专题25.1 一元二次方程的概念（暑假预习讲义） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

专题25.1 一元二次方程的概念 【本节预习目标】 1.理解一元二次方程定义，能依据三大条件准确辨别一元二次方程，区分整式、分式、根式、多元、高次方程。 2.掌握一元二次方程一般形式，能规范整理方程，准确写出二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.理解一元二次方程根（解）的含义，会代入检验数值是否为方程的根，掌握已知根求参数、降次整体代换求代数式值的方法。 4.辨析含参数方程的分类讨论问题，规避“忽略”等高频易错点，培养严谨代数推理能力。 【前置旧知回顾】 对比回顾整式方程基础（一元一次方程），为新知类比学习铺垫： 对比维度 一元一次方程 预习新知：一元二次方程（待学） 定义 整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为1 整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为2 标准形式 核心限制 一次项系数 二次项系数 根的检验方法 代入等式，左右相等即为解 代入等式，左右相等即为根 常见应用 行程、工程、和差倍分基础应用题 面积、增长率、单循环、利润、古代数学问题 前置基础概念自查： 1.整式：分母不含未知数、根号内不含未知数的代数式； 2.方程：含有未知数的等式； 3.完全平方、多项式去括号、移项合并同类项运算规则。 知识点1：一元二次方程的定义 1.完整定义：等号两边均为整式，只含有一个未知数（一元），整理后未知数最高次数为2（二次）的等式，叫做一元二次方程。 2.判定三大必备条件（缺一不可）： ①整式方程：分母、根号内不能含有未知数； ②一元：仅存在1种未知数（如只含，不能同时含x、y）； ③二次：去括号、移项合并同类项后，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 3.反例辨析（均不是一元二次方程）： （分式）、（二元）、（三次）、（根式）。 知识点2：一元二次方程的一般形式 1.标准一般形式： ：二次项，为二次项系数； bx：一次项，为一次项系数； ：常数项（不含未知数的项）。 2.关键规则： （1）是核心前提，若，方程退化为（一元一次方程）； （2）b、c可取任意实数，允许为0，衍生三类特殊形式： ①：；②：；③：； （3）整理规范：先去括号→移项（全部移到左侧，右侧为0）→合并同类项，按降幂排列；各项符号跟随项本身，不可遗漏负号。 知识点3：一元二次方程的根（解） 1.定义：能使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。 2.基础检验方法：将数值代入方程左右两边，计算对比，相等则为根。 3.核心推论（快速判断根）： 若是的根； 若是的根； 若是的根。 4.核心解题思想：已知是方程的根，直接代入得，可变形实现降次，用于高次代数式整体代换求值。 【基础巩固题型】 【题型1】一元二次方程识别辨析 1.核心知识点 一元二次方程三大判定条件：整式、一元、未知数最高次为2；区分分式、根式、二元、高次方程。 2.解题方法技巧 ①先观察原式是否为整式；②若含括号，先展开化简；③化简后数未知数个数、看最高次数；④排除的特殊情况。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 【题型2】化为一般形式并识别各项系数 1.核心知识点 一元二次方程一般形式；二次项、一次项、常数项包含自身符号。 2.解题方法技巧 ①去括号（完全平方、多项式乘法）；②移项，所有项移至等式左侧，右侧化为0；③合并同类项；④按常数降幂排列，依次读取系数。 【例题2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式题2-1】.（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：， ， ，，． 故选：D． 【题型3】检验数值是否为一元二次方程的根 1.核心知识点 方程根的定义：代入后左右两边相等；简单有理数代入运算。 2.解题方法技巧 固定步骤：代入未知数→分别计算左边、右边代数式的值→对比大小，相等即为根。 【例题3】.（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 【题型4】根据一元二次方程定义求参数值 1.核心知识点 含参数方程为一元二次方程的双重条件：未知数次数=2、二次项系数≠0。 2.解题方法技巧 ①列次数等式：未知数指数=2，解出参数候选值； ②列系数不等式：二次项系数≠0，剔除不符合的参数； ③合并得到唯一符合条件的参数。 【例题4】.（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 【培优提升题型】 【题型5】已知方程的根，求参数 1.核心知识点 方程根的定义；一元一次方程求解参数。 2.解题方法技巧 把已知根代入原方程，得到只含参数的一元一次方程，解方程求出参数。 【例题5】.（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 【变式题5-1】.（2026·河南周口·二模）若是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入原方程得， 整理得， 解得． 【变式题5-2】.（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 【变式题5-3】.（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 【题型6】已知根，整体代换求代数式值 1.核心知识点 方程根的变形降次；整体代入思想，无需单独求未知数。 2.解题方法技巧 ①将根代入方程，变形得到二次项降次等式（如）； ②把所求代数式中高次项全部替换为一次式； ③约分、合并同类项化简求值。 【例题6】.（2026·广东深圳·三模）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 【变式题6-1】.（2026·山东日照·二模）已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 【变式题6-2】.（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 【变式题6-3】.（2026·甘肃武威·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型7】含参数方程分类讨论（一元一次/二次切换） 1.核心知识点 含参数的方程，分（一次方程）、（二次方程）两种情况讨论。 2.解题方法技巧 ①二次项系数=0时，验证未知数最高次数是否为1，为一元一次方程； ②二次项系数≠0时，满足次数=2，为一元二次方程； ③分情况作答，写出参数取值范围。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于x的方程，m取何值时，方程是一元二次方程？ 【答案】时，方程是一元二次方程 【分析】根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案；本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， ∴时，方程是一元二次方程． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【变式题7-3】.（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【题型8】新定义运算转化一元二次方程 1.核心知识点 阅读理解新运算规则；代数转化，整理为标准一元二次方程。 2.解题方法技巧 ①读懂题目自定义符号的运算公式； ②将方程中对应部分替换为新运算表达式； ③展开、移项、合并，化为标准形式。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 易错点 1.判断一元二次方程时，未先化简直接观察，忽略展开合并后二次项抵消的情况；同时忘记整式方程前提，误将分式、根式方程判定为一元二次方程。 2.整理一般形式、读取系数时，遗漏项前面的负号；移项时不变号，常数项、一次项系数符号出错。 3.含参数一元二次方程求值，只满足次数=2，忽略二次项系数的隐藏条件，多算出错误参数。 4.混淆单循环握手、互赠礼物两类模型，忘记单循环除以2，导致所列方程错误。 5.已知根代入代数式求值时，不会使用降次整体代换，强行求解未知数，计算复杂易出错。 6.认为一定是一元二次方程，忽略题干未说明是一元二次方程时，可以为0。 重点 1.一元二次方程的三大判定条件，能快速辨别各类方程。 2.一元二次方程一般形式，规范整理方程、准确识别三项及对应系数。 3.根的定义与代入检验法；已知根求参数、整体降次代换求代数式的值。 4.从几何、生活、数学文化情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型。 难点 1.含参数方程的分类讨论（区分一元一次、一元二次两种情况）。 2.高次代数式利用方程根降次，整体代入化简求值。 3.创新题型：新定义运算、平移换元型根的推导、古文言文数学建模。 4.图形面积平移转化、增长率、单循环两类易混淆模型的方程区分。 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 二、填空题 4．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 5．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 6．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 三、解答题 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，把代入求得或，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把代入，得， ， 解得或． ， ， 的值为或． 8．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知，从而可得：． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 9．若一元二次方程的右边被墨水污染▊． (1)若方程的一个解为时，求“▊”的值； (2)若“▊”表示，求． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法． （1）把代入，解出▊，即可； （2）根据题意，可得方程为，解出方程，即可． 【详解】（1）解：把代入， ∴， ∴“▊”的值为． （2）解：由题意得，方程为， ∴， ∵， ∴， ∴，． 10．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 一元二次方程的概念 【本节预习目标】 1.理解一元二次方程定义，能依据三大条件准确辨别一元二次方程，区分整式、分式、根式、多元、高次方程。 2.掌握一元二次方程一般形式，能规范整理方程，准确写出二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.理解一元二次方程根（解）的含义，会代入检验数值是否为方程的根，掌握已知根求参数、降次整体代换求代数式值的方法。 4.辨析含参数方程的分类讨论问题，规避“忽略”等高频易错点，培养严谨代数推理能力。 【前置旧知回顾】 对比回顾整式方程基础（一元一次方程），为新知类比学习铺垫： 对比维度 一元一次方程 预习新知：一元二次方程（待学） 定义 整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为1 整式方程，只含1个未知数，未知数最高次数为2 标准形式 核心限制 一次项系数 二次项系数 根的检验方法 代入等式，左右相等即为解 代入等式，左右相等即为根 常见应用 行程、工程、和差倍分基础应用题 面积、增长率、单循环、利润、古代数学问题 前置基础概念自查： 1.整式：分母不含未知数、根号内不含未知数的代数式； 2.方程：含有未知数的等式； 3.完全平方、多项式去括号、移项合并同类项运算规则。 知识点1：一元二次方程的定义 1.完整定义：等号两边均为整式，只含有一个未知数（一元），整理后未知数最高次数为2（二次）的等式，叫做一元二次方程。 2.判定三大必备条件（缺一不可）： ①整式方程：分母、根号内不能含有未知数； ②一元：仅存在1种未知数（如只含，不能同时含x、y）； ③二次：去括号、移项合并同类项后，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 3.反例辨析（均不是一元二次方程）： （分式）、（二元）、（三次）、（根式）。 知识点2：一元二次方程的一般形式 1.标准一般形式： ：二次项，为二次项系数； bx：一次项，为一次项系数； ：常数项（不含未知数的项）。 2.关键规则： （1）是核心前提，若，方程退化为（一元一次方程）； （2）b、c可取任意实数，允许为0，衍生三类特殊形式： ①：；②：；③：； （3）整理规范：先去括号→移项（全部移到左侧，右侧为0）→合并同类项，按降幂排列；各项符号跟随项本身，不可遗漏负号。 知识点3：一元二次方程的根（解） 1.定义：能使一元二次方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。 2.基础检验方法：将数值代入方程左右两边，计算对比，相等则为根。 3.核心推论（快速判断根）： 若是的根； 若是的根； 若是的根。 4.核心解题思想：已知是方程的根，直接代入得，可变形实现降次，用于高次代数式整体代换求值。 【基础巩固题型】 【题型1】一元二次方程识别辨析 1.核心知识点 一元二次方程三大判定条件：整式、一元、未知数最高次为2；区分分式、根式、二元、高次方程。 2.解题方法技巧 ①先观察原式是否为整式；②若含括号，先展开化简；③化简后数未知数个数、看最高次数；④排除的特殊情况。 【例题1】.（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【题型2】化为一般形式并识别各项系数 1.核心知识点 一元二次方程一般形式；二次项、一次项、常数项包含自身符号。 2.解题方法技巧 ①去括号（完全平方、多项式乘法）；②移项，所有项移至等式左侧，右侧化为0；③合并同类项；④按常数降幂排列，依次读取系数。 【例题2】.（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·期末）将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． 【题型3】检验数值是否为一元二次方程的根 1.核心知识点 方程根的定义：代入后左右两边相等；简单有理数代入运算。 2.解题方法技巧 固定步骤：代入未知数→分别计算左边、右边代数式的值→对比大小，相等即为根。 【例题3】.（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【变式题3-2】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式题3-3】.（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型4】根据一元二次方程定义求参数值 1.核心知识点 含参数方程为一元二次方程的双重条件：未知数次数=2、二次项系数≠0。 2.解题方法技巧 ①列次数等式：未知数指数=2，解出参数候选值； ②列系数不等式：二次项系数≠0，剔除不符合的参数； ③合并得到唯一符合条件的参数。 【例题4】.（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【培优提升题型】 【题型5】已知方程的根，求参数 1.核心知识点 方程根的定义；一元一次方程求解参数。 2.解题方法技巧 把已知根代入原方程，得到只含参数的一元一次方程，解方程求出参数。 【例题5】.（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【变式题5-1】.（2026·河南周口·二模）若是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【变式题5-2】.（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式题5-3】.（2026·贵州安顺·二模）若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【题型6】已知根，整体代换求代数式值 1.核心知识点 方程根的变形降次；整体代入思想，无需单独求未知数。 2.解题方法技巧 ①将根代入方程，变形得到二次项降次等式（如）； ②把所求代数式中高次项全部替换为一次式； ③约分、合并同类项化简求值。 【例题6】.（2026·广东深圳·三模）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【变式题6-1】.（2026·山东日照·二模）已知m是方程的实数根，则的值为______． 【变式题6-2】.（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【变式题6-3】.（2026·甘肃武威·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【压轴素养题型】 【题型7】含参数方程分类讨论（一元一次/二次切换） 1.核心知识点 含参数的方程，分（一次方程）、（二次方程）两种情况讨论。 2.解题方法技巧 ①二次项系数=0时，验证未知数最高次数是否为1，为一元一次方程； ②二次项系数≠0时，满足次数=2，为一元二次方程； ③分情况作答，写出参数取值范围。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【变式题7-1】.（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）关于x的方程，m取何值时，方程是一元二次方程？ 【变式题7-2】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式题7-3】.（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【题型8】新定义运算转化一元二次方程 1.核心知识点 阅读理解新运算规则；代数转化，整理为标准一元二次方程。 2.解题方法技巧 ①读懂题目自定义符号的运算公式； ②将方程中对应部分替换为新运算表达式； ③展开、移项、合并，化为标准形式。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 易错点 1.判断一元二次方程时，未先化简直接观察，忽略展开合并后二次项抵消的情况；同时忘记整式方程前提，误将分式、根式方程判定为一元二次方程。 2.整理一般形式、读取系数时，遗漏项前面的负号；移项时不变号，常数项、一次项系数符号出错。 3.含参数一元二次方程求值，只满足次数=2，忽略二次项系数的隐藏条件，多算出错误参数。 4.混淆单循环握手、互赠礼物两类模型，忘记单循环除以2，导致所列方程错误。 5.已知根代入代数式求值时，不会使用降次整体代换，强行求解未知数，计算复杂易出错。 6.认为一定是一元二次方程，忽略题干未说明是一元二次方程时，可以为0。 重点 1.一元二次方程的三大判定条件，能快速辨别各类方程。 2.一元二次方程一般形式，规范整理方程、准确识别三项及对应系数。 3.根的定义与代入检验法；已知根求参数、整体降次代换求代数式的值。 4.从几何、生活、数学文化情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型。 难点 1.含参数方程的分类讨论（区分一元一次、一元二次两种情况）。 2.高次代数式利用方程根降次，整体代入化简求值。 3.创新题型：新定义运算、平移换元型根的推导、古文言文数学建模。 4.图形面积平移转化、增长率、单循环两类易混淆模型的方程区分。 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 5．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 6．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 三、解答题 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 8．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 9．若一元二次方程的右边被墨水污染▊． (1)若方程的一个解为时，求“▊”的值； (2)若“▊”表示，求． 10．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $