精品解析：上海市进才中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

上海市进才中学2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知，，则_________． 2. 已知向量，，则在上的数量投影为_____． 3. 已知复数（为虚数单位），则___________． 4. 已知，，则与的夹角为_______________． 5. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 6. 已知锐角中，，则的值是__________． 7. 已知函数，，则的极大值点为__________． 8. 已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则_______ 9. 已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 10. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为，则的最大值为_________ 11. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 12. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 某厂2025年投资额和利润都逐月增加，投资额逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同．已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总投资额N与总利润值W的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是增函数 D. 存在在处取到极小值 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 分别求下列函数的导数： （1）； （2）． 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 （1）求C； （2）若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 19. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 20. 已知，，函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值； （3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集. 21. 已知函数，点在函数的图象上．且． （1）设，求在的最大值； （2）判断数列的单调性并严格证明； （3）设．证明：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过特殊角三角函数值即可求解. 【详解】由且，可得， 因此. 2. 已知向量，，则在上的数量投影为_____． 【答案】 【解析】 【详解】已知向量，， ，， 所以在上的数量投影为． 3. 已知复数（为虚数单位），则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则． 4. 已知，，则与的夹角为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直，数量积为零，再利用数量积求夹角余弦值，即可求解. 【详解】由可得：. 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为：. 5. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 6. 已知锐角中，，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知的两式相减，利用两角和的余弦公式化简求值，即可求得的值. 【详解】由题意，可得， 又因为， 所以， 在锐角中，， 所以， 则，即，. 7. 已知函数，，则的极大值点为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求得函数导数，令其等于0，结合极值点的判断，即可得答案. 【详解】因为，所以， 令， 由于，故，则或， 故或， 当以及时，，在和上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故为的极大值点， 故答案为： 8. 已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出、的通项公式，依题意求出，再根据等比数列求和公式求出，再计算极限即可. 【详解】因为是首项为、公差为的等差数列，所以； 又是首项为、公比为的等比数列，所以， 依题意，解得（舍去）或， 所以，则， 所以. 故答案为： 9. 已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的最大值条件求解参数。 【详解】因为， 所以， 当时，， 若在区间上的最大值为， 则，， 则，即得. 10. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为，则的最大值为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目条件求出、、的坐标，再根据向量数量积的坐标运算求出的表达式，最后根据二次函数的性质求最大值 【详解】因为， 所以， 设点的坐标为，则，所以，即， 所以点坐标为 因为，当时，，此时点坐标为；当时，，此时点坐标为，不妨设， 两点间距离公式得， 由，，，，得，，， 所以， 所以， 令，，此为二次函数，对称轴， 所以当时取得最大值，， 故的最大值为 11. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 【答案】12 【解析】 【分析】由已知等式可得或，首先求出数列为等差数列或等比数列时正整数的值，然后再讨论为等差和等比交叉数列，要使的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果. 【详解】由，得或. 当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，即，解得； 当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，即，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，， 若要使最小，则，，， ，，，， ，，，，， 又，要使m最小，则， 此时，故的最小值为12. 故答案为：12. 12. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，，，依次求解点的轨迹， 再根据的几何意义求其最小值. 【详解】 如图在直角坐标系中，， ∵，∴点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆. 设，由可知，. 设， 则， ， 设，则 （*）， （**）， 由（*）可得  ① 由（**）可得  ② ①＋②得：，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则，因点，， 由图知，的最小值为，故的最小值是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 14. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 15. 某厂2025年投资额和利润都逐月增加，投资额逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同．已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总投资额N与总利润值W的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列、等差数列的几何性质推理判断即得. 【详解】由投资额逐月增长的百分率相同，得各月投资额构成等比数列，公比，， 由利润逐月增加值相同，得各月利润值构成等差数列，公差， 可视为关于的指数型函数，而，该函数是增函数、凹函数， 可视为的一次型函数，该函数是增函数， 由，得两个函数图象有2个交点，而函数随的增大，增长逐渐变快， 因此两个函数图象在两个交点间的部分，图象上的点在的下方， 即，所以. 故选：A 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是增函数 D. 存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 分别求下列函数的导数： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本初等函数的导函数和导数的四则运算即可求解； （2）由基本初等函数的导函数和导数的四则运算即可求解； 【小问1详解】 【小问2详解】 . 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 （1）求C； （2）若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，得到利用两角和的正弦公式求解即可得解. （2）由题意在边上一点，且，可得，将此式子两边平方，通过计算，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 （1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，即：， ∵，∴. 【小问2详解】 （2）由题意在边上一点，且， 可得， ∴，∴， 故，， ∴当且仅当时取到等号，故， ∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 19. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 【答案】（1） （2）80万件 【解析】 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可； （2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 【小问2详解】 设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 20. 已知，，函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值； （3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3），. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标形式和三角变换公式可得，最后根据公式求得周期； （2）利用整体法可求函数的最值及对应的的值； （3）根据平移变换求得的解析式，根据的图象的对称性可求的值，利用整体法可求不等式的解. 【小问1详解】 由已知，， 故， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，故， 故， 当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以. 又函数的图象关于点对称，所以， 故，即时即时， 当取最小值且时，此时， 此时，即 解得，解得，其中， 即不等式解集为，. 21. 已知函数，点在函数的图象上．且． （1）设，求在的最大值； （2）判断数列的单调性并严格证明； （3）设．证明：； 【答案】（1） （2）数列的单调递减，证明如下： 因为点在函数的图象上， 所以，，且 由（1）知函数在内单调递减， 所以，即， 得到当时，， 因为，所以， 假设，则， 所以由数学归纳法知数列, 所以， 所以数列单调递减. （3）由（2）知数列的单调递减， 所以 . 即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，得到函数的单调性，再求最大值即可； （2）利用数学归纳法得到数列的单调性； （3）利用三角函数的性质进行放缩即可证明. 【小问1详解】 由，得到， 在内，当且仅当时等号成立， 所以函数在内单调递减， 所以在内的最大值为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $