精品解析：河南省驻马店市遂平县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年下期期末学业水平测试 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 3. 为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 5. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 容器内气体的质量（质量）是5kg B. 当时， C. 当容器的体积为时，气体的密度为 D. 当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 6. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 8. 如图，在菱形中，F为上一点，连接交于点E，若，则下列哪条线段等于线段的和（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 乙出发140秒后与甲第一次相遇 B. 图中 C. 乙比甲晚100秒出发 D. 乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 10. 如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 12. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 13. 如图，四边形为菱形，，延长到E，在内作射线，使得过点D作，，垂足为F，若，则对角线的长为______． 14. 定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 化简及解方程 （1）化简：． （2）解方程：． 17. 如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形的面积． 18. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 19. 综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 20. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 21. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； （3）过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 22. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 23. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期末学业水平测试 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 化简，的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分解分母确定最简公分母，通分后合并约分即可得到结果. 【详解】解：原式 ． 2. 已知排球队6名上场队员的身高（单位：）分别是：． 现用两名身高是的队员分别换下场上身高为的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（     ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化；中位数因中间两数仍为和而保持不变． 【详解】解：∵ 原始数据排序后为， 中位数 ； 换人后数据排序为， 中位数 ； ∴ 中位数不变， 换人前后，数据总和增加导致平均数变化；众数从原数据无众数变为出现两次；方差因数据值改变而变化 ∴不受影响的是中位数． 故选：D． 3. 为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题关键． 由于提前10天完成，则原计划时间减去实际时间等于10天． 【详解】解：∵原计划每日安装台，实际每日安装台，总任务3600台， ∴原计划时间为天，实际时间为天， ∵ 提前10天完成， ∴． 故选：B． 4. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 5. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 容器内气体的质量（质量）是5kg B. 当时， C. 当容器的体积为时，气体的密度为 D. 当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 6. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用平均数，方差做决策，首先比较平均数，平均数较小的用时较少，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：甲和丙的平均数较小，用时较短 从甲和丙中选择一人参加竞赛， 丙的方差较小， 选择丙参加比赛， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 8. 如图，在菱形中，F为上一点，连接交于点E，若，则下列哪条线段等于线段的和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明出，得到，然后推出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵在菱形中， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴等于线段的和． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 乙出发140秒后与甲第一次相遇 B. 图中 C. 乙比甲晚100秒出发 D. 乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从函数的图象中获取信息和解一元一次方程．根据图象可得直线代表甲运动，由图象信息即可求得甲的速度；根据甲的图象信息可求得，结合乙运动直线可求得，即可求得；首先求得乙的速度，设乙出发a秒后与甲第一次相遇，列方程即可求得相遇时间． 【详解】解：由图象可得，乙比甲晚100秒出发，选项C正确，不符合题意； 直线为甲图象，甲的速度为：（米/秒）， 由图象可得，根据甲的速度和时间得，， 由题意知直线为乙运动图象，则， 那么，选项B正确，不符合题意； 乙刚开始的速度为：（米/秒）， 选项D正确，不符合题意； 设乙出发a秒后与甲第一次相遇， ，解得， 即乙出发150秒后与甲第一次相遇，选项A不正确，符合题意； 故选：A． 10. 如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 【答案】 4 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再将数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得到中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4，且共有7个数据， ∴这组数据的总和为， 则， 将这组数据按从小到大的顺序排列为：， 共个数据，最中间的数为第个数，即． 12. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 根据调和数的定义，对于三个数15，x，3，其倒数应满足关系式，通过解此方程可求出x的值． 【详解】解：由调和数的定义，得， 移项，得， 即， 所以， 解得． 经检验，是方程的解． 故答案为：5． 13. 如图，四边形为菱形，，延长到E，在内作射线，使得过点D作，，垂足为F，若，则对角线的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 连接交于H，证明，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度． 【详解】解：如图，连接交于点H， 由菱形的性质得，，， 又， ， ， ， ， 又四边形是菱形， 平分， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为： 14. 定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 化简及解方程 （1）化简：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 化系数为1： 当时， 故原分式方程无解． 17. 如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据平行四边形的性质得，进而得出，再根据“角角边”证明，可得，即可得出结论； 对于（2），由（1）可知可求，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴，则． 在中，根据勾股定理， ∴． 18. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生成绩较好， 理由如下： 七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高， 八年级学生成绩较好； （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数． （1）根据众数和中位数的定义求解即可；求出八年级成绩为B等级的学生人数的占比，用可得的值； （2）七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高，八年级学生成绩较好； （3）利用样本百分比估计总体百分比，分别计算出七、八年级学生成绩为A等级的学生的大约人数． 【小问1详解】 解：由七年级学生的成绩可知，分出现的次数最多，出现了次， 七年级成绩的众数为； 八年级学生的成绩在B等级的数据有个， 八年级学生的成绩在B等级的数据占总数的， 八年级学生的成绩在A等级的数据占； 八年级学生的成绩在A等级的人数有人， 由八年级学生的成绩在B等级的数据可知：把八年级学生成绩从高到低排列，第名成绩是，第名是， 八年级学生成绩的中位数是； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级名学生达到A等级的有人，占抽查总人数的， 八年级名学生达到A等级的占， 该校七、八年级成绩为A等级的学生共有人． 19. 综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 【答案】（1）1，1；（2）见解析；（3）当时函数取最小值，最小值为；（4）①②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）①观察（2）中的函数图象，即可求解； ②画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1；1； （2）如图， （3）根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）①由（1）知：当时，或， 由（2）中图象知：当时，， 故答案为：； ②画出函数和的图象，如图所示： 函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，， 故答案为：，． 20. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解； 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案． （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长． （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6． ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴EO=CO，FO=CO． ∴OE=OF． （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=12，CF=5， ∴． ∴OC=EF=6.5． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 21. 如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． （1）求k和m的值； （2）已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； （3）过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】（1）， （2）7.5 （3） 证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 22. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 【答案】（1）不是，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，，则分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数 ∴m为整数 ∴为整数 ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 23. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H． （1）如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，则 S四边形AEOG＝ S正方形 ABCD； （2）如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形 AEOG＝S矩形 ABCD，设 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的长（用含 a、b、m 的代数式表示）； （3）如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 试确定 F、G、H 的位置，使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【答案】（1）；（2）AG＝；（3）当 AG＝CH＝，BE＝DF＝1 时，直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分． 【解析】 【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝ AG•a，于是得到结论； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝ ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）如图①， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB， 在△AOG与△BOE中，， ∴△AOG≌△BOE， ∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形 ABCD； 故答案为； （2）如图②，过O作ON⊥AD于 N，OM⊥AB于M， ∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OM＝m·b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a， ∴mb＝AG•a， ∴AG＝； （3）如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD， 则 KL＝2OK，PQ＝2OQ， ∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ， ∴3×2OK＝5×2OQ， ∴＝， ∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD， ∴S△AOB＝S四边形AEOG， ∴S△BOE＝S△AOG， ∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ， ∴×1×OK＝AG•OQ， ∴＝AG＝， ∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明 S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $