精品解析：北京市北京中学2024-2025学年高一上学期期中质量调研数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量调研试题 高一英才数学 本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用集合的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以或. 故选：D 2. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ） A. 当时最小值为 B. 当时最小值为 C. 当时最小值为 D. 当时最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案. 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 3. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，且方程的根为，利用韦达定理求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以，且方程的根为， 故，则，， 故不等式等价于， 即，解得或， 所以关于的不等式的解集是. 故选：B. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 6. 已知函数 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的定义求值． 【详解】由题意， 故选：B． 7. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 8. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果. 【详解】∵不等式的解集是， ∴是方程的两个实根， ∴，∴， ∴. 故选：B. 9. 若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】 【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误 【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 命题的否定是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求解. 【详解】命题的否定是，. 故答案为：， 12. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为______年． 【答案】7 【解析】 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案：7. 13. 已知幂函数是上的增函数，则的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值． 【详解】由题意，是幂函数， ，解得或， 又是R上的增函数， . 故答案为：3. 14 求值：＋ ＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】＋ ＝ 故答案为： 15. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中不正确的是___________（写出所有符合题意的序号） ①已知，，且，则 ②已知，，则存在实数，使得 ③已知，若，则对任意，都有 ④已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】①②③ 【解析】 【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；对任意的实数a，求出b满足条件即可判断④. 【详解】对于①：由，则；，则，解得：，故①错误； 对于②：由，则； ，则， （1）当时，在上单减，所以，解得：，又，所以a不存在； （2）当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以不存在； （3）当时，在上单减，在上单增，且所以，解得：，又，所以不存在； （4）当时，在上单增，所以，解得：，又，所以不存在； 综上所述：不存在实数，使得. 故②错误； 对于③：∵，而，则，，但对任意，都有，不一定成立，例如：，；故③错误； 对于④：对任意的实数，只要满足是的子集，就有，于是,所以则对任意的实数，总存在实数，使得，故④正确. 故选：①②③ 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合，； （1）当时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，，； . 【小问2详解】 因为， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 17. 已知函数的图象过点和. （1）求函数的解析式； （2）若函数，当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）代入和即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，解得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）可得 因为，所以，当且仅当时，取到等号， 所以的最小值为1. 18. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）证明在上是增函数； （3）求在上的最大值及最小值． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）证明见解析； （3）最大值、最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【小问1详解】 函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 19. 已知函数的图像过原点，且． （1）求实数的值； （2）若，写出的最大值； （3）设，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【小问1详解】 由题意，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. 【小问3详解】 由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示： 由图可知：不等式的解集为. 20. 已知函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （3）解关于t的不等式. 【答案】（1）； （2）单调递减，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a值为. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 【点睛】易错点睛：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解. 21. 已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． （1）若，写出所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【小问1详解】 当时，，所以的所有子集为：. 【小问2详解】 当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量调研试题 高一英才数学 本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ） A. 当时最小值为 B. 当时最小值为 C. 当时最小值为 D. 当时最小值为 3. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 8. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ） A. B. 4 C. D. 9. 若函数是上单调函数，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 命题否定是______． 12. 为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为______年． 13. 已知幂函数是上的增函数，则的值为________. 14 求值：＋ ＝_____________． 15. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中不正确的是___________（写出所有符合题意的序号） ①已知，，且，则 ②已知，，则存在实数，使得 ③已知，若，则对任意，都有 ④已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设集合，； （1）当时，求， （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数的图象过点和. （1）求函数的解析式； （2）若函数，当时，求的最小值. 18. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）证明在上是增函数； （3）求在上的最大值及最小值． 19. 已知函数的图像过原点，且． （1）求实数的值； （2）若，写出的最大值； （3）设，直接写出解集． 20. 已知函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （3）解关于t的不等式. 21. 已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $