新生预习手册8《第2章有理数第5节有理数乘法与除法》预习讲义 2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册8 《第2章有理数第5节有理数乘法与除法》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握有理数乘法、除法法则，理解倒数的定义，能准确判断积与商的符号。 2.   会运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算，能把除法转化为乘法统一计算。 3.   能解决含多个因数相乘、乘除混合运算，会处理含0、负因数的计算问题。 4.   区分倒数与相反数，会结合绝对值进行综合计算，减少符号类计算错误。 ) 二．重点难点 ( 1.重点：有理数乘除运算法则；倒数概念；乘法运算律的简便计算；除法转化为乘法。 2.难点：多个负因数相乘时积的符号判定；分配律的灵活运用；乘除混合运算的顺序；0不能做除数这类易错点；含字母的乘除符号判断。 ) 三．自主探究 小学里，我们己经热悉了非负有理数的乘法和除法运算，引人负有理数之后，怎样进行乘法和除法运算呢? （一） 有理数乘法 1.有理数乘法法则 在水文观测中，常常关注水位的高低与升降。如果水位每天下降4cm，那么如何计算3天后的水位交化? 3天后的水位比现在的水位下降12cm。如果规定水位上升记为正，下降记为负，那么我们有(-4)×3=一12,因为4×3=12，所以(一4)×3是4×3的相反数。 我们也可以用相反数的意义来说明(一4)×3=一12因为(一4)×3+4×3=[(-4)+4]×3 =0×3=0, 所以(一4)×3是4×3的相反数，所以(一4)×3=一12。 【探究】如何计算4×(一3),(一4)×(一3) ? 选择两个有理数，仿照上面的方法进行计算，并与同学交流，看看有什么一般的规律. 【归纳】有理数乘除运算法则 （1）两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘，结果都得0。 （3）多个非零有理数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数个数为奇数，积为负数；再把所有绝对值相乘。只要有一个因数是0，积就是0。 【思考】a×（-b）与a×b有什么关系? 2.有理数乘法运算律（简便计算高频考点） 小学里学过的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在有理数范围内仍然都适用。 有理数乘法运算律 （1）交换律：a×b=b×a （2）结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac （二）倒数 1.定义：乘积为1的两个数互为倒数。即：若ab=1（a≠0，b≠0），则a和b互为倒数，记作b=，a=。 2.关键要点 （1）0没有倒数：因为0乘任何数都得0，不可能等于1。 （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（符号不变）。 （3）倒数等于它本身的数是1和-1： 3.求倒数的方法 （1）整数：非零整数a的倒数是，如5的倒数是，-3的倒数是-。 （2）分数：分数（p≠0,q≠0）的倒数是，如的倒数是，-的倒数是-。 （3）小数：先把小数化为分数，再求倒数，如0.25 =，倒数是4；-0.5=-，倒数是-2。 4. 与相反数的区别 （1）倒数：乘积为1，符号相同（0除外）。 （2）相反数：和为0，符号相反（0的相反数是0）。 （三）有理数的除法 某地某星期每天上午8:00的气温记录如下; 某地某星期每天上午8:00的平均气温(单位:C)为: [(一4)+(一4)+0+(+1)+(+1)+(-3)+(一5)]+7,即(一14)+7。 如何计算(一14)÷7? 小明想法的依据是除法的意义，即除法是乘法的运算;小桶用了小学里学过的除法运算法则，他们的想法都是合理的，由此可以得到下面的运算过程: 【归纳】有理数除法法则 （1）法则1：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0。 （2）法则2（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （3）字母形式：a÷b=a×(b≠0) （四）乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一改写为乘倒数； 2.确定整体符号（数负因数总个数）； 3.约分、计算绝对值，优先使用运算律分组简算。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城建湖县期中）计算(-4)×2的结果是（ ） A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 例2.（2024秋·泰州姜堰区期中）下列各数中，倒数是-的是（ ） A. 3 B. -3 C. D. - 例3.（2025秋·连云港东海县月考）若多个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 例4.（2026江苏县区一模）计算(-12)÷(-3)的结果是（ ） A. 4 B. -4 C. 36 D. -36 例5.（2024秋·南通海安市期中）计算：(-5)×0=____。 例6.（2024秋·宿迁宿城区期中）-2.5的倒数是____。 例7.（2025盐城阜宁模拟）(-18)÷(-)=____。 例8.（2026江苏县区模考）若a,b互为倒数，则ab-5=____。 例9.（2024秋·扬州邗江区期中）计算： （1）(-8)×(-25)×(-0.4) （2）(-+-)×(-16) 例10.（2025江苏县区模考）把除法转化为乘法再计算： （1）(-36)÷× （2）(-24)÷(-)÷(-4) 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·盐城大丰区期中）(-6)×3=（ ） A. 18 B. -18 C. 2 D. -2 2.（2024秋·淮安清江浦区期中）下列说法正确的是（ ） A. 0有倒数 B. 倒数等于本身的数只有1 C. 两数相除，商为正，则两数同号 D. 负数乘正数，积一定是正数 3.（2025泰州姜堰月考）计算(-2)×(-3)×(-1)的结果是（ ） A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 4.（2026江苏县区模拟）(-15)÷5=（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 5.（2024秋·徐州铜山区期中）若a<0,b>0，则ab的值（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 6、如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，满足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正确的是（　　） A．a+c＜0 B．ac＞0 C．bc＜0 D．ab＜0 7、甲数的80%等于乙数的50%（甲数与乙数都大于0），则（　　） A．甲数＞乙数 B．甲数＜乙数 C．甲数＝乙数 D．无法确定 8.（2024秋·镇江丹徒区期中）运用分配律计算(-10)×（-)正确的是（） A. -10×-10× B. -10×+10× C. 10×-10× D. -10×- （二）填空题 9.（2024秋·盐城市射阳县期中）(-7)×(-4)=____。 10.（2024秋·常州武进区期中）-的倒数是____。 11.（2025连云港灌云县模考）0÷(-2026)=____。 12.（2026江苏县区二模）(-16)÷(-)=____。 13.（2024秋·苏州昆山市期中）若mn=0，则m、n中至少有____个0。 14.（2025南通启东月考）(-2)×3×(-5)=____。 15．计算的结果为　 　． 16．按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是　　． （三）解答题 17.（2024秋·泰州兴化市期中）计算： （1）(-125)×(-8)×(-3) （2）(-)×(-24) 18.（2025江苏县区一模）计算乘除混合运算： （1）(-32)÷4×(-) （2）(-18)÷(-)× 19.（2024秋·无锡江阴市期中）已知a与b互为倒数，c=-2。 （1）求ab的值； （2）求ab-c的值。 20.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”. 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”. 例如：，，所以14是“差一数”； ，但，所以19不是“差一数”. (1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； (2)求大于300且小于400的所有“差一数”. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024秋·宿迁沭阳县期中）(-9)×5=（ ） A. 45 B. -45 C. 14 D. -14 2.（2024秋·扬州广陵区期中）下列各数中，倒数等于自身的是（ ） A. 2 B. -1 C. 0 D. 3.（2025盐城滨海县模考）多个因数相乘：(-2)×(-3)×0×(-4)，结果是（ ） A. 24 B. -24 C. 0 D. 1 4.（2026江苏县区三模）计算(-48)÷(-6)=（ ） A. 8 B. -8 C. 6 D. -6 5.（2024秋·徐州邳州期中）若a÷b<0，则（ ） A. a、b同号 B. a、b异号 C. a>0,b>0 D. a<0,b<0 6.（2025淮安涟水县模考）用分配律计算(-6)×(2-)，结果为（ ） A. -10 B. -12+2=-10 C. -14 D. 10 7.（2024秋·南通如皋期中）(-×(+)的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 8.（2026江苏县区一模）乘除混合运算(-8)×2÷(-)的结果是（ ） A. -32 B. 32 C. -8 D. 8 9、在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10、取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （二）填空题 11.（2024秋·泰州泰兴期中）(-11)×(-3)=____。 12.（2024秋·盐城亭湖区期中）-1.2的倒数是____。 13.（2025扬州宝应县月考）(-42)÷6=____。 14.（2026江苏县区二模）(-6)÷(-)=____。 15.（2024秋·连云港赣榆区期中）(-2)×(-3)×(-4)=____。 16.（2025无锡宜兴模考）若a的倒数是-，则a=____。 17.（2024秋·镇江扬中期中）0×(-100)÷(-5)=____。 18.（2026江苏县区三模）(-)÷(-4)=____。 19．若a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，则++﹣的值为______． 20．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2026＝　 　． （三）解答题 21.（2024秋·盐城市大丰区期末）简便计算： （1）(-8)×(-25)×(-0.125) （2）(-+-)×(-36) 22.（2025江苏县区一模）计算乘除混合运算： （1）(-54)÷(-9)×(-) （2）(-36)÷×(-) 23.（2024秋·扬州江都区期中）已知m、n互为倒数，|k|=2。 （1）求mn的值； （2）求mn-k所有可能的值。 24.（2026江苏县区三模·应用题）某冷库室温每小时下降3℃，初始温度是10℃。 （1）4小时后温度下降了多少摄氏度？ （2）4小时后冷库的温度是多少摄氏度？ 25. 观察下列各式： 1×＝×（1－）； ×＝×（－）； ×＝×（－）； ×＝×（－）； …… (1)你发现以上各式有何规律(用字母表示出来)?[来源:Z§xx§k.Com] (2)计算： ①1×＋×. ②1×＋×＋×＋×. ③1×＋×＋×＋…＋× 26、“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266． （1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝　 　，y＝　 　； （2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝　 　，n＝　 　； （3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝　 　． 27、我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2026属于 　 　类（填A，B或C）； （2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于 　 　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 　 　（填序号）． ①m属于A类； ②m+2n属于A类； ③m，n不属于同一类；④|m﹣n|属于A类． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册8 《第2章有理数第5节有理数乘法与除法》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   掌握有理数乘法、除法法则，理解倒数的定义，能准确判断积与商的符号。 2.   会运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算，能把除法转化为乘法统一计算。 3.   能解决含多个因数相乘、乘除混合运算，会处理含0、负因数的计算问题。 4.   区分倒数与相反数，会结合绝对值进行综合计算，减少符号类计算错误。 ) 二．重点难点 ( 1.重点：有理数乘除运算法则；倒数概念；乘法运算律的简便计算；除法转化为乘法。 2.难点：多个负因数相乘时积的符号判定；分配律的灵活运用；乘除混合运算的顺序；0不能做除数这类易错点；含字母的乘除符号判断。 ) 三．自主探究 小学里，我们己经热悉了非负有理数的乘法和除法运算，引人负有理数之后，怎样进行乘法和除法运算呢? （一） 有理数乘法 1.有理数乘法法则 在水文观测中，常常关注水位的高低与升降。如果水位每天下降4cm，那么如何计算3天后的水位交化? 3天后的水位比现在的水位下降12cm。如果规定水位上升记为正，下降记为负，那么我们有(-4)×3=一12,因为4×3=12，所以(一4)×3是4×3的相反数。 我们也可以用相反数的意义来说明(一4)×3=一12因为(一4)×3+4×3=[(-4)+4]×3 =0×3=0, 所以(一4)×3是4×3的相反数，所以(一4)×3=一12。 【探究】如何计算4×(一3),(一4)×(一3) ? 选择两个有理数，仿照上面的方法进行计算，并与同学交流，看看有什么一般的规律. 【解析】再选两组有理数试试：5×(-2)：5×2=10，所以5×(-2)=-10 (-5)×(-2)：(-5)×2=-10，所以 (-5)×(-2) = 10 【归纳】有理数乘除运算法则 （1）两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘，结果都得0。 （3）多个非零有理数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数个数为奇数，积为负数；再把所有绝对值相乘。只要有一个因数是0，积就是0。 【思考】a×（-b）与a×b有什么关系? 【解析】我们可以用有理数乘法的符号规则来分析：根据乘法法则，a×(-b) = - (a×b)，所以，a×(-b)与 a×b 互为相反数（它们的绝对值相等，符号相反）。 2.有理数乘法运算律（简便计算高频考点） 小学里学过的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在有理数范围内仍然都适用。 有理数乘法运算律 （1）交换律：a×b=b×a （2）结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac （二）倒数 1.定义：乘积为1的两个数互为倒数。即：若ab=1（a≠0，b≠0），则a和b互为倒数，记作b=，a=。 2.关键要点 （1）0没有倒数：因为0乘任何数都得0，不可能等于1。 （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（符号不变）。 （3）倒数等于它本身的数是1和-1： 3.求倒数的方法 （1）整数：非零整数a的倒数是，如5的倒数是，-3的倒数是-。 （2）分数：分数（p≠0,q≠0）的倒数是，如的倒数是，-的倒数是-。 （3）小数：先把小数化为分数，再求倒数，如0.25 =，倒数是4；-0.5=-，倒数是-2。 4. 与相反数的区别 （1）倒数：乘积为1，符号相同（0除外）。 （2）相反数：和为0，符号相反（0的相反数是0）。 （三）有理数的除法 某地某星期每天上午8:00的气温记录如下; 某地某星期每天上午8:00的平均气温(单位:C)为: [(一4)+(一4)+0+(+1)+(+1)+(-3)+(一5)]+7,即(一14)+7。 如何计算(一14)÷7? 小明想法的依据是除法的意义，即除法是乘法的运算;小桶用了小学里学过的除法运算法则，他们的想法都是合理的，由此可以得到下面的运算过程: 【归纳】有理数除法法则 （1）法则1：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0。 （2）法则2（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （3）字母形式：a÷b=a×(b≠0) （四）乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一改写为乘倒数； 2.确定整体符号（数负因数总个数）； 3.约分、计算绝对值，优先使用运算律分组简算。 四．经典例题 例1.（2024秋·盐城建湖县期中）计算(-4)×2的结果是（ ） A. 8 B. -8 C. 2 D. -2 【答案】：B 【解析】：异号两数相乘，异号得负，绝对值相乘，4×2=8，结果为-8。 例2.（2024秋·泰州姜堰区期中）下列各数中，倒数是-的是（ ） A. 3 B. -3 C. D. - 【答案】：B 【解析】：乘积为1的两数互为倒数，-3×(-)=1。 例3.（2025秋·连云港东海县月考）若多个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】：C 【解析】：积为负，负因数个数必须是奇数，4是偶数，此时积为正数。 例4.（2026江苏县区一模）计算(-12)÷(-3)的结果是（ ） A. 4 B. -4 C. 36 D. -36 【答案】：A 【解析】：同号相除得正，绝对值相除，12÷3=4。 例5.（2024秋·南通海安市期中）计算：(-5)×0=____。 【答案】：0 【解析】：任何有理数乘0，乘积都等于0。 例6.（2024秋·宿迁宿城区期中）-2.5的倒数是____。 【答案】：- 【解析】：先把小数化为分数-，倒数为-。 例7.（2025盐城阜宁模拟）(-18)÷(-)=____。 【答案】：12 【解析】：除法变乘法，原式=-18×(-)=12。 例8.（2026江苏县区模考）若a,b互为倒数，则ab-5=____。 【答案】：-4 【解析】：互为倒数的两数乘积ab=1，代入得1-5=-4。 例9.（2024秋·扬州邗江区期中）计算： （1）(-8)×(-25)×(-0.4) （2）(-+-)×(-16) 解：（1）原式=(-8)×[25×0.4]=(-8)×10=-80 （2）原式=-×(-16)+×(-16)-×(-16)=8-12+10=6 【解析】：（1）利用乘法结合律先凑整，简化计算，负因数一共2个？纠正：负因数有3个，奇数个，结果为负。（2）运用乘法分配律，把括号外的数分别乘括号内每一项，避免通分。 例10.（2025江苏县区模考）把除法转化为乘法再计算： （1）(-36)÷× （2）(-24)÷(-)÷(-4) 解：（1）原式=-36××=-16×=- （2）原式=-24×(-)×(-)=16×(-)=-4 【解析】：（1）所有除法统一变为乘倒数，从左往右依次计算。（2）先判定符号，一共3个负数，负因数个数为奇数，最终结果为负。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024秋·盐城大丰区期中）(-6)×3=（ ） A. 18 B. -18 C. 2 D. -2 【答案】：B 【解析】：异号相乘得负，6×3=18，结果为-18。 2.（2024秋·淮安清江浦区期中）下列说法正确的是（ ） A. 0有倒数 B. 倒数等于本身的数只有1 C. 两数相除，商为正，则两数同号 D. 负数乘正数，积一定是正数 【答案】：C 【解析】：A错误，0没有倒数；B错误，还有-1；D错误，异号相乘得负。 3.（2025泰州姜堰月考）计算(-2)×(-3)×(-1)的结果是（ ） A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 【答案】：B 【解析】：一共3个负因数，奇数个，积为负，2×3×1=6，结果-6。 4.（2026江苏县区模拟）(-15)÷5=（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【答案】：B 【解析】：异号相除得负，15÷5=3，结果-3。 5.（2024秋·徐州铜山区期中）若a<0,b>0，则ab的值（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 【答案】：B 【解析】：一正一负两数相乘，异号得负。 6、如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，满足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正确的是（　　） A．a+c＜0 B．ac＞0 C．bc＜0 D．ab＜0 【答案】：B 【解析】：∵AB＝BC，∴b﹣a＝c﹣b，∴a+c＝2b，∵a+b﹣c＝0，即c＝a+b，∴a+（a+b）＝2b，∴b＝2a，∴c＝a+b＝3a，∵a＜b＜c，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴a+c＞0，则A选项错误；ac＞0，则B选项正确；bc＞0，则C错误；ab＞0，则D错误．故选：B． 7、甲数的80%等于乙数的50%（甲数与乙数都大于0），则（　　） A．甲数＞乙数 B．甲数＜乙数 C．甲数＝乙数 D．无法确定 【答案】：B 【解析】：甲数是1，所以乙数＝80%÷50%＝1.6，1＜1.6，即甲数＜乙数，故选：B． 8.（2024秋·镇江丹徒区期中）运用分配律计算(-10)×（-)正确的是（） A. -10×-10× B. -10×+10× C. 10×-10× D. -10×- 【答案】：B 【解析】：-10分别乘括号内两项，负负得正，原式=-10×+10×。 （二）填空题 9.（2024秋·盐城市射阳县期中）(-7)×(-4)=____。 【答案】：28 【解析】：同号相乘得正，7×4=28。 10.（2024秋·常州武进区期中）-的倒数是____。 【答案】：- 【解析】：分子分母颠倒，符号保持不变。 11.（2025连云港灌云县模考）0÷(-2026)=____。 【答案】：0 【解析】：0除以任何非零数，商都是0。 12.（2026江苏县区二模）(-16)÷(-)=____。 【答案】：12 【解析】：原式=-16×(-)=12。 13.（2024秋·苏州昆山市期中）若mn=0，则m、n中至少有____个0。 【答案】：1 【解析】：乘法中只要有一个因数为0，乘积就是0。 14.（2025南通启东月考）(-2)×3×(-5)=____。 【答案】：30 【解析】：负因数共2个，偶数个，积为正，2×3×5=30。 15．计算的结果为　 　． 【答案】：9 【解析】：（﹣3）×÷（﹣）×3＝（﹣3）××（﹣3）×3＝9．故答案为：9． 16．按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是　　． 【答案】：﹣162． 【解析】：﹣2×（﹣3）＝6，6×（﹣3）＝﹣18，﹣18×（﹣3）＝54，54×（﹣3）＝﹣162，故答案为：﹣162． （三）解答题 17.（2024秋·泰州兴化市期中）计算： （1）(-125)×(-8)×(-3) （2）(-)×(-24) 解：（1）原式=1000×(-3)=-3000 （2）原式=×(-24)-×(-24)=-16+6=-10 【解析】：（1）先算-125×-8=1000，再乘-3；负因数一共3个，结果为负。（2）乘法分配律展开计算，避免通分运算。 18.（2025江苏县区一模）计算乘除混合运算： （1）(-32)÷4×(-) （2）(-18)÷(-)× 解：（1）原式=-8×(-)=1 （2）原式=(-18)×(-)×=12×=10 【解析】：（1）从左往右依次计算，先算除法，再算乘法，两个负数相乘得正。（2）除法全部转化为乘法，先约分再计算。 19.（2024秋·无锡江阴市期中）已知a与b互为倒数，c=-2。 （1）求ab的值； （2）求ab-c的值。 解：（1）互为倒数的两个数乘积为1，所以ab=1。 （2）代入得：1-(-2)=1+2=3。 【解析】：（1）倒数核心性质：ab=1。（2）减去负数等于加上它的相反数。 20.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”. 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”. 例如：，，所以14是“差一数”； ，但，所以19不是“差一数”. (1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； (2)求大于300且小于400的所有“差一数”. 解：(1)∵；，∴49不是“差一数”，∵；，∴74是“差一数”； (2)解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9， ∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389. 解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，∴这个数加1能被15整除，∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2024秋·宿迁沭阳县期中）(-9)×5=（ ） A. 45 B. -45 C. 14 D. -14 【答案】：B 【解析】：异号两数相乘，异号得负，绝对值相乘，结果为-45。 2.（2024秋·扬州广陵区期中）下列各数中，倒数等于自身的是（ ） A. 2 B. -1 C. 0 D. 【答案】：B 【解析】：倒数等于本身的数只有1和-1，0没有倒数。 3.（2025盐城滨海县模考）多个因数相乘：(-2)×(-3)×0×(-4)，结果是（ ） A. 24 B. -24 C. 0 D. 1 【答案】：C 【解析】：乘法算式中只要有一个因数为0，整个乘积等于0。 4.（2026江苏县区三模）计算(-48)÷(-6)=（ ） A. 8 B. -8 C. 6 D. -6 【答案】：A 【解析】：同号相除得正，48÷6=8。 5.（2024秋·徐州邳州期中）若a÷b<0，则（ ） A. a、b同号 B. a、b异号 C. a>0,b>0 D. a<0,b<0 【答案】：B 【解析】：商为负数，说明被除数和除数异号。 6.（2025淮安涟水县模考）用分配律计算(-6)×(2-)，结果为（ ） A. -10 B. -12+2=-10 C. -14 D. 10 【答案】：B 【解析】：原式=-6×2+6×=-12+2=-10。 7.（2024秋·南通如皋期中）(-×(+)的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】：B 【解析】：互为倒数，异号相乘，乘积为-1。 8.（2026江苏县区一模）乘除混合运算(-8)×2÷(-)的结果是（ ） A. -32 B. 32 C. -8 D. 8 【答案】：B 【解析】：原式=-16×(-2)=32，负因数共2个，结果为正。 9、在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】：D 【解析】：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．综上：正确的有④，共1个．故选：D． 10、取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】：B 【解析】：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故选：B． （二）填空题 11.（2024秋·泰州泰兴期中）(-11)×(-3)=____。 【答案】：33 【解析】：同号相乘得正，11×3=33。 12.（2024秋·盐城亭湖区期中）-1.2的倒数是____。 【答案】：- 【解析】：-1.2=-，倒数为-。 13.（2025扬州宝应县月考）(-42)÷6=____。 【答案】：-7 【解析】：异号相除得负，42÷6=7。 14.（2026江苏县区二模）(-6)÷(-)=____。 【答案】：9 【解析】：除法变乘法：-6×(-)=9。 15.（2024秋·连云港赣榆区期中）(-2)×(-3)×(-4)=____。 【答案】：-24 【解析】：负因数3个，奇数个，积为负，2×3×4=24。 16.（2025无锡宜兴模考）若a的倒数是-，则a=____。 【答案】：-5 【解析】：-5×(-)=1。 17.（2024秋·镇江扬中期中）0×(-100)÷(-5)=____。 【答案】：0 【解析】：乘法中有0，整个式子结果为0。 18.（2026江苏县区三模）(-)÷(-4)=____。 【答案】： 【解析】：原式=-×(-)=。 19．若a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，则++﹣的值为______． 【答案】：﹣3或3 【解析】：∵a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，∴当a、b、c中一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a＝﹣（b+c），故++﹣＝1+（﹣1）+（﹣1）﹣2＝﹣3；当a、b、c中两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c＝﹣（a+b），故++﹣＝1+1+（﹣1）+2＝3；故答案为：﹣3或3． 20．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2026＝　 　． 【答案】﹣ 【解析】a1＝﹣ a2＝＝； a3＝＝4； a4＝＝﹣，因而一下三个一次循环，故a2026＝﹣． 故答案是：﹣ （三）解答题 21.（2024秋·盐城市大丰区期末）简便计算： （1）(-8)×(-25)×(-0.125) （2）(-+-)×(-36) 解：（1）原式=(-8)×(-0.125)×(-25)=1×(-25)=-25 （2）原式=-×(-36)+×(-36)-×(-36)=27-30+21=18 【解析】：（1）交换因数位置，优先凑整，先算-8×-0.125=1；负因数一共3个，结果为负。（2）乘法分配律逐项展开，避免通分，注意负号运算。 22.（2025江苏县区一模）计算乘除混合运算： （1）(-54)÷(-9)×(-) （2）(-36)÷×(-) 解：（1）原式=6×(-)=-1 （2）原式=-36××(-)=-81×(-)=18 【解析】：（1）从左向右依次运算，先算除法，再算乘法。（2）先约分抵消9，简化数值计算。 23.（2024秋·扬州江都区期中）已知m、n互为倒数，|k|=2。 （1）求mn的值； （2）求mn-k所有可能的值。 解：（1）互为倒数，则mn=1。 （2）|k|=2，则k=2或k=-2。当k=2时，1-2=-1；当k=-2时，1-(-2)=3。 【解析】：（1）倒数乘积为1。（2）绝对值有双解，分两类讨论。 24.（2026江苏县区三模·应用题）某冷库室温每小时下降3℃，初始温度是10℃。 （1）4小时后温度下降了多少摄氏度？ （2）4小时后冷库的温度是多少摄氏度？ 解：（1）列式：(-3)×4=-12，温度下降了12℃。 （2）10+(-12)=-2℃。 【解析】：（1）下降记为负数，用乘法计算总变化量。（2）初始温度加上温度变化量，得到最终温度。 25. 观察下列各式： 1×＝×（1－）； ×＝×（－）； ×＝×（－）； ×＝×（－）； …… (1)你发现以上各式有何规律(用字母表示出来)?[来源:Z§xx§k.Com] (2)计算： ①1×＋×. ②1×＋×＋×＋×. ③1×＋×＋×＋…＋× 解：(1)·＝（－）. (2)①原式＝（1－+－）＝. ②原式＝（1－+－…－.）＝. ③原式＝（1－+－…－.）＝ 26、“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果计入相应的方格中，最后沿斜线方向相加得3266． （1）如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝　 　，y＝　 　； （2）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝　 　，n＝　 　； （3）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝　 　． 解：（1）∵63＝9×7，21＝7x，∴x＝3，∵10+y＝3×4，∴y＝2，故答案为：3，2； （2）由题意可得，m+n+8＝11，∴m+n＝3，∵ad＝10n+4，∴n＝0或n＝1或n＝2或n＝3， ∵bc＝10m+2，∴m＝3或m＝1或m＝0，∵ac＝18＝2×9＝3×6，∴m＝1，∴n＝2， 故答案为：1，2； （3）如图4，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，解得：k＝；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，k＝6；∵k是整数，∴k＝6，故答案为：6． 27、我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2026属于 　 　类（填A，B或C）； （2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于 　 　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 　 　（填序号）． ①m属于A类； ②m+2n属于A类； ③m，n不属于同一类；④|m﹣n|属于A类． 解：（1）∵2026÷3＝675…1，∴2026属于A类，故答案为：A； （2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，∴3m+2+3n+3＝3（m+n）+4＝3（m+n+1）+1， ∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类， 故答案为：A； ②∵从A类数中任意取出2025个数，∴设这2021个数的和3a+2021，∵从B类数中任意取出2022个数，∴设这2022个数的和为3b+2022×2＝3b+4044，∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），∴设这k个数的和为3c，∴3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，∴6065÷3＝2021…2，∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，∴结果属于B类，答案为：B； （3）从A类数中任意取出m个数，设这m个数的和为3x+m，从B类数中任意取出n个数，设这n个数的和为3y+2n，∴3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，∵最后的结果属于A类，∴m+2n被3除余数为1，∴m+2n属于A类，故②正确；当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；当n属于B类，m属于C类时，|m﹣n|＝|3x﹣3y﹣2|＝|3（x﹣y）﹣2|属于B类；故④不正确；故②③正确，故选：②③． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $