-2025-2026学年人教版数学七年级下册期末模拟卷一

**基本信息** 本卷为七年级下册数学期末模拟卷，以平行线、坐标系、不等式等核心知识为载体，设计环形运动相遇（第8题）、光的折射角度（第9题）等创新情境，融合几何直观与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|命题真假判断、不等式性质、坐标系象限|基础题（如第1题真命题）与空间观念（第4题象限判断）结合| |填空题|5题|垂线段最短、非负性、旋转角度计算|几何直观（第11题垂线段）与动态探究（第14题三角板旋转）| |解答题|8题|方程应用、几何证明、实际问题（滴灌系统、定向比赛）|综合应用（第19题工程问题）与跨学科情境（第20题定向比赛方向）|

期末模拟卷一-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列命题，是真命题的为（　　） A．是无理数 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如果点在x轴正半轴上，那么点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程的解，则的值是（　　） A．1 B． C． D．7 7．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个 单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（－1，1） C．（－2，1） D．（－1，－1） 9．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180° 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是． 12．若实数，满足，则　 　． 13．若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为　 　 ． 14．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为　 　. 15．如图，小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于1km．若小明共跑了14km且恰好回到起点，则他共跑了　 　圈． 三、解答题 16．（1）若实数m，n满足等式，求的立方根； （2）已知 ，求的平方根． 17．如图，直线、交于点，，垂足为，，求的度数． 18．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简： （3）在m的取值范围内，当m取何整数时，不等式的解集为？ 19．为节约用水，忠县忠韵果园今年新建一条长300米的滴灌系统，如果甲、乙两人合作完成需要20天；若甲先建10天，剩下部分再由乙建需35天才能完成. （1）求甲、乙两人每天建滴灌系统多少米？ （2）受到条件限制，甲、乙两人无法同时施工，如果甲先做m天，剩下部分由乙接着完成还需多少天（用含m的式子表示）？为保证该滴灌系统能在45天内修完，m至少取多少？（甲、乙两人的施工天数均为整数） （3）已知甲每天的施工费用为2000元，乙每天的施工费用为1200元．在（2）的条件下，若总费用不超过62500元，则甲、乙两人有哪几种施工天数方案？ 20．小明参加定向比赛，如图，从A地沿北偏东50°方向到B地，再从B地沿北偏西25°方向到C地。从C地沿什么方向跑，可以保持与AB的方向一致? 21．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值． 22．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． （1）请写出A、B点的坐标；，. （2）如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； （3）如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 23．等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； （1）如图1，若，，求C点坐标； （2）如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． （3）如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 【解析】【解答】延长交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【分析】本题主要考查平行线性质的应用和角度计算能力，解题关键在于正确运用平行线的性质定理 8．【答案】D 【解析】【解答】矩形的长宽分别为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇； … 此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵2012÷3=670…2， 故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇； 此时相遇点的坐标为：（-1，-1)， 故选：D． 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的长宽分别为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴γ=∠1+∠2①， 又∵入射角与折射角的度数比为3：2， ∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β）， ∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β）， ∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ. 故答案为：B. 【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ. 10．【答案】D 11．【答案】垂线段最短 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵实数满足，而， ∴， 解得， 故答案为：． 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数性质得到，求出、的值，然后代入计算即可． 13．【答案】 14．【答案】30°或45°或120°或135°或165° 【解析】【解答】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30° ②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45° ③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120° ④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135° ⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45° ∴∠DEO=180°-∠CEO=135° ∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15° 此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165° 综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为30°或45°或120°或135°或165°. 故答案为：30°或45°或120°或135°或165°. 【分析】利用旋转过程中，两边平行分类讨论：①当CD∥OB时，利用“两直线平行，内错角相等”求解；②当OC∥AB时，先利用“两直线平行，内错角相等”，求∠OEB=90°，再利用“三角形内角和180°”，求解；③当DC∥OA时，先利用“两直线平行，内错角相等”求∠DOA=30°，再求∠α=120°；④当OD∥AB时，先用“两直线平行，内错角相等”求∠AOD=45°，再求∠α=135°；⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，利用“两直线平行，内错角相等”求则∠CEO=45°，再利用平角求∠DEO=135°，再利用“三角形内角和180°”求∠DOE=15°，最后求∠α=165°. 15．【答案】10 16．【答案】（1）3；（2） 17．【答案】 18．【答案】（1） （2） （3）当时该不等式的解集为 19．【答案】（1）甲每天建滴灌系统9米，乙每天建滴灌系统6米 （2）乙还需要天，至少取10才能保证该滴灌系统在45天内建成 （3）甲建10天乙建35天或甲建12天乙建32天两种方案 20．【答案】解：如图， 由题意得到： ∴ 若使 ∴ ∴ ∴， ∴从C地沿北偏东55°方向跑，可以保持与AB的方向一致. 【解析】【分析】根据题意得到：进而求出∠CBE的度数，然后根据平行线的性质即可求解. 21．【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元． 22．【答案】（1）；0；2；0 （2） （3）P点的坐标为或 23．【答案】（1） （2）不变 （3）不变，的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $