25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过物理上抛问题导入，先回顾直接开平方法、配方法、公式法，关联因式分解的提取公因式、公式法、十字相乘法，引导学生发现新解法，构建前后知识支架。 其亮点在于以物理情境激发探究（数学眼光），对比不同解法总结“移项、分解、转化、求解”步骤（数学思维），规范符号表达与步骤（数学语言）。实例有问题引导、例题示范、解法选择思路，助学生培养方程解法选择能力，为教师提供清晰教学流程和检测素材。

25.2.3 因式分解法 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 知道因式分解法，会用因式分解法解一元二次方程 2 能根据具体一元二次方程的特征，选择合适的解法，体会解决问题的多样性 旧识回顾 我们已经学过哪些解一元二次方程的方法? 直接开平方法，配方法，公式法. 多项式的因式分解有哪些方法？ (1) 提取公因式法： am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c) (2) 公式法： a2－b2＝(a＋b)(a－b) (3) 十字相乘法： x2＋(p＋q)x2＋pq＝(x＋p)(x＋q) a2±2ab＋b2＝(a±b)2 探索新知 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x－5x2＝0. 你能试着用学过的方法解这个方程吗？ 探索新知 10x－5x2＝0 配方法 公式法 整理，得 5x2－10x＝0 系数化为 1，得 x2－2x＝0 配方，得 (x－1)2＝1 x－1＝±1 x1＝2，x2＝0 x＝1±1 整理化简，得 x2－2x＝0 a＝1，b＝－2，c＝0 Δ＝b2－4ac＝(－2)2－0＝4＞0 x1＝2，x2＝0 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？ 探索新知 观察方程 10x－5x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？和同伴交流. 两个因式的积等于零 至少有一个因式为零 10x －5x2＝0 x1＝0，x2＝2 x＝0 或　10－5x＝0 x(10－5x)＝0 依据： 如果 a·b＝0， 那么 a＝0 或 b＝0． 对于这两个根，x1＝0 表示物体抛离地面的时刻，即在 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m；而 x2＝2 表示物体在抛离地面 2 s 时落回地面. 探索新知 思考 解方程 10x－5x2＝0 时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由 10x－5x2＝0 到 x＝0 或 10－5x＝0 的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次． 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 典型例题 解：(1) 左边分解因式，得 (x－2)(x＋1)＝0. 于是 x－2＝0，或 x＋1＝0. 即 x1＝2，x2＝－1. 例 4 解下列方程： (1) x(x－2)＋x－2＝0； (2) . 解：(2) 移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 左边分解因式，得 (2x＋1)(2x－1)＝0. 于是 2x＋1＝0，或 2x－1＝0. 即 探索新知 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1) 移项：将方程的右边化为 0； (2) 分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3) 转化：令每个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程； (4) 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式， 如 x(x－1)＝x，若约去 x，则会丢失 x＝0 这个根． 探索新知 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程后，你能说说它们各自的特点吗？ 配方法要先求配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 探索新知 解法选择的思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时 (ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为 0 (ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为 0 (ax2＋bx＋c＝0)，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是 1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 当堂检测 当堂检测 B 当堂检测 A 当堂检测 －2 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 因式分解法 概念 原理 步骤 如果 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0. 将方程左边因式分解，右边＝0. 1.移项；2.分解；3.转化；4.求解 THANKS 1.我们规定一种新运算“★”，其意义为a★，若★，则x的值为( ) A.， B.， C.， D.， 解析：∵，∴★， 又∵★， ∴，，， 解得：，. 2.新定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则n的值为( ) A.或 B.1 C. D.1或9 解析：方程的根为，， 又该方程是“倍根方程”，即一个根是另一个根的3倍， 故有两种情况： 情况一：，情况二：，解得， 的值为或，故选A. 3.若关于x的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为______. 解析：将代入一元二次方程有：，， 方程，， 即方程的另一个根为. 4.解方程：(1)；(2). 解析：(1)， ， 或， 解得：，； 解析：(2)， 移项得：， ， ， 或， 解得：，. 5.用适当的方法解方程 (1)； (2)； 解析：(1)， 变形为：， 开方，得：， ∴，. 解析：(2)， ∵，，， ∴， ∴该方程没有实数根. 5.用适当的方法解方程 (3)； (4). 解析：(3)整理，得， ∵，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴，. 解析：(4)， 因式分解，得， ∴， ∴. $