精品解析：北京市三帆中学2025—2026学年度八年级数学下学期6月阶段测试数学试题

初二下数学练习 Ⅰ卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1，1 D. ，， 3. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 4. 如图，中，，于点， 是边的中点，连结．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线的交点P的横坐标为3，则下列说法错误的是（ ） A. B. 点P的纵坐标为 C. 关于x、y的方程组的解为 D. 当 时，的解集为 6. 如图，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共12分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8. 某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 9. 如图，在中，于点，，，连接．若平分，则的长是____________． 10. 如图，，，线段上一点满足．若，的面积为，则的长为____________． 11. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5个单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为_____． 12. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 三、解答题（本题共61分，第13题12分，第14、16、18题8分，第15题9分，第17题10分，第19题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移1个单位长度得到直线，直线与直线：交于点． （1）求 ，的值； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，直接写出：当时，的取值范围是___________________； （3）求直线，与轴围成的三角形的面积． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交 轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 17. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图、统计表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7 a 训练后 b 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）____________，____________； （2）补全图1的条形统计图； （3）如图3是小帆绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请直接写出训练后的四分位数： 第一四分位数____________，第二四分位数____________，第三四分位数____________；并将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整，并标出数据； （4）请根据以上统计量、箱线图，至少从两个方面分析训练前后的成绩变化． （5）估计该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数． 18. 如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． （1）判断与的位置关系并证明； （2）连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 19. 在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． （1）若： ①在中，正方形关于点的“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． Ⅱ卷 （共25分，第20-23题每小题2分，第24题7分，第25、26题每小题5分） 20. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 21. 王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s与所经过的时间t之间的函数关系．则下列说法正确的是（ ） A. 学校与图书馆的距离是 B. 王鹏在图书馆停留的时间为分钟 C. 王鹏骑自行车的速度是李明步行速度的倍 D. 相遇前，二人之间的距离的最大值是 22. 在中，，则______． 23. 已知一次函数（，是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 24. 如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 选做题 25. 在平面直角坐标系中，已知点和点，称以点A为起点，点B为终点的有向线段为“向量”，记作．用坐标表示为，其中称为的横坐标，为的纵坐标．若两向量的横、纵坐标分别相等，则称两向量相等．当时，称点M到点的变换为“沿的平移变换”． 已知点，解决以下问题： （1）已知点． ①若点，则点M经过“沿的平移变换”后的对应点的坐标为__________ ②若点，，，则以点C，D，E中的两个点为起点和终点的向量中，与相等的向量是_______________； ③直线l：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为______________； （2）已知点，点N经过“沿的平移变换”后的对应点为，若四边形是正方形，则的坐标为________________． 26. 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． （3）已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二下数学练习 Ⅰ卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1，1 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，验证每组中两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. B 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. C 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. D 最长边为，，，，能构成直角三角形，符合题意. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误； 对于B，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B正确； 对于C，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故C错误； 对于D，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不是菱形，故D错误． 4. 如图，中，，于点，是边的中点，连结．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理先求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，于点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ 又∵是边的中点， ∴． 5. 直线与直线的交点P的横坐标为3，则下列说法错误的是（ ） A. B. 点P的纵坐标为 C. 关于x、y的方程组的解为 D. 当时，的解集为 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线相交问题，求出直线经过点P的坐标是解决本题的关键． 将代入中，得出y的值，即可确定点P的坐标，然后代入可判定A选项；根据点P的纵坐标可判定B选项；两直线相交坐标是两对应方程组的解的x、y值可判定C选项，；C、根据一次函数k的值判断增减性；将P点坐标代入进行判断即可． 【详解】解：将代入中，可得，即点P的坐标为； A、将点P的坐标代入，可得，故选A项说法错误； B、由点P的坐标为，则点P的纵坐标为，故B选项说法正确； C、由点P的坐标为，关于x、y的方程组的解为，故选项C说法正确； D、直线与直线的交点P的横坐标为3且，则的解集为，故选项D说法正确； 故选A． 6. 如图，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线，过作于，当、与三点共线，且时，最小，利用直角三角形的性质及勾股定理求解即可. 【详解】解：作的平分线，过作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、与三点共线，且时，最小为， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即：的最小值为. 二、填空题（每题2分，共12分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥4． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有x﹣4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 8. 某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 【答案】甲 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出甲、乙两人的学期成绩，再比较两人成绩的大小即可得到结果． 【详解】解：甲的学期成绩为， 乙的学期成绩为， 因为，所以甲的学期成绩更高． 9. 如图，在中，于点，，，连接．若平分，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质及角平分线的定义得出，进而得到，则即可求解． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，，，线段上一点满足．若，的面积为，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可. 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 11. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5个单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质知AB=5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答． 【详解】解：令y=0，则x=-，即A（-，0）． 令x=0，则y=3，即B（0，3）． ∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形， ∴AB=5，则AB2=25． ∴（-）2+32=25． 解得k=． 故答案为：． 【点睛】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB=5． 12. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过分析图象，点从点到用，此时的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知当点从到时，用时，应用两次勾股定理分别求和即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 由图象可知，点从点到用， 此时，的面积为， ∵， ∴菱形中， ∴， 即：， 当点从到时，用时， ∴，在中，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 即：， 解得， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本题共61分，第13题12分，第14、16、18题8分，第15题9分，第17题10分，第19题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）2 （3）2 （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移1个单位长度得到直线，直线与直线：交于点． （1）求 ，的值； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，直接写出：当时，的取值范围是___________________； （3）求直线，与轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）2 【解析】 【分析】（1）先根据平移得出直线的解析式，然后把点代入求出n的值，最后把代入求出k的值即可； （2）根据解析（1）得出直线的解析式为：，把代入得：，把代入得：，过点，画出函数图象即可，最后根据函数图象得出当时，的取值范围即可； （3）先分别求出两条直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：将函数的图象向上平移1个单位长度得到直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入得：， ∴直线与y轴的交点为， 把代入得：， ∴直线与y轴的交点为， ∵直线与直线交于点， ∴直线，与轴围成的三角形的面积为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 【答案】（1）解：所求图形如图所示； （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）菱形的面积为24，直线的表达式为 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据题意的证明思路，结合菱形的判定方法解答即可； （3）对于直线，分别令，令，求出点A，B的坐标，得到菱形两条对角线的长，根据菱形的面积计算方法求解即可．运用待定系数法即可求出直线的表达式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对于直线， 令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴，， ∴在菱形中，，， ∴． ∵， ∴， 设过点，的直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线经过点时m的值，当直线与直线平行时的值，再结合函数图象，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点时，， 解得：， 此时直线的解析式为， 当直线与直线平行时，此时直线的解析式为直线， 根据图象可得：当时，在时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，的取值范围为． 17. 跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图、统计表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7 a 训练后 b 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）____________，____________； （2）补全图1的条形统计图； （3）如图3是小帆绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请直接写出训练后的四分位数： 第一四分位数____________，第二四分位数____________，第三四分位数____________；并将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整，并标出数据； （4）请根据以上统计量、箱线图，至少从两个方面分析训练前后的成绩变化． （5）估计该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数． 【答案】（1）6分，9分 （2） （3） （4）解：从箱线图看，训练前箱线图的箱体相对较宽，说明训练前数据的离散程度较大，即学生成绩之间的差异较大；训练后箱线图的箱体相对较窄，表明训练后学生成绩的离散程度变小，成绩更为集中；训练前中位数对应的位置较低，训练后中位数对应的位置较高，说明训练后成绩的整体水平提高了． （5）280人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，中位数的定义，求解即可； （2）求得得分8分的人数为：，补图即可； （3）先计算各个四分数，再画出箱线图即可； （4）根据统计量的意义作出决策即可． （5）利用样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得6分出现的次数最多，14次， 故众数分，根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 中位数是第25个数据，第26个数据的平均数， 故（分）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 且， 第一四分数是第12个数据，第13个数据的平均数，故分， ，故第二四分数是第25个数据，故分， ，故第三四分数是第37个数据，第38个数据的平均数，故分， 补图略； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：根据题意，得（人）， 答：该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数为280人． 18. 如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． （1）判断与的位置关系并证明； （2）连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点，连接，过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． （1）若： ①在中，正方形关于点的“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，则，，，，再判断点与正方形的位置关系，再结合“位移点”的定义即可判断；②根据题意，正方形的边长为2，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；连接、，根据“位移点”的定义可知，点在六边形的内部或边上，再进一步分析求出的长的最小值和最大值，即可得出答案； （2）利用待定系数法可得线段的解析式为，设点的坐标为，其中，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，，进而得出正方形的对角线长为，根据“点G、H为正方形关于点的“位移点”，且”，可知线段为正方形的对角线，再分4种情况讨论点G、H的位置，根据勾股定理列出方程，求出和的关系（或的值），即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①若，则，，，， ∵点， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，如图： ∴，，，， ∵点在正方形的内部， ∴点是正方形关于点的“位移点”； ∵在正方形的外部， ∴点不是正方形关于点的“位移点”； ∵在正方形的边上， ∴点是正方形关于点的“位移点”； 综上，正方形关于点的“位移点”是、； ②由题意得，正方形的边长为2， ∵点、， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 如图，连接、， ∵在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”， ∴点在六边形的内部或边上， 当点在线段上，且时，的长有最小值，记此时点为， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵点在线段上，， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴的长有最小值； ∵，，， ∴，， ∴， 由图象可知，当点与点或点重合时，的长有最大值； 综上，的长的取值范围为； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵正方形的四个顶点分别为，，，， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，， ∴， 即正方形的边长为2， ∴正方形的对角线长为， 又∵点G、H为正方形关于点的“位移点”，且， ∴线段为正方形的对角线； ①当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， ∵为以点为直角顶点的直角三角形，即， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ②当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； ③当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ④当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． Ⅱ卷 （共25分，第20-23题每小题2分，第24题7分，第25、26题每小题5分） 20. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 21. 王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s与所经过的时间t之间的函数关系．则下列说法正确的是（ ） A. 学校与图书馆的距离是 B. 王鹏在图书馆停留的时间为分钟 C. 王鹏骑自行车的速度是李明步行速度的倍 D. 相遇前，二人之间的距离的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象，待定系数法，解答即可； 【详解】解：当时，，即学校与图书馆的距离是， 故A正确； 根据图象，得王鹏在图书馆停留的时间为分钟， 故B正确； 根据题意，得王鹏骑自行车的速度是， 李明步行的速度是， 故王鹏骑自行车的速度是李明步行速度的倍， 故C错误； 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 设 的解析式为，根据题意，得， 解得， 故 的解析式为， 当时，两人之间的距离为：， 当时，取得最大值，且为； 当时，两人之间的距离为：， 当时，取得最大值，且为； 当时，王鹏查完资料，从原路返回，相遇前，与李明的距离一直在缩小， 故两人之间的距离的最大值是； 故D正确； 22. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴． 23. 已知一次函数（，是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，由时，可判断函数随的增大而减小，得到一次项系数小于，进而求出的取值范围，写出范围内任意一个值即可. 【详解】解：，是一次函数的图象上两点， 当时，， 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解得， 可取（答案不唯一）. 24. 如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明∶， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，则四边形是矩形，即可解答； （2）先推导出，，求出，，，进而根据矩形的性质，得到，，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，， ， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 选做题 25. 在平面直角坐标系中，已知点和点，称以点A为起点，点B为终点的有向线段为“向量”，记作．用坐标表示为，其中称为的横坐标，为的纵坐标．若两向量的横、纵坐标分别相等，则称两向量相等．当时，称点M到点的变换为“沿的平移变换”． 已知点，解决以下问题： （1）已知点． ①若点，则点M经过“沿的平移变换”后的对应点的坐标为__________ ②若点，，，则以点C，D，E中的两个点为起点和终点的向量中，与相等的向量是_______________； ③直线l：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为______________； （2）已知点，点N经过“沿的平移变换”后的对应点为，若四边形是正方形，则的坐标为________________． 【答案】（1）①；②；③； （2）或． 【解析】 【分析】（1）①利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答；②根据题意求出所有向量，比较后即可得到答案；③找到平移规律即可得到答案； （2）根据正方形的性质及向量的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点，，，点经过“沿的平移变换”后的对应点是， ∴， 解得：， 即：； ②∵，，， ，，，， ∴与相等的向量是； ③∵直线：经过“沿的平移变换”为沿轴向右平移，沿轴向上平移， ∴直线：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为：； 【小问2详解】 解：设， ∵点，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴的坐标为或． 26. 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． （3）已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【答案】（1）高 （2）; （3）这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的 【解析】 【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可； （2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可． （3）当时，，对照表解答即可； 【小问1详解】 解：高； 【小问2详解】 解：设，当时，， 故， 解得， 故； 图象略 【小问3详解】 解：根据题意，得当时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $