期末检测卷（2）2025-2026学年七年级数学下学期人教版

**基本信息** 人教版七年级下学期期末检测卷，覆盖第7-12章，通过《九章算术》古题、公共自行车调查、快递机器人方案等真实情境，融合几何直观与代数运算，体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|实数比较、平移性质、调查方式选择等|结合图形辨析考查空间观念，如平移图案识别| |填空题|4题/16分|点到坐标轴距离、二元一次方程解等|设置最短路径问题（第16题），渗透几何最值思想| |解答题|9题/98分|统计图表分析、平行线证明、机器人购买方案等|以动态几何（第25题）、图形剪拼（第24题）设计探究性问题，呼应核心素养中创新意识与推理能力要求|

人教版2025-2026学年七年级下学期期末检测卷2 考试范围：第7章--第12章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列四个数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）观察下列四幅图案，通过平移可以得到如图的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）为了解决下列问题，收集数据方式合适的是（     ） A．采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件 B．采用全面调查检查一批饮料的质量 C．采用全面调查检查河水的污染情况 D．采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间 4．（本题3分）将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 8．（本题3分）估计的值在（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 9．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 10．（本题3分）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 11．（本题3分）如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算：_____． 14．（本题4分）点到轴上的距离是_____． 15．（本题4分）已知是二元一次方程的一组解，则_______． 16．（本题4分）如图，中，，D为边上任意一点，连接，E为上一动点，过E作，垂足为F，，则最小值为________ ． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）解答下列各题 (1)计算 (2)解方程 18．（本题10分）解不等式组并求它的所有整数解的和． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 20．（本题10分）某市为响应“低碳环保，绿色出行”的号召，投放“公共自行车”供市民出行时租用．某校数学兴趣小组随机从七年级学生中抽取部分学生，对他们每月使用公共自行车的次数进行了调查，并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名学生，在扇形统计图中“10次以下”所在扇形的圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)若该校七年级有1200名学生，估计有多少名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”． 21．（本题10分）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（①） ∵AE平分（已知）， ∴②（角平分线的定义）． ∴③（等量代换）． ∵（已知）， ∴（④）． ∴⑤（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 22．（本题10分）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 23．（本题12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用/万元 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)分别求出A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台（两种都购买），则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 24．（本题12分）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 25．（本题12分）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，过直角三角尺的顶点作平分平分，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点在直线的上方时，试探究与之间存在的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年七年级下学期期末检测卷2答案解析 考试范围：第7章--第12章；考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列四个数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】根据正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小，据此即可判断． 【详解】解：∵正数大于一切负数，， ∴排除选项； 又两个负数比较大小，绝对值越大，数本身越小；，， 因此，，排除，选项； ∵，且， ∴，符合要求． 2．（本题3分）观察下列四幅图案，通过平移可以得到如图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移 【详解】 解：通过平移可以得到如图的是． 3．（本题3分）为了解决下列问题，收集数据方式合适的是（     ） A．采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件 B．采用全面调查检查一批饮料的质量 C．采用全面调查检查河水的污染情况 D．采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间 【答案】A 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】一般来说，全面调查能够得到总体全面、准确的信息，但有时总体中个体的数目比较大，全面调查工作量大，有时受条件限制，或具有破坏性无法进行时，多采用抽样调查的方式． 【详解】解：A、采用全面调查检查中国空间站“梦天舱”的零部件，能够得到全面准确的信息，收集数据的方式合适，符合题意； B、采用全面调查检查一批饮料的质量，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意； C、采用全面调查检查河水的污染情况，工作量大，不易实现，收集数据的方式不合适，不符合题意； D、采用抽样调查了解本班学生每周的课外阅读时间，应采取全面调查的方式，才能全面，准确的收集数据，所以，收集数据的方式不合适，不符合题意． 4．（本题3分）将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】向右平移时点的横坐标增加，纵坐标保持不变． 【详解】解：根据点平移的规律，点向右平移个单位长度后，得到的新点坐标为， 则点向右平移个单位长度后，横坐标为，纵坐标不变仍为， 即点的坐标为． 5．（本题3分）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【详解】解：A．不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故A错误． B．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故B正确． C．不等式两边先乘以，得，再两边同时减去，可得，故C错误． D．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故D错误． 6．（本题3分）如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了对顶角相等的性质及垂线的定义，根据图形找出角度间的关系是解题关键，由对顶角相等可得，由垂直可得，进而利用角的和差关系求解． 【详解】解： 直线、交于点， （对顶角相等）， ， ， ． 7．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【知识点】判断命题真假、两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法的符号法则和乘积为0的性质，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：根据有理数乘法法则：两个非零数相乘，同号得正，异号得负，若乘积为0，则至少有一个因数为0， 当时，，但，A不是真命题； 若，则异号，即一个为正一个为负，并非都小于0，B不是真命题； 当时，，但，C不是真命题； 若，根据乘法性质可得至少一个因数为0，即或，D是真命题． 8．（本题3分）估计的值在（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再推导的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴的值在3到4之间． 9．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题干描述的两个等量关系，分别列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】设甲持钱数为，乙持钱数为， 甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， 甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50，可得方程 ， 又乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱50， 乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，可得方程 ，因此可列方程组为 ． 10．（本题3分）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、求一个数的立方根、无理数 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 11．（本题3分）如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（本题3分）如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律探索，通过观察已知点的坐标，分别找出下标为奇数和偶数的点的横、纵坐标变化规律，归纳出通项公式，进而求解． 【详解】解：观察已知点的坐标：，，，，可以发现规律：当下标为奇数时，，，，，；当下标为偶数时，，，，，． 是偶数，且， ， 点的横坐标为，纵坐标为，即． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算：_____． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】先计算被开方数的值，再根据算术平方根的定义计算结果． 【详解】解：． 14．（本题4分）点到轴上的距离是_____． 【答案】7 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：已知点坐标为， 点的纵坐标为， 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 15．（本题4分）已知是二元一次方程的一组解，则_______． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】将x，y的值代入得到，然后整体代入计算即可． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 16．（本题4分）如图，中，，D为边上任意一点，连接，E为上一动点，过E作，垂足为F，，则最小值为________ ． 【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】过点C作于点G，当点E、F在线段上时，取得最小值，再利用面积法即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴当点E、F在线段上时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）解答下列各题 (1)计算 (2)解方程 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、实数的混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 18．（本题10分）解不等式组并求它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为： ∴它的所有整数解为，0，1， ∴所有整数解的和为：． 19．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 【答案】(1)如图所示． (2) (3)9.5 【知识点】利用网格求三角形面积、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标系中描点 【分析】（1）根据坐标，描出、、三点，依次连接，即可求解； （2）根据题意得，是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的，即可求解； （3）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． （3）解：． 20．（本题10分）某市为响应“低碳环保，绿色出行”的号召，投放“公共自行车”供市民出行时租用．某校数学兴趣小组随机从七年级学生中抽取部分学生，对他们每月使用公共自行车的次数进行了调查，并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名学生，在扇形统计图中“10次以下”所在扇形的圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)若该校七年级有1200名学生，估计有多少名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”． 【答案】(1)200； (2)补全条形统计图如图： (3)该校七年级约有240名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】（1）根据统计图得到“20次以上”的人数和占比，即可求得本次调查共随机抽取学生人数；根据统计图可知“10次以下”的人数，再用乘以其占比即可得到答案； （2）利用（1）中求得的本次调查总人数减去其它分类的学生人数得到“10至15次”人数，补全条形统计图即可； （3）利用七年级人数乘以本次调查“10至15次”人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知，“20次以上”的人数有80人，占比， ∴本次调查共随机抽取学生人数为 （人） 根据统计图可知“10次以下”的人数为20人， ∴“10次以下”所在扇形的圆心角的度数是； （2）解： （人）， 条形统计图补全略； （3）解：（人） 答：该校七年级约有240名学生每月使用公共自行车次数是“16至20次”． 21．（本题10分）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（①） ∵AE平分（已知）， ∴②（角平分线的定义）． ∴③（等量代换）． ∵（已知）， ∴（④）． ∴⑤（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知）， ∴②（角平分线的定义）． ∴③（等量代换）． ∵（已知）， ∴（④同旁内角互补，两直线平行）． ∴⑤（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 22．（本题10分）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：① ， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 23．（本题12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一： A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用/万元 1 3 260 3 2 360 信息二： A型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； B型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)分别求出A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过660万元购买A，B两种型号智能机器人共10台（两种都购买），则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元/台，B型智能机器人的单价为60万元/台 (2)共有3种购买方案：方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台；方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台；方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台；该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元/台，B型智能机器人的单价为y万元/台． 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元/台．B型智能机器人的单价为60万元/台． （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵a为正整数， ∴a的值可以为1，2，3，对应的值分别为9，8，7． ∴共有3种购买方案： 方案一：购买A型智能机器人1台，B型智能机器人9台．每天分拣快递的件数为（万件）； 方案二：购买A型智能机器人2台，B型智能机器人8台，每天分拣快递的件数为（万件）； 方案三：购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，每天分拣快递的件数为（万件）． ∵， ∴该企业选择购买A型智能机器人3台，B型智能机器人7台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递192万件． 24．（本题12分）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 25．（本题12分）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，过直角三角尺的顶点作平分平分，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点在直线的上方时，试探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据对顶角相等得到，再由同旁内角互补证明直线平行； （2）由题意证明，再根据角平分线的定义得到，过点作，得到，即可得到答案； （3）分当点在直线上方时，当点在直线与直线之间时，当点在直线下方时，三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ； （2）解：， ， 即． ， ． 平分平分， ， ． 如图②，过点作． ． ． ，即． （3）解：设． ①当点在直线上方时，如图，过点作． ， ． ． ． ， ． ， 即与之间存在的数量关系为； ②当点在直线与直线之间时，由（2），得； ③当点在直线下方时，如图，过点作． ， ． ． ． ， ． ， 即与之间存在的数量关系为． 综上所述，与之间存在的数量关系为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $