精品解析：北京市第一零一中学2025～2026学年下学期八年级数学6月第二次学情自测试题

北京一零一中学年第二学期练习 初二数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2027 D. 2028 5. 某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（ ）同学． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止． 设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平行四边形的面积是96 D. 函数图象与x轴交点坐标为和 二、填空题：（本题共18分，每小题3分） 11. 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 12. 已知点，在直线上，且，则__________（填“＞”“＜”或“＝”） 13. 如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为__________． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 15. 如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 16. 定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点．当这个点是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点． 如图①，在中，，是、两点的等腰点，也是强等腰点，是、两点的等腰点，是、两点的等腰点． （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，、两点均在格点上，线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有__________个． （2）如图③，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，点恰好成为、或、的强等腰点时，的长为__________． 三、解答题：（共52分，17、25、26题6分，18、22、23题5分，19、20、21题4分，24题7分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 19. 某班级计划组织爱心公益活动，为福利院捐献100件手工作品，手工作品有甲乙两种，其中甲种作品不少于30件，乙种作品不少于50件；甲种作品每一件的成本 与其数量 之间满足函数关系为，乙种作品每件成本为35元．如何分配两种作品的数量，使甲乙两种作品总成本为3100元？ 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设直线，轴及直线围成的区域为（含边界），若直线与区域有交点，直接写出的取值范围． 21. 已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 22. 每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填_____，②处应填_____； （2）请补全箱线图； （3）请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 23. 快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后1至6小时不同工作时长 （单位：小时）对应的累计分拣总量 （单位：万件），数据如下： 工作时长 1 2 3 4 5 6 甲分拣机 2 6 8 10 12 乙分拣机 （1）观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出 的值 ； （2）在平面直角坐标系中，大致画出 ， 在 范围内的图象； （3）结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为 小时（结果保留一位小数）； （4）如果有20.1万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作 小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． （1）当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． （2）点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 25. 已知，如图，正方形中，点、分别在、的延长线上，且． （1）证明：． （2）在延长线上取点，使得，连接，点为中点，连接．补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，记点关于 轴的对称点为（时 与重合），若线段 上存在两点，，满足，且，则称 为线段 的“衡角点” （1）已知点 ①在点，，中，线段 的“衡角点”是 ； ②若点是线段 的“衡角点”，则的取值范围是 ； （2）已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中学年第二学期练习 初二数学 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，错误； B选项：，正确； C选项：与不是同类二次根式，不能合并，错误； D选项：，错误． 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意； B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意； C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意； D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意； 故选：B． 3. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，据此求解即可． 【详解】解：向左平移3个单位得，再向下平移1个单位得． 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2027 D. 2028 【答案】D 【解析】 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 5. 某厂家2026年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份平均月增长率为， ∴可列方程：． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（ ）同学． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】成绩好坏看平均数，平均数越高成绩越好；发挥稳定性看方差，方差越小越稳定． 【详解】解：根据题意得：丙，丁的平均数高于甲，乙，且丙的方差低于丁的方差， 所以丙为最佳人选． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质及得出，，为等边三角形，根据，得出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出当时最小，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵菱形的对角线、相交于点，， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时最小，即最小， ∵， ∴， ∴最小值为． 9. 如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止． 设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平行四边形的面积是96 D. 函数图象与x轴交点坐标为和 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的运用，函数图象得到，结合勾股定理可判定A，B选项；过点作于点E，由勾股定理得到的值，根据平行四边形面积的计算可判定C选项；根据点P运动的总路程可判定D选项． 【详解】解：由图象可知：时，， ∴， 当时，， 当从时，从到，则, A选项：，，，由，得，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，， 如图所示，过点作于点E， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为，故C选项正确； D选项：总路程为， ∴函数图象与x轴交点为和，故D选项错误． 二、填空题：（本题共18分，每小题3分） 11. 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，． 12. 已知点，在直线上，且，则__________（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质，根据，即可得若，则． 【详解】解：∵直线中， ∴随增大而减小， ∴若，则． 13. 如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求不等式的解集，只需要找到函数的图像在函数的图像下方部分x的取值范围即可． 【详解】解：交点左侧，函数的图像在函数的图像下方，故不等式的解集为． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 【答案】 【解析】 【分析】由于四边形是正方形、是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点， ，， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得， ∴直线解析式为， 是直线与轴的交点， ∴令，得， 的坐标为． 16. 定义：如果一个点能与另外两个点构成等腰三角形，那么称这个点为另外两个点的等腰点．当这个点是等腰顶角的顶点时，这个点又称为强等腰点． 如图①，在中，，是、两点的等腰点，也是强等腰点，是、两点的等腰点，是、两点的等腰点． （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，、两点均在格点上，线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有__________个． （2）如图③，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，点恰好成为、或、的强等腰点时，的长为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据“等腰点”的定义，利用勾股定理找出能跟构成等腰三角形的格点即可； （2） 根据“强等腰点”的定义，分情况讨论：①当点恰好成为、的强等腰点时，此时，根据等腰三角形的判定与性质进行解答即可；②当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示，过点作于点，易得为等腰直角三角形，从而得到，设，利用勾股定理在中建立方程即可解答． 【详解】解：（1）如图所示，取格点、， 此时， ∴和是等腰三角形， ∴格点、是、两点的等腰点， 即线段上的8个格点中，是、两点的等腰点的有2个； （2）∵在中，，，，是的中点， ∴，， ∵是射线上一个动点， ∴①当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点恰好成为、的强等腰点时，此时，如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，的长为或． 三、解答题：（共52分，17、25、26题6分，18、22、23题5分，19、20、21题4分，24题7分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，先计算二次根式的乘法和除法，运用完全平方公式运算，化为最简二次根式，合并被开方数相同的二次根式即可． （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使得，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：分别是的中点， 是的中位线， 且， 又， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到且，从而得出，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明结论； （2）设与的交点为O．根据勾股定理求出，由中点的定义结合平行四边形的对角线互相平分求出，根据三角形中位线的性质求出，说明，即可根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与的交点为O． ∵点D是的中点，， ∴， ∴在中，， ∵是中点， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 19. 某班级计划组织爱心公益活动，为福利院捐献100件手工作品，手工作品有甲乙两种，其中甲种作品不少于30件，乙种作品不少于50件；甲种作品每一件的成本 与其数量 之间满足函数关系为，乙种作品每件成本为35元．如何分配两种作品的数量，使甲乙两种作品总成本为3100元？ 【答案】甲种作品40件，乙种作品60件时，总成本为3100元 【解析】 【分析】设甲种作品数量为件，则乙种作品数量为件，由甲种作品不少于30件且乙种作品不少于50件，得约束条件．甲种作品每件成本为元，乙种作品每件成本为35元，根据总成本为3100元，列方程，求解即可． 【详解】解：设甲种作品数量为 件，则乙种作品数量为件， 由题意得约束条件：， 即． 总成本为3100元，列方程： 化简得， 解得（不符合，舍去），， 此时，满足乙种作品不少于50件的要求． 答：甲种作品40件，乙种作品60件时，总成本为3100元． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设直线，轴及直线围成的区域为（含边界），若直线与区域有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平移性质知，再将点代入求出即可． （2）原题中区域由直线、轴与围成，其顶点为、、． 直线恒过定点，通过考察该直线绕旋转时与三角形边界的临界位置，可确定的范围． 【小问1详解】 解：一次函数由平移得到，故， 将代入得 ， 解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：原题中区域由、轴及围成， 三边顶点分别为、、． 直线恒过定点， 当直线经过时：，得， 当直线经过时：，得， 当直线经过时：，得， 直线与区域有交点时，的取值范围为． 21. 已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】（1）证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由求根公式得 计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 22. 每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填_____，②处应填_____； （2）请补全箱线图； （3）请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 【答案】（1）①；② （2）如图所示： （3）① 平均数角度：八年级平均成绩分，高于七年级的分，整体成绩更好； ② 稳定性角度：八年级成绩的方差更小，分数分布更集中，成绩更稳定； ③ 高分段角度：七年级最高分为分，高于八年级的分，七年级高分段学生表现更突出. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和众数的计算方法求解即可； （2）先求出七年级成绩的中位数，根据表中数据补全箱线图即可； （3）分别从平均数、方差及高分段角度分别分析即可． 【小问1详解】 解：八年级个数据的平均数为， ∴①处应填， ∵七年级学生成绩中，出现次，出现次数最多， ∴七年级学生成绩的众数是， ∴②处应填． 【小问2详解】 解：七年级的（中位数）是第和第个数据的平均数，即， ∴如图即为所求． 【小问3详解】 解：略 23. 快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后1至6小时不同工作时长 （单位：小时）对应的累计分拣总量 （单位：万件），数据如下： 工作时长 1 2 3 4 5 6 甲分拣机 2 6 8 10 12 乙分拣机 （1）观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出 的值 ； （2）在平面直角坐标系中，大致画出 ， 在 范围内的图象； （3）结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为 小时（结果保留一位小数）； （4）如果有20.1万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作 小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 【答案】（1） （2）解：如图， （3）． （4） 【解析】 【分析】（1）由表格信息可得答案； （2）先描点，再画图即可； （3）结合图象可得答案； （4）甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作，可得，进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：观察甲分拣机的数据变化规律，可得：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长约为小时． 【小问4详解】 解：由表格信息可得：甲分拣机每小时完成万件，乙分拣机小时完成万件， 设在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． ∴， 解得：， ∴甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． （1）当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． （2）点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②图象如图所示： ③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； 【小问2详解】 解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 25. 已知，如图，正方形中，点、分别在、的延长线上，且． （1）证明：． （2）在延长线上取点，使得，连接，点为中点，连接．补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明： 正方形中，，， ，，即， 在和中： ， ， ，， ， 即． （2） 证明：连接，延长使得， 连接,,交于点, ∵点为中点， ∴ 在和中： ， ∴ , ∴, 由（1）可知 ∴, ∵ ∴ 在和中： ， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）证明，进而根据全等三角形的性质即可求解； （2）连接，延长使得，连接,,交于点,可证，进而可知，，进而再证，进而可知，是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，记点关于 轴的对称点为（时 与重合），若线段 上存在两点，，满足，且，则称 为线段 的“衡角点” （1）已知点 ①在点，，中，线段 的“衡角点”是 ； ②若点是线段 的“衡角点”，则的取值范围是 ； （2）已知点，点，点，，若线段上至少存在一个点是的“衡角点”，则的取值范围是 ． 【答案】（1）① ② 或 （2） 【解析】 【分析】（1）①由“衡角点”定义，点关于轴的对称点与线段上两点 构成等腰直角三角形，直角顶点为，底边在轴上，过作轴垂线，垂足为 中点，且，故，，要求均在线段上，即且，分别求出各点关于轴的对称点，代入验证即可． ②由①的结论，对称点与线段上两点构成等腰直角三角形时，需满足且，分，和三种情况讨论，分别得到的坐标，代入不等式求解即可． （2）先求得，根据题意，所有满足条件的  点构成以  为公共边的两个等边三角形围成的菱形区域内（不包括线段），可求得其四个顶点为、、、，设线段关于轴的对称线段为，问题转化为该菱形与线段有交点，从而通过边界位置确定的范围． 【小问1详解】 解：①由题意，点，， ∵点是线段的“衡角点”， ∴点关于轴的对称点，满足，且， ∴为等腰直角三角形， 令点在点的左侧，设点，过点作的垂线，垂足为， ∴点为线段的中点， 又， ∴， 的坐标为，的坐标为， 须在线段上， 且． 关于轴的对称点为，则点横坐标，不符合题意； 关于轴的对称点为，则点横坐标，点横坐标，符合题意； 关于轴的对称点为，则点横坐标，点横坐标，符合题意； 综上，线段 的“衡角点”是． ②关于轴的对称点为， 由①得，点，， 当在轴上方，即，时， ，， 须满足，解得，此时； 当在轴下方，即，时， ，， 须满足，解得，此时； 当时，在轴上，不符合题意； 综上，或． 【小问2详解】 解： ， ， 由题意可知，“衡角点”对应为等边三角形（ 在线段  上）， 如图，所有满足条件的  点构成以  为公共边的两个等边三角形围成的菱形区域内（不包括线段）， 过点作轴，则，设的中点为， ∴，， ∴， 为等边三角形，， 三点共线，即在轴上，轴， 四个顶点为：， 菱形沿着轴方向上下平移， 如图，线段关于轴的对称线段为， 在线段上， 在线段上， 线段上至少存在一个点是的“衡角点”， 线段与上述菱形有交点， ， ∴， 为等腰直角三角形， ， 和不可能重合， 设直线：，代入，可得，解得， ， 如图，当在上时，将代入， 可得，解得， 当平移至位置时，此时在上时，将代入， 可得，解得， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $