专题25.2 降次——解一元二次方程（暑假预习讲义） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题25.2 降次——解一元二次方程 【本节预习目标】 1.理解“降次”的核心数学思想，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种一元二次方程的解法，能根据方程特征选择恰当方法求解。 2.理解一元二次方程根的判别式的意义，能不解方程判断根的情况，能根据根的情况反求参数的取值范围。 3.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能不解方程求两根对称代数式的值，已知一根快速求另一根及对应参数。 4.能运用换元法、分类讨论思想解决特殊结构的一元二次方程，提升代数推理与运算素养。 5.能结合几何、生活实际、数学文化等情境建立方程并求解，体会方程模型的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 平方根性质 正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 直接开平方法的理论依据，决定方程是否有实数根 完全平方公式 配方法的核心依据，实现配方降次 因式分解 提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法 因式分解法的基础，将二次式分解为一次式乘积 一元一次方程解法 去括号、移项、合并同类项、系数化为1 一元二次方程降次后，转化为一元一次方程求解 整式运算 多项式乘法、合并同类项 方程整理为一般形式、配方变形的运算基础 知识点1：直接开平方法 1.定义：利用平方根的意义直接对一元二次方程开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解的方法，叫做直接开平方法。 2.基本类型与解的情况： （1）形如的方程： 当时，有两个不相等的实数根：，； 当时，有两个相等的实数根：； 当时，无实数根。 （2）形如的方程：将看作整体，按上述规则开平方后解一元一次方程。 3.核心思想：将二次式整体开平方，实现“降次”，转化为一元一次方程。 知识点2：配方法 1.定义：将一元二次方程的左边配成含有未知数的完全平方式，右边化为常数，再用直接开平方法求解的方法，叫做配方法。 2.一般步骤（以为例）： ①一移：移项，将常数项移到方程右边； ②二化：二次项系数化为1，方程两边同除以二次项系数； ③三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式； ④四开：若右边非负，直接开平方；若右边为负，方程无实数根； ⑤五解：解得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。 3.关键：当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，是配方的核心。 知识点3：一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，代数式叫做根的判别式，用希腊字母表示，即。 2.根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 3.双向应用：正用可不解方程直接判断根的情况；逆用可根据根的情况，反求参数的取值范围。 知识点4：公式法 1.求根公式：当时，一元二次方程的实数根为： 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 2.定义：将各项系数直接代入求根公式求解一元二次方程的方法，叫做公式法。 3.解题步骤： ①化：将方程化为一般形式，确定a,b,c的值（注意各项符号）； ②算：计算的值，判断根的情况； ③代：若，代入求根公式计算方程的根；若，判定方程无实数根。 知识点5：因式分解法 1.原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，即若，则或。 2.定义：先将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个方程得到原方程的根，这种方法叫做因式分解法。 3.一般步骤： ①移项：将方程右边化为0； ②分解：将方程左边用提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式； ③转化：令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程； ④求解：解两个一元一次方程，得到原方程的根。 4.特点：计算简便，但仅适用于左边易分解的方程，属于特殊解法。 知识点6：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.核心结论：若一元二次方程的两个实数根为，则： 文字表述：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比。 2.简化形式：对于二次项系数为1的方程，有，。 3.使用前提：①方程是一元二次方程（）；②方程有实数根（）。 4.常见代数式变形： 【基础巩固题型】 【题型1】直接开平方法解一元二次方程 1.核心知识点 平方根的意义；直接开平方法的原理；型方程的求解。 2.解题方法技巧 ①先将方程化为或的标准形式； ②判断的符号，时直接判定无实数根； ③时开平方，注意右边取正负两个值，不要漏负根； ④解得到的一元一次方程，化简得到最终解。 【例题1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将移到方程右边，然后开方求解； （2）将移到方程右边，然后将方程左边配方成完全平方公式，然后开方求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 解得：，； （2）解：， ， ， 可得， 解得：，． 【题型2】配方法解一元二次方程 1.核心知识点 完全平方公式；配方法的五步流程；二次项系数化为1的运算规则。 2.解题方法技巧 ①严格遵循“移、化、配、开、解”五步，移项注意变号； ②二次项系数不为1时，先两边同除以二次项系数，再配方； ③配方时，方程两边必须同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立； ④开平方前先判断右边常数的符号，避免无意义开方。 【例题2】.（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东威海·期中）解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，即或， 解得，． （2）解：， ， 或， 解得，． 【变式题2-2】.（2026·安徽·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 【题型3】根的判别式判断方程根的情况 1.核心知识点 根的判别式；三种根的情况与判别式的对应关系。 2.解题方法技巧 ①先将方程化为一般形式，准确找出a,b,c的值，注意各项符号； ②代入公式计算，计算时注意平方运算和负号处理； ③根据的正负性对应判断根的情况，有实数根，无实数根。 【例题3】.（2026·河南平顶山·三模）一元二次方程的根的情况是（     ）． A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根判别式的值即可判断根的情况． 【详解】 一元二次方程为 ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-1】.（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 【变式题3-2】.（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【题型4】公式法解一元二次方程 1.核心知识点 求根公式；根的判别式判断；一般形式的系数识别。 2.解题方法技巧 ①先整理为一般形式，确保右边为0，按未知数降幂排列； ②先计算判别式，无实根时直接下结论，有实根再代入求根公式； ③代入公式时注意的符号，分母是2a，不要漏乘2； ④结果能化简的要化为最简二次根式。 【例题4】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程： 【答案】 【分析】先将原方程整理为一般式，再利用公式法求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般式得 ， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 配方得，， ∴， 解得：， ∴，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【题型5】因式分解法解一元二次方程 1.核心知识点 提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；“乘积为0则至少一个因式为0”的原理。 2.解题方法技巧 ①必须先将方程右边化为0，再分解左边的代数式； ②优先观察是否有公因式可提，再考虑公式法或十字相乘法； ③禁止方程两边同时除以含未知数的代数式，防止丢失根； ④令每个因式为0，分别解一元一次方程，得到两个根。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． （2）解： ∴， ， 解得：，． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 因式分解得，， 解得：，． （2）解： 移项得，， 配方得，，即， ∴， 解得：，． 【变式题5-2】.（2026·宁夏银川·三模）计算： (1) (2) 【答案】(1) . (2) . 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 解得; （2）解：， ， ， 解得; 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 【培优提升题型】 【题型6】换元法解特殊结构一元二次方程 1.核心知识点 整体思想；换元降次；双二次方程、整体重复型方程的求解。 2.解题方法技巧 ①观察方程结构，将重复出现的代数式设为新元； ②将原方程转化为关于的一元二次方程，求解的值； ③将代回换元式，反解原未知数； ④注意检验解是否符合题意，舍去增根。 【例题6】.（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 【题型7】根与系数的关系应用 1.核心知识点 韦达定理（两根和、两根积公式）；常见对称代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 ①已知一根求另一根：利用两根和或两根积直接列式计算，比代入法更简便； ②求对称代数式的值：先将代数式变形为用和表示的形式，再整体代入求值； ③计算前先验证，确保方程有实数根。 【例题7】.（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 【变式题7-1】.（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 【变式题7-2】.（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 【题型8】根的判别式与根与系数的关系综合应用 1.核心知识点 根的判别式；韦达定理；代数式变形；参数求解与取舍。 2.解题方法技巧 ①先根据方程有实数根，由求出参数的初步取值范围； ②利用韦达定理将题干条件转化为关于参数的方程，解出参数的值； ③将参数值代入初步范围检验，舍去使的参数； ④涉及两根差、平方和等变形时，熟练使用。 【例题8】.（25-26八年级下·山东·课后作业）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）讨论：当时，方程化为，解得；当时，即，计算根的判别式的值得到，则，则方程有两个实数根，从而可判断无论取何值，此方程总有实数根； （2）利用求根公式解方程得到，，再利用得到，然后解方程和方程即可． 【详解】（1）证明：当时，即，此时方程化为， 解得； 当时，即， ， 方程有两个实数根， 综上可知：无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：， ，， ， ， 当，解得， 经检验为原方程的解， 当，解得， 经检验为原方程的解， 综上所述，的值为或． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 (3)实数的整数值为或或或 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法的拓展应用 1.核心知识点 完全平方式的非负性；代数式配方变形；多变量分组配方求值。 2.解题方法技巧 ①求代数式最值：先将二次三项式配方为的形式，根据的正负判断最值； ②多变量方程：按字母分组配方，转化为“多个完全平方式之和为0”，利用非负性列方程求解； ③配方时提取二次项系数后，括号内加常数再减去相同常数，保证代数式的值不变。 【例题9】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 【题型10】新定义与情境类一元二次方程 1.核心知识点 阅读理解能力；新运算规则转化；实际情境建模与解方程。 2.解题方法技巧 ①新定义题型：先读懂自定义运算的规则，将方程按规则转化为标准一元二次方程，再选择合适方法求解； ②程序/流程图题型：根据输出结果反推输入值，列方程求解，注意分支条件的检验； ③几何情境题：结合几何公式（面积、勾股定理）列方程，求解后检验是否符合几何实际意义。 【例题10】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 【变式题10-3】.（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 易错点 1、使用直接开平方法时，只取正的平方根，漏掉负的平方根，导致少解。 2、配方法时，只在方程左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，破坏等式的平衡性；二次项系数化为1时，常数项漏除。 3、使用公式法时，未将方程化为一般形式就确定a,b,c，符号识别错误；求根公式中分子的符号处理错误，分母漏乘2。 4、因式分解法解方程时，方程两边同时除以含未知数的因式，造成漏根；未将方程右边化为0就分解左边，导致错误。 5、利用判别式求参数时，忽略“一元二次方程”的前提，忘记二次项系数不为0的限制；题干未说明是一元二次方程时，未分类讨论一次方程的情况。 6、使用根与系数的关系时，忽略的前提，对无实根的方程强行使用韦达定理；两根和的符号记错，漏掉负号。 重点 1、一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，掌握每种方法的步骤与适用范围，能灵活选择最优解法。 2、根的判别式，能正用判断根的情况，逆用求参数取值范围。 3、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），掌握两根和、两根积公式，能进行常见代数式的变形求值。 4、“降次”的核心数学思想，将一元二次方程转化为一元一次方程求解的转化思想。 难点 1、配方法的灵活应用，包括代数式最值、多变量配方求值、配方推导求根公式等。 2、含参数一元二次方程的分类讨论问题，区分“有实数根”与“有两个实数根”的不同条件。 3、换元法、分类讨论法解特殊结构方程（双二次方程、含绝对值方程），掌握整体思想与分类思想。 4、根的判别式与根与系数的关系的综合题型，结合几何、新定义等情境的综合应用。 一、单选题 1．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 2．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 3．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 二、填空题 4．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根， ， 解得． 6．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 三、解答题 7．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 8．关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2)解：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可． （2）根据证明即可． 【详解】（1）解：当时，变形为， ∴， 解得，． （2）略 9．解答下列各题： (1)解方程： . (2)已知平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行四边形的性质、一元二次方程的定义和根的判别式、根与系数关系等得到不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解： ， ∴或， 解得； （2）解：∵平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴一元二次方程有两个实数根，且， ∴，，，四个条件同时成立， 即 解得． 10．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 降次——解一元二次方程 【本节预习目标】 1.理解“降次”的核心数学思想，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种一元二次方程的解法，能根据方程特征选择恰当方法求解。 2.理解一元二次方程根的判别式的意义，能不解方程判断根的情况，能根据根的情况反求参数的取值范围。 3.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能不解方程求两根对称代数式的值，已知一根快速求另一根及对应参数。 4.能运用换元法、分类讨论思想解决特殊结构的一元二次方程，提升代数推理与运算素养。 5.能结合几何、生活实际、数学文化等情境建立方程并求解，体会方程模型的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 平方根性质 正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 直接开平方法的理论依据，决定方程是否有实数根 完全平方公式 配方法的核心依据，实现配方降次 因式分解 提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法 因式分解法的基础，将二次式分解为一次式乘积 一元一次方程解法 去括号、移项、合并同类项、系数化为1 一元二次方程降次后，转化为一元一次方程求解 整式运算 多项式乘法、合并同类项 方程整理为一般形式、配方变形的运算基础 知识点1：直接开平方法 1.定义：利用平方根的意义直接对一元二次方程开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解的方法，叫做直接开平方法。 2.基本类型与解的情况： （1）形如的方程： 当时，有两个不相等的实数根：，； 当时，有两个相等的实数根：； 当时，无实数根。 （2）形如的方程：将看作整体，按上述规则开平方后解一元一次方程。 3.核心思想：将二次式整体开平方，实现“降次”，转化为一元一次方程。 知识点2：配方法 1.定义：将一元二次方程的左边配成含有未知数的完全平方式，右边化为常数，再用直接开平方法求解的方法，叫做配方法。 2.一般步骤（以为例）： ①一移：移项，将常数项移到方程右边； ②二化：二次项系数化为1，方程两边同除以二次项系数； ③三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式； ④四开：若右边非负，直接开平方；若右边为负，方程无实数根； ⑤五解：解得到的两个一元一次方程，得到原方程的根。 3.关键：当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，是配方的核心。 知识点3：一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，代数式叫做根的判别式，用希腊字母表示，即。 2.根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 3.双向应用：正用可不解方程直接判断根的情况；逆用可根据根的情况，反求参数的取值范围。 知识点4：公式法 1.求根公式：当时，一元二次方程的实数根为： 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 2.定义：将各项系数直接代入求根公式求解一元二次方程的方法，叫做公式法。 3.解题步骤： ①化：将方程化为一般形式，确定a,b,c的值（注意各项符号）； ②算：计算的值，判断根的情况； ③代：若，代入求根公式计算方程的根；若，判定方程无实数根。 知识点5：因式分解法 1.原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，即若，则或。 2.定义：先将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个方程得到原方程的根，这种方法叫做因式分解法。 3.一般步骤： ①移项：将方程右边化为0； ②分解：将方程左边用提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式； ③转化：令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程； ④求解：解两个一元一次方程，得到原方程的根。 4.特点：计算简便，但仅适用于左边易分解的方程，属于特殊解法。 知识点6：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.核心结论：若一元二次方程的两个实数根为，则： 文字表述：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比。 2.简化形式：对于二次项系数为1的方程，有，。 3.使用前提：①方程是一元二次方程（）；②方程有实数根（）。 4.常见代数式变形： 【基础巩固题型】 【题型1】直接开平方法解一元二次方程 1.核心知识点 平方根的意义；直接开平方法的原理；型方程的求解。 2.解题方法技巧 ①先将方程化为或的标准形式； ②判断的符号，时直接判定无实数根； ③时开平方，注意右边取正负两个值，不要漏负根； ④解得到的一元一次方程，化简得到最终解。 【例题1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： 【变式题1-1】.（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【题型2】配方法解一元二次方程 1.核心知识点 完全平方公式；配方法的五步流程；二次项系数化为1的运算规则。 2.解题方法技巧 ①严格遵循“移、化、配、开、解”五步，移项注意变号； ②二次项系数不为1时，先两边同除以二次项系数，再配方； ③配方时，方程两边必须同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立； ④开平方前先判断右边常数的符号，避免无意义开方。 【例题2】.（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东威海·期中）解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 【变式题2-2】.（2026·安徽·二模）解方程：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【题型3】根的判别式判断方程根的情况 1.核心知识点 根的判别式；三种根的情况与判别式的对应关系。 2.解题方法技巧 ①先将方程化为一般形式，准确找出a,b,c的值，注意各项符号； ②代入公式计算，计算时注意平方运算和负号处理； ③根据的正负性对应判断根的情况，有实数根，无实数根。 【例题3】.（2026·河南平顶山·三模）一元二次方程的根的情况是（     ）． A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题3-1】.（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． (1)化简； (2)若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【题型4】公式法解一元二次方程 1.核心知识点 求根公式；根的判别式判断；一般形式的系数识别。 2.解题方法技巧 ①先整理为一般形式，确保右边为0，按未知数降幂排列； ②先计算判别式，无实根时直接下结论，有实根再代入求根公式； ③代入公式时注意的符号，分母是2a，不要漏乘2； ④结果能化简的要化为最简二次根式。 【例题4】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程： 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)（用公式法）． 【题型5】因式分解法解一元二次方程 1.核心知识点 提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；“乘积为0则至少一个因式为0”的原理。 2.解题方法技巧 ①必须先将方程右边化为0，再分解左边的代数式； ②优先观察是否有公因式可提，再考虑公式法或十字相乘法； ③禁止方程两边同时除以含未知数的代数式，防止丢失根； ④令每个因式为0，分别解一元一次方程，得到两个根。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程． (1)； (2)． 【变式题5-2】.（2026·宁夏银川·三模）计算： (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)． 【培优提升题型】 【题型6】换元法解特殊结构一元二次方程 1.核心知识点 整体思想；换元降次；双二次方程、整体重复型方程的求解。 2.解题方法技巧 ①观察方程结构，将重复出现的代数式设为新元； ②将原方程转化为关于的一元二次方程，求解的值； ③将代回换元式，反解原未知数； ④注意检验解是否符合题意，舍去增根。 【例题6】.（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【题型7】根与系数的关系应用 1.核心知识点 韦达定理（两根和、两根积公式）；常见对称代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 ①已知一根求另一根：利用两根和或两根积直接列式计算，比代入法更简便； ②求对称代数式的值：先将代数式变形为用和表示的形式，再整体代入求值； ③计算前先验证，确保方程有实数根。 【例题7】.（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【变式题7-1】.（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【变式题7-2】.（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【题型8】根的判别式与根与系数的关系综合应用 1.核心知识点 根的判别式；韦达定理；代数式变形；参数求解与取舍。 2.解题方法技巧 ①先根据方程有实数根，由求出参数的初步取值范围； ②利用韦达定理将题干条件转化为关于参数的方程，解出参数的值； ③将参数值代入初步范围检验，舍去使的参数； ④涉及两根差、平方和等变形时，熟练使用。 【例题8】.（25-26八年级下·山东·课后作业）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法的拓展应用 1.核心知识点 完全平方式的非负性；代数式配方变形；多变量分组配方求值。 2.解题方法技巧 ①求代数式最值：先将二次三项式配方为的形式，根据的正负判断最值； ②多变量方程：按字母分组配方，转化为“多个完全平方式之和为0”，利用非负性列方程求解； ③配方时提取二次项系数后，括号内加常数再减去相同常数，保证代数式的值不变。 【例题9】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【题型10】新定义与情境类一元二次方程 1.核心知识点 阅读理解能力；新运算规则转化；实际情境建模与解方程。 2.解题方法技巧 ①新定义题型：先读懂自定义运算的规则，将方程按规则转化为标准一元二次方程，再选择合适方法求解； ②程序/流程图题型：根据输出结果反推输入值，列方程求解，注意分支条件的检验； ③几何情境题：结合几何公式（面积、勾股定理）列方程，求解后检验是否符合几何实际意义。 【例题10】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 易错点 1、使用直接开平方法时，只取正的平方根，漏掉负的平方根，导致少解。 2、配方法时，只在方程左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，破坏等式的平衡性；二次项系数化为1时，常数项漏除。 3、使用公式法时，未将方程化为一般形式就确定a,b,c，符号识别错误；求根公式中分子的符号处理错误，分母漏乘2。 4、因式分解法解方程时，方程两边同时除以含未知数的因式，造成漏根；未将方程右边化为0就分解左边，导致错误。 5、利用判别式求参数时，忽略“一元二次方程”的前提，忘记二次项系数不为0的限制；题干未说明是一元二次方程时，未分类讨论一次方程的情况。 6、使用根与系数的关系时，忽略的前提，对无实根的方程强行使用韦达定理；两根和的符号记错，漏掉负号。 重点 1、一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，掌握每种方法的步骤与适用范围，能灵活选择最优解法。 2、根的判别式，能正用判断根的情况，逆用求参数取值范围。 3、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），掌握两根和、两根积公式，能进行常见代数式的变形求值。 4、“降次”的核心数学思想，将一元二次方程转化为一元一次方程求解的转化思想。 难点 1、配方法的灵活应用，包括代数式最值、多变量配方求值、配方推导求根公式等。 2、含参数一元二次方程的分类讨论问题，区分“有实数根”与“有两个实数根”的不同条件。 3、换元法、分类讨论法解特殊结构方程（双二次方程、含绝对值方程），掌握整体思想与分类思想。 4、根的判别式与根与系数的关系的综合题型，结合几何、新定义等情境的综合应用。 一、单选题 1．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 二、填空题 4．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 6．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 三、解答题 7．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 8．关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 9．解答下列各题： (1)解方程： . (2)已知平行四边形的两条对角线的长是关于x的一元二次方程的两个根，求k的取值范围． 10．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $