精品解析：河南省驻马店市遂平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

河南省驻马店市遂平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.0000075平方毫米，用科学记数法表示为（　　）平方毫米． A. B. C. D. 3. 在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列判断中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5. 如图，在菱形中，，则（　　） A B. C. D. 6. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 7. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），过D作，，垂足分别是E，F，连接则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 10. 如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式的最简公分母是______． 12. 若点，一次函数图象上，则______（填，或）． 13. 下表是小明参加科技创新比赛的得分表（百分制），则小明的综合成绩是______分． 姓名 小明 综合成绩 ☆ 项目 理论知识 创新设计 现场展示 得分 85 88 90 权重 14. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16 （1）解分式方程：． （2）分式化简：． 17. 如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 18. 在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考， 给出了如下作图步骤： ①如图，作直角三角形，其中； ②分别延长至点，使；延长至点，使； ③连结，形成四边形． 请根据上述步骤，解答以下问题： （1）判断四边形是否为菱形，并说明理由． （2）若，求点到的距离． 19. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 10 乙软件测试得分 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）将甲软件测试得分统计图补充完整； （2）_________，_________，_________； （3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）工厂离目的地的路程是千米； （2）求关于的函数表达式； （3）请问货车何时会显示加油提醒？ 22. 已知：中，，． （1）如图Ⅰ，点在边上，以为边作正方形，连接并延长，交的延长线于点．直接写出的形状： ； （2）如图Ⅱ，点在边的延长线上，以为边作正方形，与的延长线于点． ①（1）中的结论是否会改变？并说明理由； ②连接，点是的中点，与交于点，，求证：． 23. 如图（1）（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上的一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F． （1）如图（1），当点E在AB边的中点位置时； ①猜想DE与EF满足的数量关系是　 　； ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是　 　； ③请证明上述的两个猜想． （2）如图（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找一点N，使得NE＝BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省驻马店市遂平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，需逐一判断各式的分母是否含字母，即可作答． 【详解】解：分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母为字母a，符合分式定义，是分式； 分母为，含字母x和y，是分式； 分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母π为常数，不含字母，是整式，不是分式； 综上，分式共有2个， 故选：D． 2. 微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.0000075平方毫米，用科学记数法表示为（　　）平方毫米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：0.0000075； 故选C． 3. 在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：∵22出现了3次，其他数字都只出现了一次， ∴这组数据的众数是22， ∴在这组数据中插入一个任意数都不会改变22是众数． 故选：C． 4. 下列判断中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据相关定理判断即可．掌握相关判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误，符合题意； B、四边形的内角和是，四个角相等，则每个内角都是，因此四个角相等的四边形是矩形，此选项正确，不合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确，不合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项正确，不合题意； 故选：A． 5. 如图，在菱形中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和，利用菱形性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和可得，进而求出结果即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 8. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 根据到的距离大于到的距离，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了8千米，乙2分钟距C还有9千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【详解】根据图中信息，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙2分钟距C还有9千米． 甲从A到用的时间：（分钟）， 乙从到的距离：（千米）， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），过D作，，垂足分别是E，F，连接则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，过点A作于点H，先求出，再根据三角形的面积公式求出，证明四边形AEDF是矩形得，由此得当AD最小值时，EF的值为最小，根据“垂线段最短”得当时，AD为最小，最小值是线段AH的长，据此即可得出EF的最小值． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图所示： ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形的面积公式得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当最小值时，的值为最小， 点D是边上的动点不与B，C重合 根据“垂线段最短”得：当时，AD为最小， 当点D于点H重合时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是， 的最小值是 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，理解垂线段最短，灵活利用三角形的面积，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 10. 如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，则最简公分母为， 故答案为：． 12. 若点，在一次函数图象上，则______（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可． 【详解】解：∵点，正比例函数图象上， ∴将点，代入得：， ∴， 故答案为：． 13. 下表是小明参加科技创新比赛的得分表（百分制），则小明的综合成绩是______分． 姓名 小明 综合成绩 ☆ 项目 理论知识 创新设计 现场展示 得分 85 88 90 权重 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求解，根据题意利用加权平均数的定义进行求解即可． 【详解】解：小明的综合成绩是分， 故答案为：88． 14. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______． 【答案】2秒或3.5秒 【解析】 【分析】由ADBC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t＝5−t，解方程即可，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t−9＝5−t，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝9， ∵ADBC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则得：9−3t＝5−t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则得：3t−9＝5−t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或3.5秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【详解】解：连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ∵， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）解分式方程：． （2）分式化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：当时，， 分式方程的解为． （2） ． 17. 如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质易证，即可得到结论； （2）由勾股定理得到，进而得出，求出，即可得到四边形的面积． 【小问1详解】 解：证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考， 给出了如下作图步骤： ①如图，作直角三角形，其中； ②分别延长至点，使；延长至点，使； ③连结，形成四边形． 请根据上述步骤，解答以下问题： （1）判断四边形是否为菱形，并说明理由． （2）若，求点到的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据题意可得，易证四边形是平行四边形，再根据，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由题意易求，利用勾股定理求出，得到，设点到的距离为h，利用菱形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 根据题意得， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵，四边形是菱形， ∴， 设点到的距离为h， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 19. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：， ∴， ， ，即， ， ． 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“DeepSeek”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 10 乙软件测试得分 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）将甲软件测试得分统计图补充完整； （2）_________，_________，_________； （3）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为等级的学生总人数800人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据题意，先求得等级人数，然后画统计图即可； （2）把甲软件分数从小到大排列一遍，即可求得中位数，由乙软件测试得分统计图，可求得等级占比，从扇形统计图比例，可知等级占比最多，从而得到乙软件的众数； （3）依次求得对甲款、乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比，然后再求得A等级人数，最后求得答案． 【小问1详解】 解：相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据， 等级人数有：，那么甲软件测试得分统计图如下图为所求： 【小问2详解】 解：甲软件测试分数如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位数为：9， ， 由乙软件测试得分统计图，等级占比：， ， 等级占比最多， 乙软件众数为：9， ． 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比为：， 对甲款人工智能学习辅导软件评分A等级人数为：（人）， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级的人占比为， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人）， 评分为A等级的总人数为：（人）． 答：甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数800人． 21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）工厂离目的地的路程是千米； （2）求关于函数表达式； （3）请问货车何时会显示加油提醒？ 【答案】（1）880 （2）关于的函数表达式： （3）货车行驶小时后会显示加油提醒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）由图象直接求出工厂离目的地的路程； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）当油箱中剩余油量为10升时，求出值即可． 【小问1详解】 解：由图象，得时，， ∴工厂离目的地的路程为880千米， 答：工厂离目的地的路程为880千米； 【小问2详解】 设， 将和代入得， 解得：， ∴关于的函数表达式： 当时，， 答：关于的函数表达式：； 【小问3详解】 当油箱中剩余油量为10升时，千米， 解得：(小时)， 答：货车行驶小时后会显示加油提醒． 22. 已知：在中，，． （1）如图Ⅰ，点在边上，以为边作正方形，连接并延长，交的延长线于点．直接写出的形状： ； （2）如图Ⅱ，点在边的延长线上，以为边作正方形，与的延长线于点． ①（1）中的结论是否会改变？并说明理由； ②连接，点是的中点，与交于点，，求证：． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）①结论不变，证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定； （1）利用证明，得出，然后根据线段的和差关系可得结论； （2）①根据（1）的方法证明即可求解； ②作，则，．在中，勾股定理可得．利用证明，利用等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ． ，， ，． ． ． ． ． ． ． 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①结论不变． 四边形是正方形， ， ． ，， ，． ． ． ． ． ． ． 是等腰直角三角形． ②在中，由，可得． 点是的中点， ． ， ． ． 作，则，． 在中，勾股定理可得． 作． ． ， ． ． ， ． ，． ． 垂直平分． ． 23. 如图（1）（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上的一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F． （1）如图（1），当点E在AB边的中点位置时； ①猜想DE与EF满足的数量关系是　 　； ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是　 　； ③请证明上述的两个猜想． （2）如图（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找一点N，使得NE＝BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系． 【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；③见解析；（2）DE=EF 【解析】 【分析】（1）可利用两角夹一边求解△DNE≌△EBF（ASA），进而可得出线段相等； （2）在DA边上截取DN=EB，连接NE，然后证明△DNE≌△EBF即可得到答案. 【详解】解：（1）①DE=EF；②NE=BF； ③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点 ∴DN=EB，AN=AE， ∵BF平分∠CBM， ∴∠CBF=45° ∴∠EBF=90°+45°=135° 又∵AN=AE，∠A=90°， ∴∠DNE=180°-45°=135°， ∴∠EBF=∠DNE ∵∠DEF=90° ∴∠BEF+∠DEA=90° 又∵∠NDE+∠DEA=90°， ∴∠NDE=∠BEF， ∴△DNE≌△EBF（ASA）， ∴DE=EF，NE=BF； （2）DA边上截取DN=EB，连接NE ∵四边形ABCD是正方形，DN=EB， ∴AN=AE， ∴△AEN为等腰直角三角形， ∴∠ANE=45°， ∴∠DNE=180°-45°=135°， ∵BF平分∠CBM， ∴∠EBF=90°+45°=135°， ∴∠DNE=∠EBF， ∵∠DEF=90° ∴∠BEF+∠DEA=90° ∵∠NDE+∠DEA=90°， ∴∠NDE=∠BEF， ∴△DNE≌△EBF， ∴DE=EF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$