 【详解】解：当y=0时，x2-2x+1=0, 解得x=1, 故图象与x轴的交点为(1,0)： 当x=0时，y=1, 故图象与y轴的交点为(0,1)， .图象与坐标轴的交点为(1,0)和(0,1)，共两个交点， 故选：C 【变式2】抛物线y=x2+2x+c交y轴于点(m+5,m),则c的值是 【答案】-5 【分析】本题主要考查了抛物线与y轴的交点，根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0列式 求解即可. 【详解】解：，抛物线y=x2+2x+c交y轴于点(m+5,m), .m+5=0, 8/35 解得，m=-5, 故答案为：-5. 【变式3】若抛物线y=x2-ax+1(a为常数)与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围 为 【答案】-2<a<2 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及判别式的应用，先得出抛物线y= x2-ax+1与y轴有一个交点，即交点坐标为(0,1)，再结合y=x2-ax+1(a为常数)与坐 标轴有且仅有一个公共点，则抛物线y=x2-Qx+1与x轴无交点，那么列式△=a2一4< 0,进行计算，即可作答 【详解】解：y=x2-ax+1, ∴当x=0时，则y=1 即抛物线y=x2-ax+1与y轴有一个交点，即交点坐标为(0,1)， ,抛物线y=x2-ax+1与坐标轴有且仅有一个公共点， ∴抛物线y=x2-ax+1与x轴无交点， △=a2-4<0, -2<a<2 .a的范围是-2<a<2. 故答案为：-2<a<2 【变式4】已知抛物线y=x+4)(x-6)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交 于点C. (1)求A,B,C三点的坐标. (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由。 【答案】(1)A(-4,0),B(6,0),C(0,-9) 2)存在，点M的坐标为(1，-) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解 题的关键. (1)求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可： (2)求出抛物线的对称轴为x=1,连接BC与对称轴x=1的交点即为点M,求出BC的解 9/35 析式，把x=1代入即可求出. 【详解】(1)解：令y=0,则(x+4)(-6)=0,解得：x1=-4,x2=6 ∴.点A(-4,0),点B(6,0), 当x=0时，y=-9, 点C0,-9) (2)解：存在， y=x+4-6=x-12-吾 ∴.抛物线的对称轴为x=1, 连接BC与对称轴x=1的交点即为点M, 设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(6,O),C(0,-9)代入得： 6+b,0,解得： k=, b=-9 y=3x-9 当x=1时，y=- 21 “点M的坐标为(1，-) 【变式5】如图所示，已知抛物线y=(x-2)(x+a)a>0)与x轴交于点A,B,与y轴交 于点C,且点A在点B的左侧，连接AC,BC B (1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值； (2)在(1)的条件下，求出△ABC的面积. 【答案】(1)a=4: (2)S△4BC=6. 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式， (1)将点M(-2,-2),代入解析式，求出a的值即可： (2)根据解析式，求出A,B,C的坐标，利用面积公式进行计算即可. 10/35 【详解】(1)解：将M(-2,-2)代入抛物线解析式，得-2=(-2-2)(-2+a), 解得a=4.经检验a=4是原方程的解. (2)(1),知抛物线解析式为y=c-2)(x+4), 当y=0时，得x-2)x+4)=0, 解得x1=2,x2=-4. ,点A在点B的左侧， ∴.点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(2,0). 当x=0时，得y=-2, .点C的坐标为(0，-2)， .S△A8c=×4-(-2引×2=6. 题型3.根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+3=0的 根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等的正实数根 D.有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系. 直接根据函数图象作答即可· 【详解】解：，y=ax2+bx+c的图象与y=-3只有一个交点，且方程ax2+bx+c+3=0 即ax2+bx+c=-3的根就是抛物线y=ax2+bx+c的图象与y=-3的交点的横坐标， ∴，关于x的方程ax2+bx+c+3=0有两个相等实数根. 故选：B. 【例2】抛物线y=-x2+bx+3的对称轴x=3,若关于x的一元二次方程-x2+bx+3+ t=0在-1<x≤6范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是() 11/35 A.3≤t<12 B.-12<t<3 C.3<t≤12 D.-12<t≤-3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，由抛 物线对称轴求出b,将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不 等实根的条件，确定-t的范围，进而得到t的取值范围，即可作答. 【详解】解：：抛物线y=一x2+bx+3的对称轴x=3, -=3 即=3， .b=6, 抛物线为y=-x2+6x+3, 方程-x2+6x+3+t=0可化为-x2+6x+3=-t, 即函数y=-x2+6x+3与y=-t在-1<x≤6内有两个交点， 当x=3时，y=-32+6×3+3=12, 当x=6时，y=-62+6×6+3=3, 当x=-1时，y=-(-1)+6×(-1)+3=-4, :关于x的一元二次方程-x2+bx+3+t=0在-1<x≤6范围内有两个不相等的实数根， ∴.-t需满足3≤-t<12, 即-12<t≤-3， 故选：D 【变式1】如表列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值， 则一元二次方程ax2+bx+c=6的其中一个解的取值范围是() 15 3 A.1<x<2 B.2<x<3 C.-3<x<-2 D.0<X<1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根 据表格可得对称轴为直线x=0,函数开口向上，则可确定y=6时自变量的取值范围，进 而可得答案。 12/35 【详解】解：，当x=-1和当x=1时的函数值都是3， ∴.对称轴为直线x=0, 3>-1, .当x=一1时的函数值大于x=0时的函数值， 函数开口向上， ∴，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ,x=-2时，y=15,x=-1时，y=3, ∴.一元二次方程ax2+bx+c=6的其中一个解的取值范围是-2<x<-1, ∴.由对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=6的另一个解的取值范围是1<x<2, 故选：A. 【变式2】抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,5)，对称轴为直线x=1,则一元二次方程 ax2+bx+c=5的解是 【答案】 x1=-1,x2=3 【分析】根据二次函数的对称性求出已知点（一1,5）关于对称轴x=1的对称点，结合二次函 数与一元二次方程的关系，即可得到一元二次方程ax2+bx+c=5的解. 【详解】解：，抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,5)，对称轴为直线x=1, ·由抛物线对称性可得：对称轴：x=+2=1 2 2=1 解得：x2=3, ∴.点(-1,5)关于直线x=1的对称点坐标为(3,5)， 一元二次方程ax2+bx+c=5的解即为抛物线y=ax2+bx+c中，当y=5时对应的x的 值 ∴.一元二次方程ax2+bx+c=5的解为x1=-1,x2=3. 故答案为：x1=-1,x2=3 【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，若关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是 13/35 【答案】m≤10 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解.直接根据函数 图象作答即可。 【详解】解：由图可知，当m≤10时，y=ax2+bx+c与y=m有交点， 所以若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是m≤10 故答案为：m≤10. 题型4.求x轴与抛物线的截线长 【例1】在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3 个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解。 【详解】解：将二次函数y=(x+1)(x-3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后所得的函 数解析式为y=(x+1)(x-3)+3-3,即为y=(x+1)(x-3), 此抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0)，(3,0)， 则此抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3-(-1)=4， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的 交点式是解题关键。 【例2】二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，则AB的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】c 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解 题的关键.根据题意，得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,故AB=x2-x1=4, 14/35 解答即可、 【详解】解：根据题意，得-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, 故AB=X2-x1=4, 故选：C 【变式1】已知抛物线y=x2与一次函数y=2x+6交于A,B两点，则线段AB的长度为() A.20V2 B.20V3 C.40v3 D.20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到x2-2x-6=0,利用根与系数的关系。 再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案， 【详解】解：抛物线y=x与一次函数)=2x+6交于A,B两点， 1y2 联立{ y= 消元得x2-2x-6=0, y=2x+6 X1+x2=8,x1x2=-24, AB=x1-2)2+01-y2)2 √x1-x2)2+[(2x1+6)-(2x2+6]2 Jc1-x2)2+(21-2x2)2 √5(x1-x2)2 V5[x1+x2)2-4x12] =V5×[82-4×(-24)] =20V2 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程 根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系 数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键， 【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点间的距离为 15/35 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题， 直接根据图像作答即可」 【详解】解：由图可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点间的距离为1-(-5)=6. 故答案为：6. 【变式3】已知抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A,B,则线段AB的长为 【答案】22 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，可得x2-2x-1=0,求解x1=V2+1 和x2=一V2+1,再进一步解答即可。 【详解】解：抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A,B ∴.x2-2x-1=0 解得：x1=√2+1，x2=-V2+1: .A(V2+1,0),B(-2+1,0) ∴.AB=V2+1-(-V2+1)=2W2 故答案为：2V2 题型5，由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)一个 解的范围是() X 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 -0.02 0.03 0.09 A.3<x<3.23 B.3.23<X<3.24 C.3.24<X<3.25D.3.25<x<3.26 【答案】c 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程ax2+bx+c=0的解就是二次函 数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可. 16/35 【详解】令y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)， ,当x=3.24时，y=ax2+bx+c=-0.02<0, 当x=3.25时，y=ax2+bx+c=0.03>0, .当3.24<x<3.25时，y必然取到0， 即方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是：3.24<x<3.25. 【例2】二次函数y=ax2-2ax+c部分x和y的值如表：则方程ax2-2ax+c=0的较大 的根范围是() -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75 A.-0.8<x<-0.7 B.-0.7<x<-0.6 C.2.7<x<2.8 D.2.6<x<2.7 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点， 掌握数形结合思想成为解题的关键. 先求得对称轴为直线x=1,再根据表格数据得ax2-2ax+c=0的较小的根的范围为 -0.8<x<-0.7,最后根据二次函数图象的对称性即可解答. 【详解】解：依题意，函数y=a2-2ar+c的对称销为直线x=一-会=1， 由表格数据可得： 当x=-0.8时，y=0.24>0;当x=-0.7时，y=-0.11<0, ∴.ax2-2ax+c=0的较小的根的范围为-0.8<x<-0.7, 设较小根为x1,较大根为x2, ,函数y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1, .x2=2-x1 当x1=-0.8时，x2=2-(-0.8)=2.8: 当x1=-07时，x2=2-（-0.7)=2.7 ∴ax2-2ax+c=0的较大的根的范围是2.7<x<2.8. 故选：C 【变式1】根据下表中二次函数y=x2一2x一2的自变量x与函数值y的对应值估算一元二次 17/35 方程x2-2x-2=0的一个近似解x的范围是() -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 y=x2-2x-2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75 A.-0.9<x<-0.8 B.-0.8<x<-0.7 C.-0.7<x<-0.6 D.-0.6<x<-0.5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的 变换是解题的关键。 根据x=-0.8,y=0.24,x=-0.7,y=-0.11,由函数值的正负变换即可求解. 【详解】解：由表格信息可得当x=-0.8时，y=0.24;当x=-0.7时，y=-0.11, ∴.当一元二次方程x2-2x-2=0的一个近似解x的范围是-0.8<x<-0.7, 故选：B. 【变式2】在关于x的二次函数y=ax2+bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变 量x与函数y的几组对应值： 1 2 3 4 5 6 8 y=ax2+bx+c -3.19 3.10 -2.71 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中， 其中的一个实数 根约等于 (结果保留小数点后一位小数). 【答案】5.9答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在5~6之间，据此可得答案。 【详解】解：由表格可知，当x=5时，y=-110<0,当x=6时，y=0.14>0, .10.14-0川<-1.10-01 ∴.根更靠近6，可估算为5.9， ∴.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答 案不唯一). 【变式3】抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程x2+ (b+1)x+3-t=0(t为实数)在-4≤x<1的范围内x只能取一个值使方程成立，则t的值 是 18/35 【答案】7或好 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解，x2+3x+3-t=0的解看作看作是函数y= x2+2x+3与函数y=-x+t的交点问题，分以上两种情况即可求解.本题考查了二次函数 的图象及性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数图象交点，能够将方 程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键. 【详解】解：：抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=-1, -岛-1 ∴.b=2, .关于x的一元二次方程x2+(b+1)x+3-t=0即为x2+3x+3-t=0, 当方程x2+3x+3-t=0由两个相等的实数根时，△=32-43-t)=4t-3=0, 解得t=子 此时2+3x+3-是=0 解得x1三=-是 ,关于x的一元二次方程x2+(b+1)x+3-t=0(t为实数)在-4≤x<1的范围内x只能 取一个值使方程成立， t=符合题意： 把x2+3x+3-t=0的解看作看作是函数y=x2+2x+3与函数y=-x+t的交点的横坐 标，如图， 可知，当x=-4时，y=x2+2x+3=11, 即交点为(-4,11)时满足题意，此时11=4+t,解得t=7, 故答案为：7或好 19/35 题型6.由二次函数图像解一元二次不等式 【例1】己知函数y=x2+Qx+b的图象如图所示，当y>0时，则于x的取值范围是() A.-1<x<3B.x<-1或x>3C.x<0或x>3D.0<x<3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可· 【详解】解：由图象可知，当y>0时，x<-1或x>3, 故选：B, 【例2】抛物线y=ax2+bx+c如图所示，回答下列问题. (1)方程ax2+bx+c=-3的解是 (2)关于x的不等式ax2+bx+c<-3的解集是 (3)当-2≤x<2时，y的取值范围是 (4)若关于x的方程ax2+bx+c=t的两个实数根异号，则t的取值范围是 【答案】(1)x1=-2,x2=0 (2)-2<x<0 3)-4≤y<5 4)t>-3 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二 次函数的取值范围、根的符号与系数的关系.抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如(0，一3）) 的特征是关键，易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向：计算端点γ值时出错. (1)根据抛物线过(0，-3)及对称轴x=-1,找对称点得解： 20/35 (2)由开口方向和交点，确定y<-3对应的x区间； (3)结合顶点（最小值）和x=2时的y值（最大值）确定范围： (4)利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围： 【详解】(1)解：抛物线过点(0，-3)，且对称轴为x=-1,由对称性知另一交点为x=-2, 故解为x1=-2,X2=0 故答案为：x1=一2，x2=0. (2)解：抛物线开口向上，y<-3对应两点x=-2与x=0之间的区域，故解集为-2<x< 0. 故答案为：-2<x<0. (3)解：抛物线顶点为(-1，-4)： 由对称性得，x=2与x=-4对称，y值大于-3，.当x=2时，y>-3, ,结合开口向上，x=2时y=a(2+1)2-4=9a-4,由x=0时y=-3得c=-3,顶点 六=-1，-4，解得a=1,故x=2时y=1×4+2×2-3=5.故取值范国为 4a -4≤y<5. 故答案为：-4≤y<5. (4)解：方程即ax2+bx+(c-t)=0,根异号则常数项c-t<0(a>0),且抛物线顶 点ymin=-4,故t>-3(c=-3),结合有实根需t≥-4，最终范围为t>-3. 故答案为：t>-3. 【变式1】如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，当 y1>y2时，x的取值范围是() A.-2<X<1 B.x<-2或x>1C.x>-2 D.x<1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n相交于两点的横坐标分别为-2,1，即可得. 21/35 【详解】解：根据图象得，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n相交于两点， 两点的横坐标分别为-2,1， 则当y1>y2时，x的取值范围为x<-2或x>1. 故选：B. 【变式2】如图：抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(-1,p),B(4,q),则不等 式ax2-mx≥n-c的解集是 【答案】x≤-1或x≥4 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点A的左侧和点B 的右侧不等式ax2-mx≥n-c成立，再根据点A、B的横坐标写出不等式的解集. 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧不等式ax2-mx≥n-c成立， ~点A的坐标是(-1，p),点B的坐标是(4，q), 不等式ax2-mx≥n-c的解集是x≤-1或x≥4. 故答案为：x≤-1或x≥4. 【变式3】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,6),B(1,3), 则不等式ax2≥bx+c的解集是 【答案】x≤-3或x≥1/x≥1或x≤-3 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题.解题的关键是：利用数形结合的 思想确定图象的位置关系 利用图象找到抛物线在直线上方时的x的取值范围，即可得解. 【详解】解：，ax2≥bx+c, 22/35 .化为抛物线y=ax2在直线y=bx+c上方， 由图可知： 当x≤-3或x≥1时，抛物线在直线上方，即：ax2≥bx+c: .不等式ax2-bx-c≥0的解集是：x≤-3或x≥1： 故答案为：x≤-3或x≥1. 【变式4】如图，抛物线y1=Qx2-2x+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点. (1)求此抛物线的解析式： (2)过点A的直线y2=mx+n与抛物线在第一象限交于点D,若点D的横坐标为4，请直接写 出当y2<y1时，x的取值范围是」 【答案】(1)y1=x2-2x-3: (2)x<-1或x>4. 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等 式解集，掌握二次函数图形的性质是关键. (1)利用待定系数法求解即可： (2)利用图象法求解即可. 【详解】(1)解：，抛物线y1=ax2-2x+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点， 品±6-0 解得2二3 抛物线的解析式为y1=x2-2x-3: (2)解：观察图象可知当x<-1或x>4时，当y2<y1, 故答案为：x<-1或x>4. 【变式5】我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题， 如图是一个二次函数y=ax2+bx+c的图象，与x轴交点的横坐标分别是-1和5，所以y>0 的解集是x>5或x<-1;y<0的解集是-1<x<5,所以我们可以借助二次函数图象来 23/35 解一元二次不等式.例：解不等式：x2<4x+5. 第一步：化为一般式：x2一4x-5<0: 第二步：求相应方程的根：x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1: 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数y=x2-4x-5的图象（如图)： 第四步：根据图象得到不等式的解集为-1<x<5. 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式x2-3x-4>0的解集为 (2)一元二次不等式x2+2x+3>0的解集为 (3)一元二次不等式x2+ax+b<0的解集为-4<x<2,则a= (4)己知不等式mx2+4mx-4<0对实数x都成立，则m的取值范围是 【答案】(1)x>4或x<-1: (2)x任意实数 (3)2,-8: 4)-1<m≤0. 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次 函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键。 (1)根据题中例题即可求解： (2)当x2+2x+3=0时，所以x无实数根，则与x轴无交点，从而求出x的范围： (3)由一元二次不等式x2+ax+b<0的解集为-4<x<2,则x2+ax+b=0的两个实 数根为x1=-4,x2=2,然后根据根与系数的关系得-Q=-4+2,b=-4×2,求出a、b 的值即可； (4)分当m=0时，-4<0，对实数x都成立，当m≠0时，设mx2+4mx-4=0,则△= (4m)2-4×m×(-4)=16m2+16m,然后根据不等式mx2+4mx-4<0对实数x都成立， 所以16m2+16m<0,最后求出m的取值范围即可. 【详解】(1)解：求相应方程的根：x2-3x-4=0,解得x1=4,x2=-1, 画出相应二次函数的图象：作二次函数y=x2-3x-4的图象，如图， 24/35 2-0123本 -6 ∴.根据图象得到不等式的解集为：x>4或x<-1, 故答案为：x>4或x<-1: (2)解：当x2+2x+3=0时， .△=22-4×1×3=-10<0， x无实数根， .与x轴无交点， 作二次函数y=x2+2x+3的图象，如图， 32-1012大 ∴.x2+2x+3>0的解集为：x任意实数， 故答案为：x任意实数： (3)解：：一元二次不等式x2+ax+b<0的解集为-4<x<2,如图， 5-43-2-1@123 -2 -3 -4 -5引 -7 -8 ∴x2+ax+b=0的两个实数根为x1=一4，x2=2, .-a=-4+2,b=-4×2, .a=2,b=-8, 故答案为：2，-8： 25/35 (4)解：当m=0时，-4<0，对实数x都成立， 当m≠0时， 设mx2+4mx-4=0, ∴.△=(4m)2-4×m×(-4)=16m2+16m, ,不等式mx2+4x-4<0对实数x都成立， .A<0, ∴.16m2+16m<0, ∴.①m>0时，无解： ②m<0时，-1<m<0, 综上可知：m的取值范围是-1<m≤0， 故答案为：-1<m≤0. 巩固练习 1.(2026黑龙江哈尔滨.一模)抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴交点坐标是() A.(0,-3) B.(0,-1) C.(1,-3) D.(0,-5) 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式计算出y的值，即可得 到交点坐标. 【详解】解：当x=0时，y=-2(x-1)2-3 =-2×(0-1)2-3 =-2×1-3 =-5, ,抛物线与y轴的交点坐标是(0，-5). 2.(2026江苏南京.二模)函数y=x2-(m+1)x+m(m为常数)的图象与x轴公共点的 个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于y=0时对应一元二次方程的实数根个 26/35 数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数 【详解】当函数图象与x轴相交时，y=0,可得一元二次方程x2-(m+1)x+m=0, a=1,b=-(m+1),c=m, b2-4ac=[-(m+1)]-4×1×m=m2+2m+1-4m=(m-1)2, 任意实数的平方都大于等于0， b2-4ac≥0， 当m=1时，b2-4ac=0,方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点： 当m≠1时，b2一4ac>0,方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D. 3.（2026河南周口一模)若二次函数y=2x2-x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c 的值为() A.-2 B.-1 、1 D. 8 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到△=0，结合二次项的系数不为0，进 行求解即可. 【详解】解：二次函数y=2x2-x+c的图象与x轴只有一个交点， △=b2-4ac=(-1)2-4×2×c=0. 解得c=。 4.(25-26九年级上，浙江宁波.期末)若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A(1,1),则方 程x2-6x+c=1的解为() A.x=1 B.X=6 C.x=1或x=-7 D.x=1或x=5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性.先根据二次函 数的对称性求出二次函数图象与直线y=1的另一个交点坐标，进而求出方程x2-6x+c= 1的解. 【详解】解：，方程x2-6x+c=1的解是二次函数y=x2-6x+c与直线y=1交点的横 坐标， 已知其中一个交点为(1,1)， 27/35 三次函数=2-6+c的对称轴为x=-吾3， 设另一个交点横坐标为x, 由二次函数的对称性得牛=3， 2 解得x=5, .方程的解为x=1或x=5, 故选：D. 5.(25-26九年级上河南南阳·期末)根据下表中二次函数y=ax2+bx的取值情况，可知方 程ax2+bx-3=0的根是() -3 y=ax2+bx 15 A.x1=0,x2=2 B.X1=-1,X2=3 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-3,x2=5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系. 将方程ax2+bx-3=0转化为ax2+bx=3,方程的根即为二次函数y=ax2+bx中函数值 为3时对应的x值，通过表格查找对应x即可求解， 【详解】解：，方程ax2+bx-3=0可变形为ax2+bx=3, ∴.该方程的根是二次函数y=ax2+bx的函数值为3时对应的x值， 由表格数据可知，当x=-1时，y=3:当x=3时，y=3, ∴.方程ax2+bx-3=0的根是x1=-1,x2=3. 故选：B 6.(25-26九年级上山西晋城期末)设二次函数y=Qx2+bx+c(a≠0)，下表列出了x与y 的6对对应值： 0 1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解的大致范围是() A.-7<X<-5 B.1<x<2C.-5<x<-1 D.-1<x<0 28/35 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y 为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围， 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存 在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可. 【详解】解：：当x=1时，y=-1<0:当x=2时，y=5>0: 又，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是连续的抛物线： ∴.在1<x<2的区间内，存在x使得y=0,即一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解的 大致范围是1<x<2. 故选：B 7.(2026重庆綦江.二模)如图，抛物线y=ax2+b与直线y=mx+n交于A(-2,p),B(5,q) 两点，则不等式ax2-mx+b>n的解集是 【答案】x<-2或x>5 【详解】解：，ax2-mx+b>n, ..ax2 +b>mx+n, ∴.不等式ax2-mx+b>n的解集是x<-2或x>5. 8.(2026河南南阳.一模)己知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： 2 0 2 7 -5 9 5 0 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 【答案】x1=5,x2=-1 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到y=0对应 的另一个x的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点(0，-5)，(4，-5)都在二次函数y=ax2+bx+c的图象上， 29/35 ·二次函数图象的对称轴为直线x=生2， 由表格信息可得，当x=5时，y=0, ·点(5,0)关于对称轴x=2的对称点为(-1,0)， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=5. 9.(25-26九年级下·黑龙江·期中)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1, 与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(-4,0)，则方程ax2+bx+c=0的两根是 【答案】 x1=-4,x2=6 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而 得到方程的另一个根， 【详解】解：，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的两根，其中一个交点为B(-40), ∴.方程的一个根为x1=一4， 设方程的另一个根为x2, 又∵抛物线的对称轴为直线x=1, 2+型=1， 2 解得x2=6, .方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-4,x2=6. 10.(25-26九年级上陕西渭南·期末)已知二次函数y=x2-3mx+m2-1(m是常数)，求 证：无论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点. 【答案】证明见解析 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，核心知识点是利用一元二次方程根的判别式 判断交点个数.二次函数图象与x轴的交点个数对应其对应的一元二次方程的实数根个数， 要证明总有两个交点，只需证明对应方程的判别式△>0恒成立. 【详解】解：对于二次函数y=x2-3mx+m2-1,对应的一元二次方程为x2-3mx+m2 1=0. ,此方程中a=1,b=-3m,c=m2-1, ∴.判别式△=b2-4ac=(-3m)2-4×1×(m2-1)=9m2-4m2+4=5m2+4>0, 即△>0恒成立. 30/35 :.无论m为何值，一元二次方程x2-3mx+m2-1=0总有两个不相等的实数根， ∴.该二次函数的图象与x轴总有两个交点. 11.(25-26九年级上江苏准安期末)已知二次函数y=x2-6x-k2(k为常数). (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点： (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1，求出k的值及另一个交点的坐标， 【答案】(1)见解析 (2)k=土√7，另一个交点的坐标为(7,0) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式： (1)通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明： (2)代入(-1,0)到=x2-6x-k2,求出k的值，进而求出另一个交点的坐标. 【详解】(1)证明：令y=0,则x2-6x-k2=0, △=(-6)2-4×1×(-k2)=4k2+36, ,k2≥0， .4k2+36≥36>0， 即A>0, ∴.无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点： (2)解：代入(-1,0)得，1+6-k2=0, 解得k=土V7, 当k=±V7时，y=x2-6x-7, 令y=0,则x2-6x-7=0, 解得x1=7,x2=-1, ∴.另一个交点的坐标为(7,0) 12.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2x- 3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. 31/35 (1)求A、B、C三点的坐标： (2)直接写出抛物线的对称轴. 【答案】(1)A(-1,0),B3,0),C(0,-3) (2)抛物线的对称轴为直线x=1 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， (1)令y=0求出解，即可得出点A,B的坐标，再令x=0可得答案： (2)将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案， 【详解】(1)解：令y=0,则x2-2x-3=0, 解得x1=-1,X2=3. :点A在点B左侧， ∴.A(-1,0),B(3,0): 令x=0,则y=-3, .C(0-3): (2)解：抛物线的对称轴为直线x=1. ,抛物线的关系式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线的对称轴为直线x=1. 13.（25-26八年级下·浙江金华期中)如图，己知抛物线y1=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2) 两点，顶点为D (1)分别求抛物线y1=x2+bx+c和直线AB:y2=kx+m(k≠0)的解析式： (2)请根据图象直接写出：y1>y2时x的取值范围； 【答案】(1)y=x2-3x+2:y=-2x+2 (2)x<0或x>1 【分析】(1)用待定系数法即可求解两函数的解析式： (2)观察图象即可求解. 32/35 【详解】a解：把4L0,802)代入y=2+bx+c,得+生50。 解得化。三？子 该抛物线解析式是：y=x2-3x+2, 把a0,Q)代入y=u+m+叭，得20， 解得[加三子 该直线的解析式是y=-2x+2: (2)解：由图象得到：当x<0或x>1时，二次函数y1=x2+bx+c的值大于一次函数y2= kx+m的值 14.(2026河南三门峡.二模)己知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)过点(1，-4). (1)若该抛物线与y轴交于点(0，-3). ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②己知A(-m+3,y1),B(2,y2)在该抛物线上，当y1>y2时，求的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线y=x+n在第四象限内有两个交点， 请直接写出n的取值范围， 【答案】(1)①y=x2-2x-3,（1,-4):②m>3或m<1 2)-6<n<-3+匝 2 【分析】(1)①根据题意得抛物线y=x2+bx+c过点(1，-4)和(0，-3)，用待定系数法即 可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标：②根据抛物线的对称性求出 B(2,y2)关于x=1的对称点为(0，y2),结合增减性，列不等式求解即可； (2)由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得b=-3,再求出c=-2,画出抛物 线图象，找出临界点求解即可. 【详解】(1)解：①由题意可知抛物线y=x2+bx+c过点(1，-4)和(0，-3)， 4二0+c解得6三二2 .y=x2-2x-3=(x-1)2-4 ∴.顶点坐标为(1，-4)： ②①可知抛物线关于x=一忌1对称，开口向上， 则当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大， 33/35 .B(2,y2)关于x=1的对称点为(0，y2), y1>y2, ∴.-m+3<0或-m+3>2, 解得m>3或m<1: (2)解：，该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， .x1+x2=-b=3,即b=-3, 将(1，-4)代入y=x2+bx+c得，-4=1+b+c, 解得c=-2, y=x2-3x-2, 又，'直线y=x+n在第四象限内与抛物线有两个交点， 令y=x2-3x-2=0,解得x1=3亚（舍去）或x,=+巴 2 ÷当y三x+经过点（平0）时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即0=4①+n解得n=-3+亚 2 2 令x2-3x-2=x+n即x2-4x-2-n=0, 当△=(-4)+4×1×(2+n)=24+4n=0时，解得n=-6: 直线y=x+n在第四象限内与抛物线有两个交点时，-6<n<-3+亚 15.(2026河南驻马店·三模)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(0,- 3),B(3,12) (1)求二次函数的解析式： (2)若将点B(3,12)向上平移4个单位长度得到点B1,作点B2,使点B1,B2关于抛物线的对称 轴对称，求点B2的坐标； (3)若点M(t,y1),N(t+1,y2)都在此拋抛物线上，且y1>y2>-4,请直接写出t的取值范围。 【答案】(1)y=x2+2x-3 34/35 (2)(-5,16) Bt<-组t+2 【分析】(1)将A(0,-3),B(3,12)代入y=x2+bx+c求解即可： (2)先据题意求出B1的坐标，再求出对称轴，最后根据题意即可求解； (3)先求出y1、y2,再根据y1>y2>-4建立不等式组，即可求解. 【详解】(1)解：将A(0,-3),B(3,12)代入y=x2+bx+c, {g+6+312解得：(-子 ∫C=-3 ∴.二次函数的解析式为：y=x2+2x-3: (2),将点B(3,12)向上平移4个单位长度得到点B1, .B1(3,16), ,y=x2+2x-3, 对称轴：直线x==-1, ,点B1,B2关于抛物线的对称轴对称， ∴.B2(-1×2-3,16),即B2(-5,16): (3)M(t,y1),N(t+1,y2)都在y=x2+2x-3上， ∴y1=t2+2t-3,y2=(t+1)2+2(t+1)-3=t2+4t, y1>y2>-4, ,(t2+2t-3>t2+4t① 2+4t>4@ 回得：t<-是 由②得：(t+2)2>0,即t≠-2， 综上，t<-组t*2. 35/35 第二十六章 二次函数 03讲 二次函数与一元二次方程 题型归纳 【知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1】 【知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 2】 【知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 2】 【题型1. 抛物线与轴的交点问题 4】 【题型2. 抛物线与轴的交点问题 7】 【题型3. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 11】 【题型4. 求轴与抛物线的截线长 14】 【题型5. 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 16】 【题型6. 由二次函数图像解一元二次不等式 20】 【巩固练习 26】 知识清单 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 1.利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【提示】 ① 由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与轴的交点； ② 图像在轴上方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集； ③ 图像在轴下方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集. 题型专练 题型1. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 【例2】二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据函数图象，对称轴，可得二次函数与轴的另一个交点，再利用抛物线与轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系，即可． 【详解】解：由函数图象可得，二次函数与轴的交点为，对称轴为：， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴当或时，， ∴一元二次方程的解为：，． 故答案为：，． 【变式1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 当时，， ∴， ∴方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点； 综上，抛物线与坐标轴共有两个交点； 故选：C． 【变式2】若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 【变式3】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：2． 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点 ，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 题型2. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 【例2】如图，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，求的面积．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，先求出抛物线与坐标轴的交点以及顶点坐标，利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】解：过点作轴于点E， 令，则，解得：，， ∴， 当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．      【变式1】二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 【变式2】抛物线交y轴于点，则c的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与y轴的交点，根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0列式求解即可． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点， ∴ 解得，， 故答案为：． 【变式3】若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及判别式的应用，先得出抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为，再结合(a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则抛物线 与轴无交点，那么列式，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∴当时，则 即抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为， ∵抛物线 与坐标轴有且仅有一个公共点， ∴抛物线 与轴无交点， ， ． ∴a的范围是． 故答案为：． 【变式4】已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）求出抛物线的对称轴为，连接与对称轴的交点即为点M，求出的解析式，把代入即可求出． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴点，点， 当时，， ∴点； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 连接与对称轴的交点即为点M， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． 【变式5】如图所示，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A在点B的左侧，连接． (1)若抛物线过点，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，求出的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）将点，代入解析式，求出的值即可； （2）根据解析式，求出的坐标，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解∶将代入抛物线解析式，得， 解得．经检验是原方程的解． （2）由(1)，知抛物线解析式为， 当时，得， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，得， ∴点C的坐标为． ∴． 题型3. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【例2】抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 【变式1】如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 【变式2】抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，结合二次函数与一元二次方程的关系，即可得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由抛物线对称性可得：对称轴： ∴， 解得：， ∴点关于直线的对称点坐标为， 一元二次方程的解即为抛物线中，当时对应的的值. ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 【变式3】二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 题型4. 求轴与抛物线的截线长 【例1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 【例2】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式1】已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 【变式2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式3】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 题型5. 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【例2】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式1】根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键． 根据，，，，由函数值的正负变换即可求解． 【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，， ∴当一元二次方程的一个近似解的范围是， 故选：B ． 【变式2】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 【变式3】抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是___________. 【答案】7或 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解，的解看作看作是函数与函数的交点问题，分以上两种情况即可求解．本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数图象交点，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程即为， 当方程由两个相等的实数根时，， 解得， 此时 解得， ∵关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立， ∴符合题意； 把的解看作看作是函数与函数的交点的横坐标，如图，    可知，当时，， 即交点为时满足题意，此时，解得， 故答案为：7或． 题型6. 由二次函数图像解一元二次不等式 【例1】已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 【例2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 【变式1】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式2】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式3】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 【变式4】如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 【变式5】我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或； (2)任意实数 (3)，； (4)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中例题即可求解； （）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围； （）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可； （）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：求相应方程的根：，解得，， 画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图， ∴根据图象得到不等式的解集为：或， 故答案为：或；； （2）解：当时， ∴， ∴无实数根， ∴与轴无交点， 作二次函数的图象，如图， ∴的解集为：任意实数， 故答案为：任意实数； （3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图， ∴的两个实数根为，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （4）解：当时，，对实数都成立， 当时， 设， ∴， ∵不等式对实数都成立， ∴， ∴， ∴ 时，无解； 时，， 综上可知：的取值范围是， 故答案为：． 巩固练习 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 2．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 3．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 7．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 8．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 9．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，核心知识点是利用一元二次方程根的判别式判断交点个数．二次函数图象与轴的交点个数对应其对应的一元二次方程的实数根个数，要证明总有两个交点，只需证明对应方程的判别式恒成立． 【详解】解：对于二次函数，对应的一元二次方程为． ∵此方程中，，， ∴判别式， 即恒成立． ∴无论为何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴总有两个交点． 11．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个交点的坐标为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 14．（2026·河南三门峡·二模）已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①， ；②或 (2) 【分析】（1）①根据题意得抛物线过点和，用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出关于的对称点为，结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得，再求出，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知抛物线过点和， ∴解得， ∴； ∴顶点坐标为； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴关于的对称点为， ∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， ∴，即， 将代入得，， 解得， ∴， 又∵直线在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令，解得（舍去）或， ∴当经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即解得； 令即， 当时，解得； ∴直线在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 15．（2026·河南驻马店·三模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)若将点向上平移个单位长度得到点，作点，使点，关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）先据题意求出的坐标，再求出对称轴，最后根据题意即可求解； （3）先求出，再根据建立不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， ，解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）∵将点向上平移个单位长度得到点， ∴， ∵， ∴对称轴：直线， ∵点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，即； （3）∵，都在上， ∴，， ∵， ∴， 由①得：， 由②得：，即， ∴综上，且． 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 03讲 二次函数与一元二次方程 题型归纳 【知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1】 【知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 2】 【知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 2】 【题型1. 抛物线与轴的交点问题 4】 【题型2. 抛物线与轴的交点问题 5】 【题型3. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 6】 【题型4. 求轴与抛物线的截线长 7】 【题型5. 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 7】 【题型6. 由二次函数图像解一元二次不等式 8】 【巩固练习 11】 知识清单 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 1.利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【提示】 ① 由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与轴的交点； ② 图像在轴上方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集； ③ 图像在轴下方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集. 题型专练 题型1. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【例2】二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是______． 【变式1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【变式3】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 题型2. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，求的面积．    【变式1】二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【变式2】抛物线交y轴于点，则c的值是______． 【变式3】若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为________． 【变式4】已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5】如图所示，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A在点B的左侧，连接． (1)若抛物线过点，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，求出的面积． 题型3. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【例2】抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【变式1】如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【变式2】抛物线经过点，对称轴为直线，则一元二次方程的解是______． 【变式3】二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 题型4. 求轴与抛物线的截线长 【例1】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【例2】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【变式2】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式3】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 题型5. 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【例2】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【变式1】根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【变式3】抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是___________. 题型6. 由二次函数图像解一元二次不等式 【例1】已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【变式1】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式2】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【变式3】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【变式4】如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【变式5】我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 巩固练习 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 8．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 9．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 10．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 11．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 12．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 14．（2026·河南三门峡·二模）已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 15．（2026·河南驻马店·三模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)若将点向上平移个单位长度得到点，作点，使点，关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数 03讲二次函数与一元二次方程 题型归纳 【知识点1二次函数与一元二次方程的关系… …1】 【知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解… 2】 【知识点3二次函数与一元二次不等式的关系 2】 【题型1.抛物线与x轴的交点问题… 。。。。。。。。。。。。。。 4】 【题型2.抛物线与y轴的交点问题…5】 【题型3.根据二次函数图像确定相应方程根的情况 6】 【题型4.求x轴与抛物线的截线长… …7】 【题型5.由二次函数图像确定一元二次方程的近似根… 0 【题型6.由二次函数图像解一元二次不等式… …8】 【巩固练习… …11】 知识清单 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根 为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 (1)若抛物线y=ax2+bx+c(a时0)与x轴两交点的横坐标分别为x1,x,则x1,x为一元二次 方程ax2+bx+c=0(a时0)的两个根. (2)二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 1/14 a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 -b±Vb2-4ac X1.2= 2a X== 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 X1=x3= 2a x1=x2=-2a y b2-4ac<0 无实数根 知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1)画出二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象： (2)确定二次函数y=2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； (3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y值正负交替的地方 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置： 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两 个对应值之中必有个近似根： 比如x由x1取到x时，对应y的值出现y1>0,<0或y1<0,y2>0,那么1，x中必有一 个是近似根，比较y与by的大小，若y1>by,则说明x是近似根：反之，则说明x1是近 似根； 从图象上观察，(x,y)离x轴越近，y值越接近O,而y=0时x的值就是方程的确切根。 知迟点3二次函数与一元二次不等式的关系 1利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 2/14 (1)将一元二次不等式化为2+bx+c>0(或<0)的形式： (2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值： (3)作出不等式对应的二次函数=2+bx+c的草图； (4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值 小于零. 以Jy=2+bx+C(0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c (心O)的图像 元二次方程 ax2+bx+c=0 X1,X2 b 没有实数根 (a心0)的根 不等式 ax2+bx+c>0 x<x1或x>X ≠x1的一切实数 全体实数 (心O)的解集 不等式 2+bx+c<0 KYK2 无解 无解 (心0)的解集 【提示】 ①由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与x轴的 交点： ②图像在x轴上方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式ax+bx+c>0 的解集： ③图像在x轴下方的部分，所对应的自变量x的取值范围就是一元二次不等式2+bx+c<0 的解集。 3/14 >盟型专练 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为 () A.118 B.119 C.120 D.121 【例2】二次函数y=-x2-x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x 21 x+m=0的解是 2 【变式1】抛物线y=x2+4x+4与坐标轴的交点个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式2】若关于x的二次函数y=-x2+mx+n的图象与x轴的交点坐标是(-1,0)和(3,0)， 则关于x的一元二次方程-x2+mx+n=0的解为() A.X1=X2=0 B.x1=1,X2=-3 C.x1=1,x2=0 D.X1=-1,X2=3 【变式3】在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-2024)(x-2026)-3的图象向上平 移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ= 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点，点B 的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上， (1)求抛物线的函数解析式： (2)求△ABC的面积. 4/14 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【例1】抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点坐标是() A.(-1,0) B.(3,0) C.(0,3) D.(0,-3) 【例2】如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,D两点，与y轴交于点C,顶点为B, 求△ABC的面积. 【变式1】二次函数y=x2-2x+1的图象与坐标轴交点的情况是() A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 【变式2】抛物线y=x2+2x+c交y轴于点(m+5,m),则c的值是 【变式3】若抛物线y=x2-ax+1(a为常数)与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围 为 【变式4】己知抛物线y=(x+4)(x-6)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交 于点C. (1)求A,B,C三点的坐标， (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 5/14 【变式5】如图所示，已知抛物线y=(x-2)x+a)(a>0)与x轴交于点A,B,与y轴交 于点C,且点A在点B的左侧，连接AC,BC. B (1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值： (2)在(1)的条件下，求出△ABC的面积. 题型3.根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+3=0的 根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等的正实数根 D.有两个异号实数根 【例2】抛物线y=-x2+bx+3的对称轴x=3,若关于x的一元二次方程-x2+bx+3+ t=0在-1<x≤6范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是() A.3≤t<12 B.-12<t<3 C.3<t≤12 D.-12<t≤-3 【变式1】如表列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值， 则一元二次方程ax2+bx+c=6的其中一个解的取值范围是() y y 15 -1 A.1<x<2 B.2<x<3 C.-3<x<-2D.0<x<1 6/14 【变式2】抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,5)，对称轴为直线x=1,则一元二次方程 ax2+bx+c=5的解是 【变式3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，若关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是一， 题型4.求x轴与抛物线的截线长 【例1】在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x一3)+3的图象沿y轴向下平移3 个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，则AB的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】已知抛物线y=x2与一次函数y=2x+6交于A,B两点，则线段AB的长度为() A.20V2 B.20V3 c.40v3 D.20 【变式2】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点间的距离为 【变式3】已知抛物线y=x2-2x-1与x轴交于点A,B,则线段AB的长为一· 题型5.由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)一个 解的范围是() 7/14 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 A.3<X<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26 【例2】二次函数y=ax2-2ax+c部分x和y的值如表：则方程ax2-2ax+c=0的较大 的根范围是() -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75 A.-0.8<x<-0.7 B.-0.7<x<-0.6 C.2.7<x<2.8 D.2.6<x<2.7 【变式1】根据下表中二次函数y=x2-2x-2的自变量x与函数值y的对应值估算一元二次 方程x2-2x-2=0的一个近似解x的范围是() -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 y=x2-2x-2 0.61 0.24 -0.11 -0.44 -0.75 A.-0.9<x<-0.8 B. -0.8<x<-0.7 C.-0.7<x<-0.6 D.-0.6<X<-0.5 【变式2】在关于x的二次函数y=ax2+bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变 量x与函数y的几组对应值： 1 2 3 4 5 6 7 8 y=ax2+bx+c -3.19 3.10 -2.71 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中， 其中的一个实数 根约等于 (结果保留小数点后一位小数) 【变式3】抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程x2+ (b+1)x+3-t=0(t为实数)在-4≤x<1的范围内x只能取一个值使方程成立，则t的值 是 题型6。由二次函数图像解一元二次不等式 【例1】已知函数y=x2+ax+b的图象如图所示，当y>0时，则于x的取值范围是() 8/14 A.-1<x<3B.x<-1或x>3C.x<0或x>3D.0<x<3 【例2】抛物线y=ax2+bx+c如图所示，回答下列问题. (1)方程ax2+bx+c=-3的解是 (2)关于x的不等式ax2+bx+c<-3的解集是 (3)当-2≤x<2时，y的取值范围是 (4)若关于x的方程ax2+bx+c=t的两个实数根异号，则t的取值范围是 【变式1】如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，当 y1>y2时，x的取值范围是() A.-2<x<1 B.x<-2或x>1 C.X>-2 D.x<1 【变式2】如图：抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(-1,p),B(4,q),则不等 式ax2-mx≥n-c的解集是 9/14 【变式3】如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,6),B(1,3), 则不等式ax2≥bx+c的解集是 【变式4】如图，抛物线y1=ax2-2x+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点. (1)求此抛物线的解析式： (2)过点A的直线y2=mx+n与抛物线在第一象限交于点D,若点D的横坐标为4，请直接写 出当y2<y1时，x的取值范围是 【变式5】我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题， 如图是一个二次函数y=ax2+bx+c的图象，与x轴交点的横坐标分别是-1和5，所以y>0 的解集是x>5或x<-1;y<0的解集是-1<x<5,所以我们可以借助二次函数图象来 解一元二次不等式.例：解不等式：x2<4x+5. 第一步：化为一般式：x2-4x-5<0; 第二步：求相应方程的根：x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1: 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数y=x2一4x一5的图象（如图）： 第四步：根据图象得到不等式的解集为-1<x<5 10/14 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式x2-3x-4>0的解集为 (2)一元二次不等式x2+2x+3>0的解集为 (3)一元二次不等式x2+ax+b<0的解集为-4<x<2,则a= (4)已知不等式mx2+4mx-4<0对实数x都成立，则m的取值范围是 巩同练习 1.（2026黑龙江哈尔滨.一模)抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴交点坐标是() A.(0,-3) B.(0,-1) C.(1,-3) D.(0,-5) 2.(2026江苏南京·二模)函数y=x2-(m+1)x+m(m为常数)的图象与x轴公共点的 个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 3.（2026河南周口.一模)若二次函数y=2x2-x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c 的值为() A.-2 B.-1 c.-日 0.月 4.(25-26九年级上浙江宁波期末)若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A(1,1),则方 程x2-6x+c=1的解为() A.x=1 B.X=6 C.x=1或x=-7 D.x=1或x=5 5.(25-26九年级上河南南阳.期末)根据下表中二次函数y=ax2+bx的取值情况，可知方 程ax2+bx-3=0的根是() -3 -2 0 y=ax2 +bx 15 0 A.x1=0,X2=2 B.X1=-1,X2=3 C.x1=-2,x2=4 D.X1=-3,X2=5 6.(25-26九年级上山西晋城·期末)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，下表列出了x与y 11/14 的6对对应值： -1 0 3 2 -7 -5 -1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解的大致范围是() A.-7<x<-5 B.1<x<2 C.-5<X<-1 D.-1<x<0 7.(2026重庆綦江二模)如图，抛物线y=ax2+b与直线y=mx+n交于A(-2,p),B(5,q) 两点，则不等式ax2-mx+b>n的解集是 8.(2026河南南阳.一模)己知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： -2 0 2 5 2 5 -9 -5 0 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 9.(25-26九年级下·黑龙江·期中)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1, 与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(-4,0)，则方程ax2+bx+c=0的两根是 10.(25-26九年级上.陕西渭南期末)已知二次函数y=x2-3mx+m2-1(m是常数)，求 证：无论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点. 11.(25-26九年级上江苏淮安期末)已知二次函数y=x2-6x-k2(k为常数). (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点： (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1，求出k的值及另一个交点的坐标 12/14 12.(25-26九年级上河南周口期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2x- 3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C (1)求A、B、C三点的坐标： (2)直接写出抛物线的对称轴. 13.（25-26八年级下·浙江金华.期中)如图，己知抛物线y1=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2) 两点，顶点为D B O AD (1)分别求抛物线y1=x2+bx+c和直线AB:y2=kx+m(k≠0)的解析式； (2)请根据图象直接写出：y1>y2时x的取值范围： 13/14 14.(2026河南三门峡.二模)己知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)过点(1，-4). (1)若该抛物线与y轴交于点(0，-3) ①求该抛物线的解析式及顶点坐标： ②已知A(-m+3,y1),B(2,y2)在该抛物线上，当y1>y2时，求m的取值范围： (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线y=x+n在第四象限内有两个交点， 请直接写出n的取值范围。 15.(2026河南驻马店.三模)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(0, 3),B(3,12) (1)求二次函数的解析式： (2)若将点B(3,12)向上平移4个单位长度得到点B1,作点B2,使点B1,B2关于抛物线的对称 轴对称，求点B2的坐标： (3)若点M(t,y1),N(t+1,y2)都在此抛物线上，且y1>y2>-4,请直接写出t的取值范围. 14/14