北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试高一启承数学试题

北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高一启承数学 （时间：120分钟 满分：150分 为必修一模块结业考试） 班级____________姓名____________ 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1．= A． B． C． D． 2．若，，则等于 A． B． C． D． 3．已知，，，则 A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，M是的中点，与交于点N，设，，则 A． B． C． D． 5．已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．在音乐中可以用形如（）的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为 A． B． C． D． 7．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（参考数据：，） A． B． C． D． 8．已知函数（）在上单调，且，则的取值不可能为 A． B． C． D． 9．已知是方程的解，是方程的解，则 A．1 B．e C． D． 10．令M表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量，和任意实数，都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是 A．N中至少有两个元素 B．N中至少有无数个元素 C．N中至多有三个元素 D．N中至多有无数个元素 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知，，若，则_________． 12．已知，．写出满足条件的一组角，的值_________，_________． 13．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数的值约为_________．（，） 14．在射线，中，两条射线所成的角都是，且线段．则集合所构成的几何图形的轨迹长是_________． 15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟．若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转t分钟后距离地面的高度为h米，则h关于t的函数解析式为_________；若游客甲在，时刻距离地面的高度相等，则的最小值为_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题满分12分） 化简下列代数式 （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 17．（本小题满分15分） 已知两点、是函数（，，）图象上相邻的最高点和最低点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （Ⅲ）将函数的图象向右平移a（）个单位长度后关于y轴对称，求a的最小值． 18．（本小题满分13分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与． （Ⅰ）若的面积为2，求的值； （Ⅱ）求的最小值． 19．（本小题满分15分） 已知函数（）的图像关于点对称． （Ⅰ）求的值和在区间上的值域； （Ⅱ）若，函数在区间上单调递增，求的值； （Ⅲ）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 20．（本小题满分15分） 已知函数的图象过点，其中． （Ⅰ）求m及的值； （Ⅱ）求证：，都有； （Ⅲ）若函数（）在上存在最大值，求n的取值范围． 21．（本小题满分15分） 定义两个n维向量，的数量积（，），，记为的第k个分量（且）．如三维向量，其中的第2分量．若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且．则称A为T的完美n维向量集． （Ⅰ）求2的完美3维向量集； （Ⅱ）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； （Ⅲ）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中试卷 高一启承数学 一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．C 二、填空题 11．1 12．，（答案不唯一） 13．13．0.18/ 14．4 15．，，30 三、解答题 16．（1）原式 ； （2） （3） 17．（1）由已知有，解得，， 由题意可知，函数的最小正周期为，故， 因为点是函数图象上的最高点，则（）， 所以（）， 因为，所以，故． （2）用“五点法”画函数在一个周期内的简图， 令，列表如下 X 0 x y 1 3 1 1 （3）将函数的图象向右平移a（）个单位长度所得函数为 ，其图象关于y轴对称， 则（），所以（）， 又，所以，即a的最小值为． 18．（1）由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上， 由题意可知，故，故， ，故，则， 由的面积为2，得，即． 所以， 又，故， 即，解得； （2）由题意是锐角，则，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为16． 19．（1）由题意可知时，（）， 即，又，所以， 即， 当时，， 易知（）上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需，（）， 解不等式得，易知，则，此时． （3）因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 20．（1）函数的图象过点， ，解得． ，故． （2）证明：由（1）知， 当时，，； 当时，，，． 综上，，都有． （3）由（2）知， ①当时，， ②当时， ③当时，，无最大值 综上，若函数（）在上存在最大值，n的取值范围为． 21．（1）由题意知，集合A中含有3个3维向量元素（）， 因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0． 又，所以，， 所以2的完美3维向量集为． （2）依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素（），， （i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； （ii）当时，，不满足条件③，舍去； （iii）当时，， 因为，故与至多有一个为集合B中元素， 同理：与至多有一个为集合B中元素，与至多有一个为集合B中元素，故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去； （iv）当时，，不满足条件③，舍去； （v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 综上所述，不存在完美4维向量集． （3）依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素（）， 因为，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0， 所以（）， 由（2）知，故， 假设存在k，使得，不妨设． （i）当时，如右图， 由条件③知，或（）， 此时，与（*）矛盾，不合题意． （ii）当时，如右图， 记（）， 不妨设，，， 下面研究的前个分量中所有含1的个数．一方面，考虑中任意两个向量的数量积为1，故（）中至多有1个1，故的前个分量中，所有含1的个数至多有个1（**）．另一方面，考虑（），故的前个分量中，含有个1，与（**）矛盾，不合题意．故对任意且，，由（*）可得． 学科网（北京）股份有限公司 $