25.2.3 因式分解法 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程因式分解法，涵盖提公因式、平方差、完全平方等方法，以物理上抛问题导入，衔接配方法、公式法，构建从实际问题到解法原理的学习支架。 其亮点在于题型由浅入深，含易错辨析与方法对比表，通过数学眼光抽象实际问题，数学思维推理分解过程，培养运算能力与推理意识。教师可利用系统练习提升教学效率，学生能掌握简便解法并发展理性思维。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月16日 25.2.3 因式分解法 第25章 一元二次方程 人教版九年级上册25.2.3因式分解法练习题（含解析） 本次练习题聚焦一元二次方程因式分解法核心考点，贴合教材25.2.3小节内容，涵盖提公因式法、公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程、易错辨析与综合应用，题型由浅入深，适合课堂巩固与课后练习。因式分解法核心原理：若$$ab=0$$，则$$a=0$$或$$b=0$$。常用方法：提公因式法、平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$、完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，是解一元二次方程最简便的常用方法。 一、选择题（基础巩固） 1. 解方程 $$x(x-2)=0$$ 的根为（ ） A. $$x=2$$ B. $$x=0$$ C.$$x_1=0，x_2=2$$ D. $$x_1=0，x_2=-2$$ 2. 方程 $$x^2-4x+4=0$$ 的解是（ ） A. $$x_1=x_2=2$$ B. $$x_1=x_2=-2$$ C. $$x_1=2，x_2=-2$$ D. 无解 二、填空题（能力提升） 3. 方程 $$x^2-9=0$$ 用因式分解法解得________。 4. 解方程 $$3x^2=6x$$ 时，切忌直接两边同时除以$$3x$$，否则会丢失根$$x=$$______。 三、解答题（核心应用） 5. 用因式分解法解下列一元二次方程： （1）$$x^2+5x=0$$ （2）$$(x-1)^2-4=0$$ （3）$$x^2-6x+9=0$$ 6. 用适当的因式分解法解方程：$$2(x-3)^2=x^2-9$$ 四、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：根据“若乘积为0，则至少一个因式为0”，可得$$x=0$$或$$x-2=0$$，解得$$x_1=0，x_2=2$$。 2. 答案：A 解析：原式因式分解得$$(x-2)^2=0$$，即$$x-2=0$$，方程有两个相等实数根$$x_1=x_2=2$$。 $$x_1=3，x_2=-3$$3. 答案： 解析：利用平方差公式分解，$$x^2-9=(x+3)(x-3)=0$$，解得两根为$$\pm3$$。 4. 答案：0 解析：原方程移项得$$3x^2-6x=0$$，提公因式$$3x(x-2)=0$$，根为$$x_1=0，x_2=2$$，直接除$$3x$$会舍去$$x=0$$的根。 5. 解答： （1）提公因式得$$x(x+5)=0$$，解得 $$x_1=0，x_2=-5$$。 （2）平方差分解：$$(x-1+2)(x-1-2)=0$$，整理得$$(x+1)(x-3)=0$$，解得$$x_1=-1，x_2=3$$。 （3）完全平方分解：$$(x-3)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=3$$。 6. 解答： 右侧因式分解得$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$，移项得：$$2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$$， 提取公因式$$(x-3)$$：$$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$$，化简括号内式子得$$x-9=0$$， 即$$(x-3)(x-9)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=9$$。 易错总结：解方程时严禁随意除以含未知数的式子，容易丢根；需先移项使方程右边为0，再因式分解；熟练区分提公因式、平方差、完全平方三种分解形式，是快速解题的关键。 学习目标 1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点) 2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次 方程.(难点) 3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程， 培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决 问题，体会转化的思想方法. 学习目标 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s后的离地高度（单位：m)约为 10x-5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m, 即 10x-5x2=0. 思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？有没有更简便的解法呢？ 10x-5x2=0. 将方程的左边分解因式，得 x(10-5x)=0. 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 所以 x=0，或10-5x=0. 因此，方程10x-5x2=0的两个根是x1=0，x2=2. 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 思考： 解方程10x－5x2=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x－5x2=0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 解下列方程： (1) x(x−2)+x−2=0； (2) 5x2−2x−​=x2−2x+. 例1 解：(1)左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . (2) 移项、合并同类项，得 ， 左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 用因式分解法解下列方程： (1) 2x2 - 3x = 0； (2) 5x(x-3) = x-3； 跟踪训练 解：(1) 因式分解，得 x(2x-3) = 0. 于是 x = 0, 或 2x-3 = 0, 所以 x1=0，x2=. (2) 移项，得 5x(x-3) - (x-3) = 0. 因式分解，得 (x-3)(5x-1) = 0. 于是 x-3 = 0, 或 5x-1 = 0, 所以 x1=3，x2=. 约去含未知数的因式导致漏解 在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值. 用因式分解法解下列方程： (3) (3x+2)(2x+1) = -8x-4； (4) (2x-1)2 - 9 = 0. 跟踪训练 (3)移项，得 (3x+2)(2x+1) + 4(2x+1) = 0. 因式分解，得(2x+1)(3x+2+4) = 0, 即(2x+1)(3x+6) = 0， 于是 2x+1 = 0, 或 3x+6 = 0， 所以 x1=﹣，x2=-2. (4) 因式分解，得 [(2x-1)+3][(2x-1)-3] = 0. 即(2x+2)(2x-4) = 0. 于是 2x+2 = 0, 或 2x-4 = 0. 所以x1=-1，x2=2. 思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 1．解下列方程： (1) x²+x=0; (2) x²-2x=0; 解：(1)因式分解，得x(x+1)=0. ∴x=0,或x+1=0, ∴. (2)因式分解，得 x(x-2) = 0. ∴ x = 0, 或 x - 2= 0, ∴ . 1．解下列方程： (3) 3x²-6x=-3; (4) 4x²-81=0; (3)移项，得 - 6x + 3 = 0. 则有 = 0. ∴ . (4)因式分解，得 (2x+9)(2x-9) = 0. ∴ 2x+9 = 0, 或 2x-9 = 0, ∴ . 1．解下列方程： (5) 3x(2x+1)=4x+2; (6) (x-4)2=(5-2x)2. (5)移项，得 3x(2x+1) -2 (2x+1) = 0. 因式分解，得 (2x+1)(3x-2) = 0, ∴ 2x+1 = 0, 或 3x-2 = 0, ∴ , . (6)移项，得 = 0. 因式分解，得 [(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)] = 0, 即 (1-x)(3x-9) = 0, ∴ 1-x = 0, 或 3x-9 = 0, ∴ , . 2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4，求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m. 根据题意，得 π: π= 9:4， 整理，得 = 0， 所以 [2(x+5) + 3x][2(x+5) - 3x] = 0， 即 (5x+10)(-x+10) = 0， 所以 5x+10 = 0，或 -x+10 = 0， 所以= -2（舍），= 10， 所以小圆形场地的半径为 10 m. 3. 由方程 可以得到的方程是( ) A.或 B. C. D. A 4. 方程 的根是( ) A. B. C.， D.， D 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 中考考法 17 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 中考考法 18 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方 程 的一个实数根，则该三角形的周长是 ( ) B A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 中考考法 19 4. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 【点拨】,,或 ， 解得或是方程 的一个较大的 根，, , 或，解得或 是方程 的一个较小的根， , ，故选C. 中考考法 20 5.菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是 的一个根，则这个菱形的边长为________. 或5 【点拨】， ，解得 或 菱形的另一条对角线长为6或 菱形一条 对角线的长为6, 菱形的边长为 或 .故答案为 或5. 中考考法 21 定义 因式分解法 把原方程转化成两个______乘积等于 0 的形式，在使这两个______分别等于 0，从而实现降次 理论依据 若 ab = 0，则 a =___，b =___ 一般步骤 一次式 0 0 一移:使方程的右边为 0 二分:将方程的左边因式分解 三化:将方程化为两个一元一次方程 四解:写出方程的两个解 一次式 $